Оглавление:
Основные свойства верхних и нижних сумм
- Основное свойство суммы вверх и вниз. Докажем следующую лемму. Л ем М1. Пусть O (xk,£) — сумма целых чисел, соответствующих данному разделу{xk}. Тогда для любого выбора средней точки неравенство s c o c S всегда справедливо, и s и S равны сумме нижней и верхней границ, соответствующих одному и тому же разбиению, соответственно. Д О К а з а т е л ь с т в о. определяя число Nik и Mk,
мы приходим к выводу, что из отрезка[x-i, XY] (mftcfdfe для любого Ik). Умножьте написанные неравенства на DX&и суммируйте все k от 1 до n, чтобы получить требуемое предложение леммы. Л е м м А2. Сделайте {%&} произвольным фиксированным разбиением отрезка [a, B] и сделайте e произвольным положительным числом.
Тогда можно выбрать промежуточную точку gтакой, чтобы интегральная сумма o (Xk, z) и верхняя сумма S удовлетворяли неравенству 0,—s0. Людмила Фирмаль
Давайте сначала докажем первое предложение леммы. Так как AfA=supf(x), то точка^отрезка[xfe_i, Xk]-f(gb)0 найдена. Если умножить это неравенство на DX и сумма всех K от 1 до n、 OcS-o (xk,Vy)s, S «^S, s ‘ /. Тогда/ * -7 * =e>0. Для заданного е, согласно определению числа 7, есть разбиения{ХК’}, таких, как сегмент[а,&], где неравенство С'<+Е/2 соответствующей суммы с супер с’устраивает, и разбиения {ХК’}, например, отрезок[А, B]может также быть указан и раздел {%/ ‘ }, например, отрезок [А, B], можно уточнить, например, 7—е/2 будут
заполнены. Вычтите второе неравенство из первого неравенства. Но/— / = — e, S’ — s «<0, т. е. s «>S’. Полученное неравенство противоречит предложению-Лемме 4. Таким образом, доказанное утверждение истинно, то есть 7^7. Af=sup/(x), m=inff (x), {xk}является необязательным Она-четверка.] Сегменты[a, b], разбиение d-это диаметр этого разбиения. Раздел{Xk}, полученный из раздела{xk}, указывает, что при добавлении к нему у меня есть какие-либо новые точки. Пусть S и s-сумма верхнего и нижнего разделов{x^}, а S ‘и s’ —
- сумма верхнего и нижнего разделов{xk}. Верно следующее утверждение: 338CH. 9. Очистить Интеграл Римана L em m6. Для разности S-S ‘и s’ — s выполняются следующие неравенства: S-S ‘^(M-tn) Id, s’—S$Z (M-m) ld. Д О К а з а т е л ь с Т В О. он ограничивает обобщения, мы можем только доказать, что добавлена новая точка x и в этом случае справедливо неравенство S—S'<(A4—m) d, s’—SA=lira S. Аналогично была определена тенденция к нулю PR пищи lв N ij n и X sum M e. O s n O V n a I l e m A D ar b u. верхний Интеграл Дарбо * I является пределом суммы выше S, когда диаметр d стремится.Разбиение на ноль, а именно 7* = = limS.
Аналогично,/a=лиры. Д О К а з а т е л ь с Т В О. мы сделаем доказательство первого предложения леммы. Заметим, что если функция f (x)=c=const.S=c(b-a*)=1 для любого раздела. Так что limS=/’. Для D — #0 функция f (x) не является константой, но Al=sup/: (x)>m=inff(x). Fix — * 6[a, B] * e[a. B]>em любое положительное число E. 1 существует раздел{ha*}, называемый Sum S * над этим§3. Класс интегральной функции 33» Разбиение удовлетворяет условию S* — / * <e / 2. Представляет число точек разбиения на 5I {%&}, которое не совпадает с концом сегмента[a,B]. Сделайте {HC}в любой участок отрезка [a, B], который удовлетворяет неравенству диаметра C!
<6=e/[2/(L1— / I)], и пусть-S-сумма над этим разделом. Добавить I Людмила Фирмаль
точки разбиения{ху}выше для измельчения разбиения{ху}. Результирующий раздел обозначается знаком{Xk}. По Лемме 6 Сумма s ‘ над этим последним разбиением удовлетворяет условию 0<S-(M-t)/d,<E/2. Однако вы можете думать о разделе{xk}как о фрагментации раздела{Xk}. Следовательно, благодаря определению) Iи Лемме 3 IE 0<S’ — I. В приведенном выше примере S — / *<e / 2, как O^s ‘ -7 * <e / 2.. Объедините эти неравенства с неравенствами, равными 0<^S—S’or higher.in <e / 2, Если только d меньше 7 выше, мы можем видеть, что O^S равно 7*<e 6. Итак, / * = limS. Для дна. d — » 0 » доказательство аналогично. Доказана основная Лемма задачи Дарбу.
Смотрите также:
