Оглавление:
Отыскание всех решений общей линейно системы
- Найти все решения общей линейной системы. Лас — Давайте посмотрим на общую систему m линейных уравнений, где n неизвестно. C.1). Эта система совместима и ее ранг Основная матрица и матрица расширения равны числу r. На самом деле, основной минор основной матрицы В.2) находится в верхнем левом углу этой матрицы (в общем случае Это уменьшено в этом случае перестановкой системы C.1). Уравнения и неизвестные).
- Далее основная матрица С.2) и Матрица C.8) является основной строкой 13) этих матриц. И, согласно теореме 1.6 каждая линия разложения основана на Матрица С.8) представляет собой линейную комбинацию, начиная с (r + 1) -й строки. Страна первых r строк этой матрицы.
Для системы C.1) это уравнение Линейное выравнивание, начиная с (r + 1) -го уравнения этой системы. Людмила Фирмаль
По биннингу первого r-уравнения (т. Е. Результату) этой системы (т. Е. Все решения первых r уравнений системы C.1) Процесс и все последующие уравнения этой системы). Поэтому достаточно найти все решения первого r уравнения. Система С.1). Рассмотрим первые r уравнений системы C.1). 13) Поскольку ранги основной и расширенной матриц равны r.
Основная второстепенная матрица является одновременно основной второстепенной, Расширенная матрица. 2. Найти решения для линейных систем 81 Напиши им a12x2 + … + alrxr = b \ -a ^ r + 1) Xr + 1 -…- alnxnj CL21X1 + a22 ^ 2 + … + a2rxr = b2-u2 (r + iJV + i -…- a2nxn, arixi + ar2 ^ 2 + … + arrxr = br-ar (r + 1) Xr + i -…- arnxn. С.19) Учитывая неизвестные xr + i, …, xn полностью.
Любое значение cr + i, …, cn, система C.19) квадратичная система r линейных уравнений r xi, x2, …, xj и определитель базовой матрицы этой системы Является ненулевым базовым минором матрицы C.2). Благодаря Из результатов предыдущего абзаца эта система C.19) является единственной Решение, определенное формулой Крамера, то есть любое.
- Существует уникальный набор r чисел, ругаясь cr + i, …, cn ci, C2, …, cr, преобразовать все системные уравнения в тождества C.19) Определяется по формуле Крамера. Чтобы согласиться записать это единственное решение, мы согласны Определитель, полученный из базового символа Mj (di) J-ро столбик отверстия M.2) матрицы C сат ди, б? 2, …, df, …, dr (если вы хотите сохранить все остальное без изменений) Колонка М).
Затем запишите решение для системы C.19) следующим образом: Используя линейные свойства формулы Крамера и определителя, Мы получаем Cj = -Mjibi-a »(r + i) Cr + i -…- aincn) = = — ^ [Mjibi) -cr + 1Mj (ai (r + 1)) -…- CnMjiain)} C.20) U = 1, 2, …, r). Уравнение C.20) дает неизвестное значение Xj = Cj (j = = 1, 2, …, d) свободные члены через неизвестные коэффициенты И любые параметры кр +1, …, сп.
Докажем, что уравнение C.20) содержит решение системы C.1). Людмила Фирмаль
Конечно, cj, c®, …, c ^, c ^ + 1, …, c ^ необязательны Решение для указанной системы. Это решение и система С.19). Но из системы C.19) величины cj, c1, …, c ^ являются Величины с ^ + 1, …, с ^ ясны и точно следуют формуле Крамера С.20). Следовательно, cr + i = c ^ + 1, …, cn = c ^ формула C.20) Какие решения рассматриваются для c1, c®, …, c ^, c ^ + r, …, c ^? Замечания.
Ранг r основной матрицы и расширенной матрицы мы в.1) равны неизвестному n, в этом случае соотношение 6 В.А.Ирин, Е.Г. Pozunyakku 82 гл. 3. Система линейных уравнений C.20) Введите официальный Cj = m b = 1, 2, …, n), Определите свое собственное решение для системы C.1).
Так В свое время система C.1) имеет свое собственное решение (т.е. Определение) Главный ранг г и его расширение Матрица равна неизвестному n (и меньше числа уравнений m Или равно). Пример. Найти все решения линейной системы л} Легко увидеть как основной, так и продвинутый ряды Матрица этой системы равна 2 (то есть эта система совместима).
Как предположить, что базовый минор М находится в левом верхнем углу = 2 Но затем отбросить X \ Си + 2xi + 4: 2x \ — -X2 х2 + с2 +. 4g2- + хг 2×3 5ж3 Н е х3 ! -W4 = + Ж4 = -10ж4 = -bzh4 = 4 8, 20, 4. Основная матрица, т.е. М = Если вы установите последние два уравнения и sz и c4 произвольно, Система Х \ -Х2-4-С3 + С4, х \ + Х2 = 8-2c3-3c4, Оттуда получить значение благодаря формуле Крамера 3 1 x \ = c \ = b — c3-c4, X2 = c2 = 2 — c3-2c4 C.22) Итак, четыре числа 3 1 \ b-sz-s4, 2-sz-2s4, sz, s4 I C.23) Сформировать системное решение для любого заданного значения c3 и c4 С.21), С.23) содержат все решения этой системы.
Смотрите также:
