Основные позиционные задачи

Основные позиционные задачи

• Основная цель 1. Проблема положения — это задача, которая определяет взаимное расположение различных геометрических фигур. Эти задачи включают в себя взаимосвязанные задачи, такие как получение точек на линии или поверхности, рисование линий на поверхности или поверхности с помощью линии данных и проблемы пересечения, среди прочего.

• Некоторые вопросы определения местоположения были рассмотрены выше. Например, в § 5 и 7 рассмотрена взаимосвязь между точками и прямыми линиями, а в § 6 — взаимосвязь между точками и плоскостями. В этом разделе мы рассмотрим все обратные основные вопросы позиционирования. Эта проблема определяет относительное положение точек, линий и плоскостей (и относительно наблюдателя). 2.

Обратите внимание, что эти позиционные задачи являются одной из прямых позиционных задач. Людмила Фирмаль

Относительное положение двух точек. Две точки в пространстве могут совпадать или не совпадать. Если точки данных A и B совпадают, их горизонтальная и передняя проекции совпадают. i4t = £ j и A2 до Br. Если данные в точках A и B не совпадают, их горизонтальные и передние проекции должны различаться (рисунок 36), или не должен совпадать хотя бы один набор проекций (рисунки 37 и 38). В? о AGB, в Рисунок 37 Рисунок 36 Рисунок 38

Если точка A и точка B не совпадают, проблема заключается в том, как они расположены относительно друг друга (и наблюдателя). Посмотри на фото. Как показано на рисунке 36, легко определить, что точки A и B. не совпадают. Точка A имеет одну единицу на левой стороне точки B, точку b возле точки B и единицу c ниже точки B. На фиг.37 показаны горизонтально конкурирующие точки A и B, на фиг.37, 38 — точки, конкурирующие спереди.

Из двух точек A и B, конкурирующих горизонтально (рис. 37), мы видим, что точка A находится на единицу выше точки B. Говорят, что точка A находится выше точки B, или точка B находится ниже точки A. В поле II точка A отображается, а точка B не отображается. Из двух конкурирующих точек A и B (см. Рисунок 38) точка A находится на расстоянии b от точки B.

То есть точка A находится за точкой B или точка B находится перед точкой A. B отображается, а точка A скрыта. 3. Относительное положение точки и линии. Точки могут быть на прямой или от прямой линии. Если точка находится на определенной линии / на, проекция должна быть на проекции линии с тем же именем, как показано в §5.

Если данная точка находится за пределами линии, по крайней мере один из выступов в этой точке не должен находиться на одной и той же проекции линии. Если только прямая, определенная в системе проекционной плоскости Pn P2, не является профилем 1, то применяется обратное утверждение. Относительное положение точки и линии профиля дополнительно учитывается.

Вы можете видеть, что точка A находится на линии /, а точки B, C и D находятся вне линии /. Кроме того, учитывая поле P2, точка B находится выше точки линии /, поэтому точка B находится выше линии / (прямая проекция этой точки на линии I отмечена крестиком сима). Аналогично, при рассмотрении поля nt, поскольку точка C расположена дальше от точки линии /, определяется, что точка C расположена за линией / (горизонтальная проекция этой точки линии / Помечено крестиком).

Сравнивая местоположение точки D с положением линии / точки в той же плоскости профиля, что и точка D (проекция этой точки отмечена крестиком), точка D находится ближе к точке / точке проекции линии Он помечен крестиком, что вы можете легко определить, является ли он низким или низким. Рис. 39

Чтобы определить взаимное положение точки и линии профиля, необходимо использовать прямое преломление разорванной линии связи, соединяющей проекции на противоположной стороне точки линии профиля, или полагаться на создание проекции профиля. Используйте две точки A и B, чтобы задать линию p (рисунок 40).

Определить положение точки M w N относительно линии p. по е> Рисунок 40 Создав прямую линию преломления A ^ B ^, как показано в §5, вы можете легко определить, что точка M находится на линии p, а точка N находится вне линии p (рис. 40, а) , Фактически, проекции A4 и Mg точки M находятся на одном пересечении пунктирной линии, а их вершины находятся на линии преломления.

Таким образом, сегменты AiBi и A2B2 разделяются в точках M и M2 в одной и той же точке, доказывая, что точка M принадлежит линии p. Для точки N — пунктирная линия связи, которая проходит через проекцию SU. Точка N находится вне линии p, потому что она не проходит через проекцию NZt. Если точка N находится на прямой линии p, для использования точки N в горизонтальной проекции требуется точка с крестиком в передней проекции.

Однако, поскольку его фронтальная проекция N2 выше, точка N находится выше линии p. Если через проекцию проведена прерывистая линия связи, можно определить положение точки N относительно линии глубины p. Более легко Непосредственно на основе пространственного представления.

Прямой р Нисходящая линия (ее проекция A (BX и A2Br имеют разные ориентации) и точка N находятся выше линии p, поэтому они также располагаются за линией p. На фиг.40b показано определение относительного положения точки M n N относительно прямой p путем построения профильной проекции.

Рассматривая поле P3, мы можем легко определить, что точка M находится на прямой p, а точка N находится на линии p и позади нее. Рисунок 41 Рисунок 43 Рисунок 42 Вот так Определение относительного положения точки и линии приводит к определению относительного положения двух точек. 4. Относительное положение двух линий.

Две линии в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или пересекаться. Если линия / и m встречаются в точке / (, проекции Ki и / (K двух точек должны принадлежать одной и той же проекции линии / и m на основе свойства принадлежности (§3) (рисунок 41). Другими словами, пересечение одинаковых проекций двух пересекающихся линий находится на одной линии связи.

Если линии f и m параллельны, основываясь на параллельном свойстве (§3), одноименные проекции с тем же именем также параллельны, т. Е. L \ IIU и / 2IIг (рис. 42). Если линии f и m пересекаются и одни и те же именованные проекции пересекаются в точках At и B2, соответственно, эти точки не должны находиться на одной линии связи (рисунок 43). В противном случае линии I и m пересекаются.

Обратите внимание, что точка Ax является горизонтальной проекцией горизонтально конкурирующих точек A1 и Am, принадлежащих линии / и m. Поскольку точка A1 находится выше точки At, линия 1 видима, а линия mj не видна в горизонтальной проекции точки At (отмечена разрывом линии m вблизи точки Aj на рисунке 43).

Точно так же точка B2 является прямой проекцией двух фронтальных точек соревнования B1 и W, принадлежащих прямой линии / и t. В прямой проекции точки B2 отображается прямая линия m2t и прямая линия /? Точка W не видна, потому что она ближе, чем точка B1. Обратное верно, даже если линия, определенная в системе проекционных плоскостей Pn, P2, не является профилем. час / стр Вот так Взаимное положение двух непрофильных линий определяется следующим образом:

Линия параллельна, если проекции с одинаковым именем на две непрофильные линии параллельны. Если пересечение двух неосновных линейных проекций с одинаковыми именами находится на одной линии связи, линии пересекаются, но если эти точки не находятся на одной линии связи, линии пересекаются. В некоторых случаях, если две непрофильные линии находятся в конфликте и находятся в одной плоскости проекции, они не могут пересекаться.

Такое выравнивание линий легко определяется на полях, где проекции не объединены. Поэтому из поля P2 мы определяем, что горизонтально конкурирующие прямые I и m пересекаются в точке K (рисунок 44). В поле nt передние конкурентные линии f и m оцениваются как параллельные (рис. 45).

Чтобы определить взаимное положение линий профиля, необходимо использовать прямое преломление или создать профильные проекции этих линий. Укажите две линии профиля p1 и p2. Первая — это точка А, вторая — это точки С и D, обе линии Р «а. 44 Рисунок 45 Одна профильная плоскость (рисунок 46). Путем построения прямой линии преломления для каждой из этих линий (§ 5) можно легко определить взаимное положение линий p1 и p2 (рис. 46а).

Рисунок 46 Когда прямое преломление A0B0 и CoD0 пересекается в точке K0, эти линии p1 и p2 пересекаются в точке K (Ki Km). AHKH _ L0 / (0 _ l2K2 _ _ CjKj KtBt ~~ K08: -KgV9 / C | £), -KoD0 «KtD7 То есть точка K (/ Ci, K2) принадлежит обеим данным линиям. Другими словами, это их пересечение. Когда прямые рефракции A0B0 и CoD0 совпадают или параллельны, эти линии p1 и p2 совпадают или параллельны соответственно.

На фиг.46b показано определение относительных положений линий профиля p1 и p2 путем построения проекции профиля. Поскольку проекции pz1 и p32 пересекаются в точке K3, эти линии p1 и p2 также пересекаются в точке K (Ki, Kr * Kz) — Очевидно, что если линии профиля p1 и p * находятся в разных плоскостях профиля (рис. 47), параллельной линии преломления A0B01 | CqDq, они также параллельны, а в случае прямого параллельного преломления линии профиля p1 и p2 пересекаются вы. 5.

Относительное положение точки и плоскости. Если точка находится на плоскости проекции, соответствующая проекция должна быть на прямой линии. Это плоская проекция (§ 8). Рисунок 47 Рисунок 48 Если точка находится на общей плоскости местоположения, проекция должна быть на одноименной проекции прямой линии, принадлежащей этой плоскости (§6).

Обратное верно даже в том случае, если выносная линия не является профилем, только если проблема решена в плоскости P1, P2 системы. Определения Чтобы установить относительную позицию точки и плоскости в общем месте, вы должны нарисовать линию расширения, которая конфликтует с этой плоскостью и этой точкой, и определить относительную позицию этой точки и линии расширения.

Если точка принадлежит выносной линии, она находится на указанной плоскости, а если точка находится за пределами линии, она также находится за пределами указанной плоскости. Кроме того, если точка находится выше (ниже) или перед (за) линией, она находится в том же положении относительно плоскости. На рисунке 48 показана плоскость ©, определяемая треугольником ABC и двумя точками M и N.

Определите положение этих точек относительно плоскости 0. Сначала определим положение точки М. Нарисуйте линию на плоскости, которая горизонтально конкурирует с точкой М. Чтобы линия M горизонтально конкурировала с точкой M, ее проекция / должна проходить через Mit, а линия / должна принадлежать плоскости, двум точкам (на рисунке 48 эти точки являются точками A и / ) Должен принадлежать самолету.

Поскольку вторая проекция / 2 линии I проходит через проекцию M2 точки / AND, точка M принадлежит линии / и, следовательно, принадлежит плоскости b. Далее определим положение точки N относительно плоскости ©. Для этого нарисуйте линию, конкурирующую с точкой N перед линией m на плоскости. Точки поверхности, которые определяют линию m, являются точками C и 2.

Затем из поля П определите, что точка N находится вне линии m и, следовательно, вне поверхности c. Фактически, если точка N находится на прямой линии m, вам необходимо поставить крестик на точке горизонтальной проекции, используя ее точку передней проекции N2.

Однако, поскольку его горизонтальная проекция находится на сложной картине ниже, точка N находится перед конкурирующей точкой перед плоскостью 0 и, следовательно, также перед самой шестой плоскостью. Определить положение точки высоты N относительно плоскости 6.

Однако это проще сделать напрямую на основе пространственного представления. Плоскость является восходящей плоскостью (ее проекции A {BXC \ и A2B2C2 указывают в одном и том же направлении), а точка N находится перед плоскостью, поэтому она также находится в плоскости 0 одновременно. 6. Относительное положение линии и плоскости.

Прямая линия принадлежит плоскости, пересекает плоскость или параллельна плоскости. Если прямая / принадлежит плоскости и пересекается или параллельна, она совпадает с линией a (рис. 49, а) или пересекается (рис. 49, б) и параллельна этой плоскости (рис. 49, б) 49, в). Обратное также верно.

• Поэтому в общем случае определение взаимного расположения линий и плоскостей сводится. Определяет взаимное расположение двух линий, заданной линии и вспомогательной линии, принадлежащей данной плоскости. Обычно в качестве вспомогательной линии выбирается строка, которая конфликтует с конкретной строкой.

Вот так Чтобы определить относительную позицию линии / и плоскости B, вам нужно нарисовать линию расширения a на этой плоскости, составить конкуренцию линии / и определить относительную позицию конфликта. Прямо / а. Если эти линии пересекаются в точке / C, линия пересекает плоскость в той же точке.

Если конфликтующие линии совпадают или параллельны, указанная линия принадлежит или параллельна этой плоскости. Людмила Фирмаль

На рисунке 50 показана прямая линия / и плоскость 0 (LAN) в типичном положении. Определите положение друг друга. Создает вспомогательную линию в плоскости 9, которая конфликтует с указанной линией /. Создана линия a, которая конфликтует с горизонтальной линией. По этой причине он выделен на линиях AC и BC в плоскости точек / и 2 и конкурирует горизонтально с линией /.

Точки / и 2 определяют линию a, которая принадлежит плоскости 0 и конкурирует горизонтально с линией /. Далее определите относительное положение линии / и а. В поле A2 вы заметите эту линию / и пересечение. В этом случае сначала определяется передняя проекция K2 пересечения K, а затем определяется горизонтальная проекция K1. Точка K является пересечением этой линии / данной плоскости 0.

Определяет видимость линии / относительно плоскости 0. Судя по полю P2, левая линия / точки K находится ниже линии a и, следовательно, ниже плоскости ©, поэтому она находится на поле, и левая линия / точки K не видна справа от точки Конечно, K Direct будет отображаться. Видимость линии / поля P2 легче всего определить на основании того факта, что плоскость 0 в этом случае обращена вниз.

Поэтому, если вы уже определили, что линия находится ниже плоскости слева от точки K, она также находится перед плоскостью. Это означает, что прямая / яркая линия находится в поле P2, и ее точка K видна, поэтому она невидима с правой стороны точки K. 50, чтобы увеличить видимость с фигуры, плоскость 0 окружена треугольником локальной сети, а затем снаружи Отображает проекцию прямой / треугольной проекции.

Рисунок 50 Если, При построении вспомогательной линии a, если она конкурирует горизонтально с заданной линией / (рис. 51), если оказывается, что / 2II a2, это условие соответствует условию a и / или a, поэтому Линия / означает параллель плоскости c. Судя по полю A2, линия / находится на линии a и, следовательно, на плоскости 0, поэтому линия / полностью видна в поле Пt.

Так как плоскость 0 нисходящая, прямая линия / находится на плоскости Кость 0 находится за плоскостью © одновременно. Это означает, что он прямой / невидимый в поле P2. Если при создании выносной линии a оказывается, что I = a (/, = a и / 2 = a2) (рис. 52), линия принадлежит плоскости 0. Рассмотрим случай, когда определяется относительное положение линии профиля и плоскости.

Дано: линия профиля p, обозначенная двумя точками M и N, и плоскость общего положения 0 (A, B, C) (рис. 53). Как и в общем случае, создайте вспомогательную линию a на плоскости 0 и соревнуйтесь с этой линией 1 p. Для этого выберите точки / и 2 на линиях AC и AB на плоскости 0. Это определяет линию а. Легко видеть, что линия a такая же, как линия профиля p.

Затем определите относительное положение двух линий профиля. Указанная линия p и вспомогательная линия a. Для этого постройте их прямо Рисунок 51 Ри <_. 52 1 В этом случае линия a одновременно горизонтальна и конкурирует с линией p впереди. Отражающие M0No и A / O20 или их профильные проекции p3 и a3. Поскольку прямые преломления или профильные проекции пересекаются, линии p и a также пересекаются, а их пересечение K является пересечением линии p и плоскости b.

Видимость прямой р относительно плоскости можно определить с помощью прямого преломления, но в этом случае это не сложно сделать. Рисунок 53 Прямо из пространственного представления. Прямая линия p восходящая (проекции MXNX и M2NZ обращены в одном направлении), плоскость 6 нисходящая (проекции AXBXCX и ArBrCr направлены в разные стороны), поэтому из точки K в сторону точки M Прямая р находится выше и ниже плоскости b.

Таким образом, в поле IIi прямая p из точки K видна в направлении точки M, а не в точке N . В поле П2 вы можете видеть прямую линию, фактически к точке N, а не к точке M. Линии p и a соответствуют, если прямое преломление M0N0 и / A или профильные проекции p3 и a3 оказываются параллельными или совпадают. По существу параллельны или совпадают. То есть каждая линия профиля p параллельна плоскости 6 или принадлежит ей.

При определении относительного положения линии или плоскости, когда линия или плоскость проецируются, вы должны воспользоваться преимуществом соответствующего уменьшения проекции на точку или линию. В этом случае решение значительно упрощается. Поэтому, если линия проекции пересекается с какой-либо плоскостью, соответствующая Рисунок 54 Рис. 55 Точка пересечения совпадает с точкой, где проецируется сама линия.

Если плоскость проекции пересекает любую прямую линию, на каждом пересечении проекций определяется одна из проекций пересечения. На фиг.54 показана конфигурация точки пересечения K между горизонтальной проекционной линией i и плоскостью общего положения 0 (LAN). Горизонтальная проекция Kt точки K совпадает с проекцией iu, и фронтальная проекция Kr легко определяется из условия, что точка K принадлежит плоскости 0.

По этой причине используется вспомогательная линия A- /, принадлежащая плоскости 0. На фиг.55 показана конфигурация точки K на пересечении прямой в общем положении I и плоскости 2 передней проекции. Передняя проекция Kr точки K определяется пересечением передней проекции прямых и плоскостей / 2 и 22. Горизонтальная проекция Ki находится на пересечении линии связи и горизонтальной проекции / 4 прямые линии /.

Определение выравнивания между линиями и плоскостями является одной из наиболее важных задач курса. Эта задача включена в качестве помощи в решении более сложных задач с многогранными поверхностями и прямыми линиями, плоскостями и пересечениями друг с другом. Способ решения этой проблемы состоит в том, чтобы нарисовать вспомогательную линию в этой плоскости, которая конфликтует с этой линией, и)

Упрощенная интерпретация так называемого метода посредничества в конкретном случае использования конкурирующих линейных и вспомогательных проекционных плоскостей. Сначала через эту линию рисуется проекционная плоскость (медиатор), определяется линия пересечения между данной плоскостью и проецируемой, а затем проецируется с данной линией и данной плоскостью. Относительное положение прямого пересечения вещей определяется.

Легко видеть, что прямая линия на пересечении этих плоскостей является прямой линией в данной плоскости, которая конкурирует с этой линией, что указывает на эквивалентность обеих интерпретаций. 7. Относительное положение двух плоскостей. Две плоскости © и Л могут быть совпадающими, параллельными или пересекающимися.

Если плоскости © и A совпадают или параллельны, то в соответствии с этими случаями такая плоскость всегда существует в плоскости A для любой линии I в плоскости ©. Рисунок 56 Май м. Это будет совпадать с или параллельно линии / (рис. 56, а). Если плоскости 0 и A пересекаются, любая линия I в плоскости 0 пересекает линию m в плоскости A в точке K, принадлежащей линии, принадлежащей пересечению плоскости (рисунок 56c, линия m1), или линию /

Это некоторые линии m, и в этом случае линии / и m должны быть параллельны линии k (рис. 56, c, линии / 2, / 2). В частности, строки / и m совпадают, а затем линия k. Поскольку плоскость определяется двумя прямыми линиями (пересекающимися или параллельными), чтобы установить взаимное расположение двух плоскостей 0 и Λ, взаимное расположение не менее двух наборов линий f \ m1 и Z2, m2 этих плоскостей Должен быть установлен.

Легко видеть, что линии каждой пары не должны пересекаться. Обычно в качестве таких линий выбираются конфликтующие строки. В общем случае противоположное соглашение действует только при определении относительного положения двух плоскостей вдоль двух пересекающихся прямых линий в каждой плоскости. Не всегда возможно прояснить проблему при определении относительного положения плоскости вдоль двух параллельных линий в каждой плоскости.

Фактически, если две параллельные линии в одной плоскости параллельны двум параллельным линиям в другой плоскости, плоскости пересекаются или становятся параллельными. Таким образом, при определении взаимного расположения двух плоскостей, если линии первой пары конкурирующих линий параллельны, вторая пара конкурирующих линий параллельна соответствующей линии первой пары.

Не рисуй, чтобы быть. так Определение взаимного положения двух плоскостей сводится к определению взаимного положения двух конкурирующих линий, проведенных на этих плоскостях. Рассмотрим пример определения взаимного расположения двух плоскостей 0 (a X b) и A (c [| d) (рис. 57). Создайте пару конкурирующих линий так, чтобы первая линия принадлежала плоскости 0, а вторая линия принадлежала плоскости L.

В большинстве случаев используются линии конфликта уровня. В этом примере два горизонта h1 и нет конкурирующих впереди. Горизонтальная куль1 рисуется на плоскости 0, точки / и 2 выделяются линиями a и b, а горизонтальная h2 выделяется на плоскости A линиями c и d с использованием точек 3 и 4. Определите относительное положение горизонтальных линий hl и / i2. По полю?

Убедитесь, что горизонтальные линии A1 и L2 пересекаются, сначала определите горизонтальную проекцию K \ 1 пересечения US1, затем принадлежите передней проекции Kr1-точка K1 Обе плоскости A и A принадлежат прямому пересечению. Нарисуйте вторую пару конкурирующих горизонтальных линий L3 и I *, чтобы определить вторую точку на прямом пересечении плоскостей.

Нарисуйте горизонтальный номер плоскости c, используя точки 5 и b, и нарисуйте горизонтальный r4 плоскости A, используя точки 7 и 8. Пересечение этих горизонтальных линий определяет вторую точку K2 прямого пересечения плоскости. Прямая k, проходящая через точки K} и K2, является прямым пересечением плоскостей 0 и L. Вы можете видеть, что при построении второй пары contour / i3 и No каждая может быть определена с использованием только одной точки.

Рисунок 57 Фактически, горизонтальная L3 должна быть параллельна ранее нарисованной горизонтальной L1, а горизонтальная / r4 должна быть параллельной горизонтальной №. Следовательно, горизонтальная L3 определяется одной точкой 5, а горизонтальная h4 определяется точкой 7. Таким образом, плоскости B и A, определенные на фиг.2, пересекаются 57, а линия k является линией пересечения.

При определении взаимного расположения двух плоскостей, если оказывается, что линии обеих пар конкурирующих линий совпадают, то есть Z1-m1 и / 2 = m2 (см. Рис. 56, а), Эти самолеты совпадают. Если одна линия из пары конкурирующих линий параллельна, то есть / 21 | t2 (см. Рис. 56.6 и c), эта пара линий является соответствующей линией первой пары для уточнения взаимной позиции.

Вы должны нарисовать еще одну пару линий конфликта, чтобы они не были параллельны Далее, если прямые этой пары параллельны, то есть / H | m1, плоскости 6 и A параллельны (см. Рисунки 56 и 6). Если прямые Ix и m1 пересекаются в точке K, эти пересекающиеся плоскости Плоскость k проходит через точку K, параллельную прямой / 2 и τ2 (см. Рис. 56, в).

При определении взаимного расположения двух плоскостей при проецировании одной или обеих плоскостей необходимо использовать тот факт, что каждая проекция сводится к прямой линии. На рисунке 58 показано расположение линий до пересечений плоскости B (ABC) и горизонтальной плоскости проекции 2 в типичных положениях.

Горизонтальная проекция Ki% линии k совпадает с проекцией 2 поверхности 2. Я принадлежу к плоскости. Метод конкурирующих линий, в котором определяются относительные положения двух плоскостей, является упрощенной интерпретацией метода посредничества, как и при определении относительных положений линий и плоскостей.

Сначала нарисуйте две вспомогательные плоскости проекции, затем найдите прямое пересечение этих плоскостей и этих плоскостей, а затем определите относительное положение этих плоскостей и прямое пересечение каждой проекции. 0 Рис. 58

Смотрите также:

Предмет начертательная геометрия

Прямые и плоскости частного положения	Изображение многогранников
Условия видимости на комплексном чертеже	Пересечение многогранника с плоскостью