Оглавление:
Простейшие свойства произвольного евклидова пространства
- Самое простое свойство любого евклидова простого Царапины. Свойства, установленные в этом пункте, действительны для: Конечное вполне произвольное евклидово пространство И бесконечные размеры. Теорема 4.1.
- Для любых двух элементов х и у Евклидово пространство — это истинное неравенство (X, yJ <(x, x) (y, y), D.6) Называется Коши и Бунаковский неравенство. Доказательство. Для действительного числа А Аксиома скалярного произведения 4 °), неравенство (Lx- 94 гл. 4. Евклидово пространство -y, Ax-y) ^ 0. Благодаря аксиоме 1 °) -3 °) последнее неравенство Переписать как A2 (x, x) -2A (x, y) + (y, y);> 0.
Необходимое и достаточное условие последнего неотрицательно. Людмила Фирмаль
Квадратный трином является его дискриминационной нестрогостью Нант, т.е. неравенство 5) (X, yJ- (x, x) (y, y) СC 0. D.7) D.7) немедленно означает неравенство D.6). Теорема доказана. Следующая задача — развернуть с любым евклидовым В пространстве понятие нормы (или длины) каждого элемента. Для этого Вводит понятие стандартного линейного пространства.
Определение линейного пространства R называется нормализацией Когда выполняются следующие два требования: I. Каждый элемент х Пробел R связан с действительным числом, Добывается по норме (или длине) указанного элемента и обозначается символом Лом || х ||. P. Показанные правила подчиняются следующим трем аксиомам: 1 °) || x || 0, если x ненулевой элемент.
|| х || Если х ноль = 0 Предметы 2 °) || Ах || = | A | || x || Для любого элемента x и любого действительного числа Номер А; 3 °) Для любых двух элементов x и y следующее неравенство коронка || x + y || <; || x || + || y ||, D.8) Треугольное неравенство (или называется неравенством Минкоффа) Пустой). Теорема 4.2. Все евклидовы пространства нормированы.
Если норма элемента x определяется уравнением 11×11-l / fx xl D 01 II II-V V e / * V / Доказательство. Достаточно доказать это для стандарта Разделите на отношение D.9) и от Аксиомы 1 °) –3 °) Стандартизированное пространственное разделение. 5) Когда (x, x) = 0, квадратное троичное распределение сводится к линейной функции Однако в этом случае элемент x равен нулю, поэтому (x, y) = 0 и неравенство Свойство D.7) также применяется.
Действительность стандарта аксиомы составляет 1 °) сиомас 4 °) скалярное произведение. Норма справедливости Аксиома 2 °) следует почти сразу из Аксиомы 1 °) и 3 °). Линейный продукт. Оставшаяся 3 ° норма), т. Е. Для проверки справедливости аксиомы. Неравенство D.8). Зависит от неравенства Коши и Бунакова Кто д.6) переписываем форму | (X, y) | <; ^ x) ^ T). Д-7 ‘) С помощью последнего неравенства скалярная аксиома 1 °) -4 °)
Ссылка и определение нормы для получения || x + y || = l / (x + y, x + y) = v (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) у (х, х) (X, x) + y / (y, y) = , X) • dDy, y) + (y, y) = , X) + y / (y, y) = || x || + Теорема доказана. В евклидовом пространстве с нормой результата Элементы любых двух элементов, определенных в отношении D.9) Имеет место неравенство треугольника D.8) для x и y. Кроме того, в фактическом евклидовом Можно ввести любую концепцию двух углов Элементы x и y этого пространства.
По полной аналогии с вектором Назовем алгебру углом cp между элементами x и y Диапазон от 0 до tg) Угол, под которым определяется косинус соотношение Благодаря неравенству, определение угла является правильным Коши Бняковский д.7;) Последняя фракция стоит справа Уравнения по модулю не превышают единиц.
- Тогда я согласен назвать два дополнительных элемента х и у Евклидово пространство E является скалярным Приведение этих элементов (x, y) равно нулю (в данном случае косинус угла φ Между элементами х и у ноль). Снова назовем сумму двух x + y, обращаясь к векторной алгебре Ортогональные элементы х и у гипотенузы прямоугольного дерева Квадрат состоит из элементов х и у. 96 гл. 4.
Евклидово пространство Во всем евклидовом пространстве Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов квадратов Tetasu. На самом деле, x и y ортогональны и (x, y) = 0, поэтому По определению аксиом и норм || x + y || 2 = (x + y, x + y) = = (X, x) + 2 (x, y) + (y, y) = (x, x) + (y, y) = || x || 2 + || y || xi, x2, …, xn: если z = xi + x2 + … + xn х2 + … = (Xl, X] ~ R X ^ t, 1 X] ^ л) + (х2, + х2 + … х2) + … + = llxill + Xn) = \ Xn, XnJ- 2 + Cx2 || 2 + .. ¦ + 1 | x „|| 2
Этот результат также обобщается на n попарно ортогональных элементов. Людмила Фирмаль
В заключение мы имеем норму, неравенство Коши и Бунаковского, Тригонометрические неравенства в каждом конкретном евклидовом Страны, которые обсуждались в предыдущем пункте. Все в свободном векторном евклидовом пространстве обычный Определяя скалярное произведение, норма вектора a Его длина | a |, неравенство Коши-Бунаковского равно (A, bj ^ | a | 2 | b | 2 6) и неравенство треугольника | a + b | ^ ^ | a | + | B | 7).
Все непрерывные евклидовы пространства C [a, b] на отрезке a x t x b функция x = x (t) и скалярное произведение D.1) норма Элемент x = x (t) равен Ja x2 (t) dt и неравенству Коши-Бунякова Есть небо и треугольник 2 г г Peeing x (t) y (t) dt / x2 (t) dt / y2 (t) dt, Ну чтож j [x (t) + y (t)} 2 dt ^ Jf x2 (t) dt + J j y2 (t) dt Оба эти неравенства играют важную роль в различных Тематический анализ.
6) Векторное скалярное произведение (a, b) = | a | | b | cos ip не равно Это свойство cos2 (p <C1. 7) Добавьте векторы a и b согласно правилам треугольников, это неравенство Очевидно, сводится к тому, что одна сторона треугольника не превышает общую Две другие стороны. 2.
Основы евклидова пространства 97 Евклидово пространство En для упорядоченной коллекции n Действительное число скалярного произведения D.2) Произвольная норма x = (xi, x2, …, xn) равны \ Jx = \ Jx И Коши-Бунаковский, и неравенство треугольника hupup) (4 + x \ + … + x2n) (y2, + yl + … + V W? + F2 2/2 2 / р Наконец, в евклидовом пространстве упорядоченного агрегата п.
Вещественное число и скалярное произведение D.5) Норма X = (xi, x2, …, xn) для любого элемента равно 8) х = \ aikXiXk, r = 1k = 1 И Коши Бунаковский, и неравенство треугольника (N n \ / n n \ / n n gkHxUk j ^ I ^ 2 ^ 2 a ^ xrhk I ) я = л к = 1 \ r = 1 А; = 1 \ r = 1 jfe = 1 2 / lfe) r = 1k = 1 \ N г = 1) N / ^ я ик е = л \ я = лк = л
Смотрите также:
| Заключительные замечания о решении линейных систем | Понятие ортонормированного базиса и его существование |
| Определение вещественного евклидова пространства | Свойства ортонормированного базиса |
