Оглавление:
Свойства ортонормированного базиса
- Ортонормированные базисные свойства. Дай мне ei, e2, …, ep — любой ортонормированный базис в n измерениях Евклидово пространство E, x и y — два произвольных элемента Этого пространства. Найти формулу скалярного произведения (X, y) этих элементов через координаты относительно основания e2, …, ep.
- Указывает координаты элемента x и y относительно базы через e2, …, en, (x2, …, xn) и (y2, …, yn) соответственно. То есть x = x ± ei + x2e2 + … + xpep, y = + … + yn ^ n-then (X, y) = Oiei + x2e2 + … + жпеп, угг +? / 2e2 Из последнего уравнения, аксиома скалярного произведения и Отношения D.10), приобретение ( ^ x ^, ^ Ukek) = ^ 2 ^ 2 XiVk (ei, ек) = r = 1 k = 1) i = l k = 1 = Ж12 / 1 + Х2У2 + … + Хпуп. Итак, наконец, (X, y) = Ж12 / 1 + х2у2 + … + хпуп. D.13)
Таким образом, в ортонормированной основе скалярное произведение. Людмила Фирмаль
Любые два элемента равны сумме соответствующих произведений Координаты этих элементов. Где полно в n-мерном евклидовом пространстве E Полностью произвольный (в основном неортогональный) базис найти скалярное произведение выражений fi, f2, …, fn и двух профи.
Любой элемент x и y, который проходит через координаты этих элементов Указанная основа. Указывает координаты элемента x и y относительно базы fb f2, …, fn (соответственно (xl x2, …, xn) и {yy y2, …, yn) Это значит x = xifi + x2f2 + … + xnfn, y = 2 / ifi + y2h + ••• + Используйте аксиомы скалярного произведения, чтобы получить: (X, y) = (xifi + x2h + ••• + xnfn, 2 / ifi + 2 / 2f2 + ••• + 2 / nfn) = ( ) i = l k = l J i = lk = l
Так что для любой базы f \, f2, …, fn, скаляр Произведение любых двух элементов x = xifi + x2f2 + … + xnfn y = 2 / i fi + 2 / 2f2 + … + 2 / nfn определяется по уравнению н н (X, y) = ^ ^ a ^ Xi ^, D.14) 102 гл. 4. Евклидово пространство Матрица \ a, ik \ (* -1, 2, …, n; / c = 1, 2, …, n) копы ai * = (фи, ффк).
Последнее утверждение приводит к следующему результату: Следовательно, евклидово пространство E с заданными базами f1, f2, …, fn Скалярное произведение любых двух элементов Вам нужна информация о соответствующих координатах этих элементов Достаточно, чтобы базисы f \, f2, …, fn были ортонормированы.
- Фактически уравнение D.14) переходит к D.13) и только после этого. Матрица с αас элементов aj ~ — (f ^, fk) Единица, то есть отношения / л при г = / с, A;, tk) = < 10 для г ^ к, Установить ортонормированность оснований f \, f2, …, fn. Вернемся к рассмотрению любого ортонормированного базиса. n-мерное евклидово пространство E zis ei, B2, …, en.
Значение координат любого элемента x, связанного с указанным элементом Фонд. Указывает координаты элемента х относительно базы ei, b2, …, en к x1, x2, …, xn, т.е. x = xiei + x2e2 + … + xep D.15) Кроме того, k обозначает любое из чисел 1, 2, …, n и умножает D.15) Обе части являются скалярами элемента e &.
На основе скалярных аксиом Продукт и отношения D.10) Людмила Фирмаль
Мы получаем / н \ (X, ek) = I ^ Xiei5 ek I = ^^ (e *, el) = xk. \ i = l / i = l Поэтому координаты любого элемента Но ортонормированный базис равен его скалярному произведению Добавьте элемент в соответствующий базовый элемент. Скалярное произведение любого элемента х Естественно назвать элемент e с нормой, равной единице.
Проекция элемента x на элемент e, т.е. Дата любого элемента относительно ортонормированного базис равен проекции этого элемента на соответствующий элемент Основные элементы. Таким образом, любая ортонормированная основа Свойства, очень похожие на прямоугольные свойства Базовая база.
Смотрите также:
