Ориентация гладкой поверхности

Оглавление:

Ориентация гладкой поверхности

Ориентация гладкой поверхности. В этом разделе предполагается, что правильная система координат всегда выбирается в пространстве. Это означает, что: пусть/,/, и k-вектор единиц измерения осей. Глядя на плоскость XOY от края вектор к, вектор/ Вам нужно повернуть угол против часовой стрелки, чтобы соответствовать вектору/. в этом случае упорядоченные тройки векторов r, y, k также считаются согласованными в соответствии с «правилом штопора».Аналитически это означает, что в пространстве точек(x, y, r) рассматриваются только такие упорядоченные базисы e1,e2 и e3 § 50.Элементы теории поверхности Двести пятьдесят четыре Он использует матрицу с положительным определителем (точнее, равным+1) для вычисления упорядоченного базиса/ =（1; 0; 0）、получается из Y =(0; 1; 0), k =(0; 0; 1). так… @ nr = » I-St ^ \ Otzk, SI −1, 2, 3.

Все определения и понятия, относящиеся к координатам, приведенным ниже в этом разделе, даны в отношении правильной системы координат. Людмила Фирмаль

Является основой для определения правильной системы координат、 = +1. 5 имеет гладкую поверхность(см. Определение 16).Его векторное представление r = r(u, V), (u, o) eнепрерыв непрерывно дифференцируемо, и в замкнутой области R\xrr, φ0.Таким образом, Нормаль единичного вектора в каждой точке поверхности 5 (50.26） Это непрерывная функция на P. Эта ситуация кратко выражается, говоря, что на поверхности 5 существует непрерывная единичная Нормаль. Определение 20._ Норма y = = {u, u), (u, v) все последовательные единицы тождества 8 = {r (u, y); (и c) она) называется ориентацией поверхности 8.

Очевидно, что если вектор V является ориентацией поверхности 5, то легко показать, что вектор—V также является ориентацией той же поверхности, и нет никакой другой ориентации. Упражнения 16.Докажите, что существует только 2 ориентации поверхности. Одно из 2 направлений V или-V(произвольно выбранное) называется положительным, а другое-отрицательным. Поэтому понятие положительного и отрицательного направлений в этом смысле не определяется однозначно самой поверхностью, а зависит от выбора ее выражения. Положительные и отрицательные направления поверхности называются противоположными направлениями этой поверхности. Для ясности, в дальнейшем, фиксированное векторное представление r-r (u, y), с гладкой поверхностью, определенной (u, y) e, всегда использует вектор (50.26) для положительного направления.

Он подчеркивает, что непрерывность нормального V учитывается по отношению к переменным u, V, а не по отношению к пространственному U. 50.8.Ровная поверхностная ориентация Двести пятьдесят пять Переменные x, y если поверхность имеет более одной точки, то в точках пространства может быть несколько различных нормалей, являющихся носителями различных точек на поверхности. Чтобы сохранить направление поверхности при нормальном преобразовании параметра V, необходимо дополнительно запросить, чтобы Якобиан этого преобразования был positive. In факт, чтобы преобразовать параметр 1 1 =φ (,.)). «1 =Ф (» , У） Из Формулы (50.16), как мы видели (см. последнее замечание в§ 50.4）、 Г «ХГ * = ЦН (р «’хр».

Таким образом, если Якобиан положителен, то вектор giXi и puhxi1 направлены в одном направлении, и в отрицательном-в противоположном направлении. Поэтому для поверхностей с выбранной ориентацией приемлемым преобразованием считается непрерывное дифференцируемое преобразование, такое, что Якобиан положителен. Положительная ориентационная поверхность равна 5+, а отрицательная −5. Подчеркните, что все гладкие параметрические поверхности всегда ориентируемы, то есть всегда ориентированы. Определение 21.Конечно, определение вышеуказанных направлений не может быть перенесено на негладкое surfaces.

Поверхность, на которой зафиксирована одна из ориентаций, называется ориентацией. Людмила Фирмаль

An примером поверхности, которая не может быть дифференцирована в 1 точке, где непрерывная Нормаль больше не может быть выбрана, является конус. р = в-х2 4-У2, Х2 +#Р А2. (50.27） Для этого гормон роста= Гххгу = [ 1; 0; Гц = 0; 1; Yy2 + У2) » * \ ’ уу + У2) ’ ; ИЖ \ GxHGy \ = У2Yx2 -} y2’yx2 -!У2. В этом случае векторное представление принимает вид: r (x, y)=(x, y, y x2 + y2）、 § 50.Элементы, теория поверхности Двести пятьдесят шесть Ограничения HM и Fm ■r -.Что? (x, 0) K* 2 + / 2 (X, y)-(0; 0)YX2 + y2 (Почему? Нормальный блок от него) _ ghHGy / х у 1 \ U / ghghu|»~~} ГЦё+&)» защита TT / (x, y)—нет предела (0, 0). Итак, в конусе (50.27),* d / 0 = {(x, y).вы не можете выбрать нормальную смежность с x * + y * ^ o}. /уС простой пример негладкой поверхности / / / N. статья 5 имеет целую строку、 / / Вдоль нормали ’/*^\/pe сломан и является частью двугранного углаУгол показан на рисунке. 204.Указанная линия этой поверхности составляет 204 отрезка AB.

Кривые на поверхности. вычисление их длин и углов между ними.	Склеивание поверхностей.
Площадь поверхности.	Ориентируемые и неориентируемые поверхности.