Определение неявных функций из системы уравнений

Оглавление:

Определение неявных функций из системы уравнений

Определение неявных функций из системы уравнений. Наконец, в самом общем случае можно дать систему T уравнений с n — \t переменными: U т)=о>*■ ■ ■ > ут)=®> (7) Р1 (^»1> • • РГ(х>■■•>х п -, г!,•>У1> РТ (Х1,. *•>У1>■** * >Ут)=° -. Здесь речь идет об определении u

u.. . , Ut к «неявной» функции этой системой T переменных из N переменных, x l: _U1—(Х1,. . . , * * * «Ут-/Т S^1>• * * >^л)> Если вы назначите их(5), вы получите тождества о x и. . . X стр. Подробно рассмотрим простейший случай, представляющий собой

систему уравнений d vu x с тремя переменными: P (x, y, g)=0, O (x, y, g)=0. (8) В Людмила Фирмаль

параллелепипеде (a, B\C, e,/) говорится, что эта система определяет y и g как отдельную функцию x\y=/(x) и g=^(x). При этих условиях ясно, что система (8) эквивалентна системе y=/(x), g. — В вопросе о существовании явной неявной функции, которую мы определили в одном уравнении(1)[или(5)], решающую роль играет точка задачи и требование, чтобы выражение удовлетворяло неявной функции y, в

задаче о существовании x, x, которая определяется системой уравнений(8), которую мы теперь переместили, аналогичная роль отводится задаче о существовании неявной функции Y.\ Ru6OU ОГ^Г X, г, г)=(9) 188CH. Неявная функция. Функциональные детерминанты Теорема 3 1) функции P (x, y, x) и O (x, y, x) определены со всеми

подфункциями и непрерывны в некоторой окрестности точек p o (x^, y^, x0) 2) точки p o (X^, y, x).(8): (-^0′ 3)’ * o)==O’O>o)= = O » 3)в этой точке детерминанты (^x, y, x,) не равны нулю: (X & Y & g o) 0. Тогда в окрестности a) некоторых < W=(x—\x0+V;y, -8′, l+&’;G0—V», G0 ~ 4-8″) точек P O система уравнений (8) определяет y и x как очевидные функции x: y=/(x), x=$(x); b) x0—v, x-(-8) и (x) и (X) непрерывны, а g=/) имеет ту же непрерывную производную/'(x), (x). T e l s T V O для D o K a

. из определителя U в точке P (x0,. хотя бы один элемент в этой точке также ненулевой;пусть, например, P’g(x0, * o) 0. В этом случае, согласно теореме 2, в окрестности некоторого-C^o-x(4-3/o->Uo4 «^9g o-4″K»), в системе подстановки уравнения (8) p o n e R V o e определяется как однозначная функция x и y(8) в первом уравнении p n o s и l L n S M по формуле x=1G(x, y), получаем n o s и l l l y y p a в системе с (x, y, g)=0, x-i(x, y). Наконец, если вы назначите K (x, y) вместо O вместо x, вы получите более простую, но эквивалентную систему: f (X, y)=0, g=/g (x, y), (10) Здесь для краткости поставим f (x, y)=O (x, y, K (x, y)). (11)

таким образом, мы свели задачу к некоторому доказательству Людмила Фирмаль

(^включенному в 0) окрестности<^0 системы точек P 317]§1. Неявная функция 189 Уравнение (10) определяет y и x как различные функции x со всеми необходимыми свойствами. Используйте удобную ситуацию наличия первой переменной x, y, t o l C o в уравнении (10) и применения уже доказанной теоремы 1:когда это уравнение y начинает проверять достижение условия теоремы 1 в функции X\y=/(x) (12、 C * CR Y o)= = 03) [B) теорема 2], а благодаря непрерывности функции и(x, y) в L40(x0,.UO) близко к 7I0 значение этой функции мало отличается от G0. Тогда в достаточно малой

окрестности точки L40 функция f (x, z/) непрерывна со своими частными производными. Аналогично условие теоремы G 2). F (o>L)=0(x0>Uo>, g(x o>_uo))=o(x0,y0,G0)=0,благодаря(I), (13) и предположим 2) этой теоремы. Осталось подтвердить достижение теоремы 3) условием 1. Когда вы дифференцируете (I) по y, вы находите Fu(x}y)=O y+O^/GU. (14) но я могу получить, различая идентичность U(6)): RG Р У С-^ ‘Г^У -, где к у= — — — — — г. Если присвоить это выражение(14), то результат Fu (x, y)=OU -= RG Вам нужно заменить/g(x, y) справа вместо аргумента x. точка L40 (x0, yo) в левом ответе, точка (13), точка P0 (x0, y, G0) в правом. Согласно условию 3),

определитель точки Po отличается от нуля, поэтому это справедливо и в отношении производной f^. Начиная с L40. Теперь мы имеем право применить к уравнению f (x, _u)=0 теорему 1 и произнести его в окрестности точки L10′. (х0-е,х0+8;у г-у УО+8′) 190CH. Неявная функция. Функциональные детерминанты (Где 0<^B<^D, 0<^&'<^D’) это уравнение фактически определяет y как однозначную функцию x:y=/(x), а затем (как уже упоминалось)уравнение(12) определяется как однозначная функция x и g. Для окрестности,<^0, для этого введите речь, можно взять параллелепипед) (о-‘s§In;have§-In’;G0-8G0In»), «- D.»вывод Б), В) и Г) теоремы И здесь теорема может

дать геометрическую интерпретацию. Система (8), вообще говоря, выражает кривую в пространстве-пересечение двух плоскостей, представленных каждым из отдельных уравнений. Если в какой-то момент один из определителей квадратичной матрицы частной производной отличается от нуля: (P’x, RU’, R’, R \ \O\g,OU, O’g/>, определитель (9), в окрестности рассматриваемой точки мы не можем применить теорему только в»специальной»точке, где все три определителя двух координатных матриц исчезают одновременно. Аналогичная теорема может быть доказана о системе уравнений (7) В общем виде методом математической индукции. Индукция находится в числе уравнений, подобных tog, поэтому мы просто получили

случай двух уравнений в одном уравнении. Не останавливаясь на формулировке и доказательстве общих теорем, мы лишь подчеркнем это в вопросе о существовании систем неявных функций…, В t, определяемой системой (7), определитель играет решающую роль Аль-Д11 ‘Ду’ Ал-Ал-Ал. Дуч du3’DUT «Dr, Duz» du-это должно быть отличено от нуля в точке соседства вопроса. Z-это eqanie. Обратим внимание читателя на локальный характер всех теорем существования неявных функций: речь становится 3181§1. Неявная функция 191 Все время только часть соседей может жевать. Однако даже в таком виде эти теоремы полезны, например, для изучения свойств Г Е О М е т р И Ч Е С К О Г О Б а з а в данный момент времени.

Существование и свойства неявной функции	Вычисление производных неявных функций
Неявная функция от нескольких переменных	Площадь поверхности, заданной явным уравнением