Оглавление:
Определение вещественного евклидова пространства
- Определение реального евклидова пространства. Вещественное линейное пространство R называется действительным ev Пространство клина (или просто евклидово пространство), Когда выполняются следующие два требования: I. У меня есть правило, которое использует любые два элемента Пространства x и y связаны с действительными числами.
- Называется скалярное произведение этих элементов, Символ (х, у). P. Показанные правила подчиняются следующим четырем аксиомам: 1 °) (x, y) = (y, x) (характеристики движения или симметрия); 2 °) (xi + X2, y) = (xi, y) + (x2, y) (характеристики распределения); 3 °) (Ax, y) = A (x, y) относительно фактического A; 4 °) если (x, x)> 0 — ненулевой элемент, x- if (x, x) = 0 Нулевой элемент.
При введении концепции евклидова пространства, Не только характер изучаемого объекта. Людмила Фирмаль
Из конкретных типов правил формирования суммы сгенерированных элементов Разделите элемент на количество элементов и скалярное произведение (важно Только если эти правила удовлетворяют восьми линейным аксиомам Четыре аксиомы пространства и скалярного произведения).
Характер изучаемого объекта и форма перечисленных правил Если указано, евклидово пространство называется бетоном. Вот пример конкретного евклидова пространства. Пример 1. Рассмотрим линейное пространство B% всех свободных пространств. Вектор. Определяет скалярное произведение любых двух векторов.
Как было сделано с аналитической геометрией (т.е. Вывод длины этих векторов по косинусу угла между ними). Я знаю Аналитическая геометрия Аксиома деления скалярного произведения 1 °) -4 °) г). так Пространство B% скалярного произведения, определенное так: Евклидово пространство. Пример 2: Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство.
Все функции x определены и непрерывны в сегменте C a, b ^ ^ ^ б. Скалярное произведение двух таких функций x (t) и y (t) Определите интеграл этих продуктов (диапазон от a до b) функция [x (t) y (t) dt. D.1) J a Чистые активы проверяются на первичные Аксиома линейного произведения 1 °) -4 °). На самом деле справедливость Аксиома 1 °) ясна. Эффективность аксиомы 2 °) и 3 °)
- Линейные свойства некоторых интегралов; аксиома справедливости мы 4 °) непрерывный интеграл Ja x2 (t) dt. Неотрицательная функция x2 (t) неотрицательна и исчезает Только если эта функция равна нулю на сегменте Те a ^ t ^ b 2) (т.е. это считается нулевым элементом) Space). Таким образом, пространство C [a, b] c определяется как таковое. Скалярное произведение бесконечного измерения Евклидово пространство.
Пример 3. Следующий пример евклидова пространства: n-мерное линейное пространство упорядоченного набора n Реальное скалярное произведение любых двух элементов x = (xl x2, •• .., xn) и y = (y1 ,? / 2, •• -, yn) *) См. Главу «Аналитическая геометрия». 2, §2, пункт 3. 2) См.
«Основы математического анализа», часть 1, свойства 1 °) и 2 °). Из пункта 1§6. 10. 92 гл. 4. Людмила Фирмаль
Евклидово пространство коронка (X, y) = Ж12 / 1 + х2у2 + ••• + хпуп. Г.2) Справедливость скалярного произведения, определенного в осях Ом 1 °) очевиден, справедливость аксиом 2 °) и 3 °) легко проверяется (Запомните определение операции добавления элемента Умножьте их на числа: (Xl x2, …, xn) + B / b 2/2, •• -, yn) = = (Xi + 2 / b x2 + 2/2, •• -, xn + 2 / n), x2, …, xn) = (Al, Al2, …, Aln));
Наконец, справедливость аксиомы 4 ° равна (х, х) = = x \ + x \ + … + x2n всегда неотрицательное число, Он исчезает только тогда, когда x1-x2 = … = xn = 0. Евклидово пространство, рассмотренное в этом примере, часто Означает символ Ep. Пример 4. В том же линейном пространстве Скалярное произведение любых двух элементов x = (xi, x2, …, xn) y = B / 1, 2/2, •••, Yn) отношение D.2), но не другое более общее Метод.
Для этого рассмотрим квадратную матрицу порядка n A = ac ai2 … a \ n # -21 0-22 ••• & 2p 0> n \ @> n2 ••• & nn Д.3) Создать второй однородный многочлен, используя матрицу D.3) порядок для n переменных xi, x2, …, xn CLikXiXk. D.4) я = лк = л Обратите внимание, что в будущем такие многочлены будут называться квадратичными. Форма (генерируется с помощью матрицы D.3) 3).
Вторичная форма D.4) называется положительно определенной Когда строго положительно для всех Значения переменных xi, x2, …, xn, которые не равны нулю одновременно 4). 3) Вторичный формат Ch. 7 этой книги. 4) гл. 7 этой книги Вторичная форма детерминизма. Там x1-x <± -… = xn = 0, вторичная форма D.4), Если ноль, его можно назвать положительно определенным.
Вторичная форма исчезает, только если x \ = = x2 = … = xn = 0. Матрица D.3) должна удовлетворять двум условиям. 1 °) Генерация положительно определенной квадратичной формы Му D.4). 2 °) симметрично (относительно главной диагонали). Для всех r = 1, 2, …, n и k = выполняются условия ac ~ -ak% = 1, 2, …, с.
Используя матрицу D.3), 1 °, удовлетворяющий требованиям и 2 °), скалярное произведение любых двух элементов x = = (Xi, x2, …, xn) и y = B / 1? 2/2? —? Yn) Space An NIEM p p (X, y) = ^ 2 ^ 2 aikxiyk. Д.5) я = лк = л Легко проверить правильность определенного скаляра Произведение всех аксиом 1 °) -4 °). На самом деле аксиомы 2 °) и 3 °). Очевидно, справедливо для совершенно произвольных матриц D.3).
Справедливость аксиомы 1 °) следует из условия симметрии D.3), и справедливость аксиомы 4 °) Десятичный формат D.4), скалярное произведение (X, x) положительно определен. Следовательно, пространство Ap со скалярным произведением имеет вид.
Определено в уравнении D.5), а матрица D.3) и полученная им ортогональная определенность Форма галочки — евклидово пространство. Если мы возьмем единичную матрицу в качестве матрицы D.3), Отношение D.4) переходит к D.2) и получает евклидово пространство Свойство Ep рассмотрено в Примере 3.
Смотрите также:
