Переменные Лагранжа и Эйлера

Переменные Лагранжа и Эйлера

• Переменная Лагранжа. Для выбранного объема сплошных сред каждая точка (малая частица) в фиксированный момент (например, f = 0) имеет координаты x0, y0, z0 или другие параметры a, b, которые являются функцией этих координат Есть с «= F1 (* = 1)> r = r (a, b, c, / ). Рассмотренная ранее кинематика в одной точке использовала эту точечную лагранжеву переменную. Параметры a, b и c не использовались. Это потому, что нет другого смысла отличать проблемный момент.

Оставалась только временная зависимость координат точки или ее радиус-вектора. Для непрерывного носителя вы можете выбрать определенные точки, установив параметры a, b и c. Разные значения этих параметров соответствуют разным точкам на сплошной среде. Если движение непрерывной среды задается лагранжевыми переменными, скорость и ускорение этих переменных определяются обычными точечными кинематическими уравнениями. v = drfdt или vx = dx / dt; vf = dy / dt; vz = dz / dt; a = dv / dt == d2r / dt2, ax = d2x / 8t2; a ,, -d2y1d12; az-d2zl8t2. Производная по времени от i вычисляется для фиксированных значений переменных a, b и c, поэтому существует смещение.

Изменяя начальное условие бесконечно малым, а начальное вращение вокруг оси бесконечно близким к Оа0, породия превращается в небольшую замкнутую кривую, бесконечно близкую к вершинам малой оси. Людмила Фирмаль

Значения x, y, z или r также можно различить для каждой переменной a, b, c. В методе Лагранжа предметом исследования является точка движущихся сплошных сред. Переменная Эйлера. В механике сплошных сред, особенно в жидкостях и газах, а также в теории поля, в основном используются метод Эйлера и соответствующие переменные Эйлера. Метод Эйлера не учитывает точку пространства, занимаемую движущимися сплошными средами, а не неподвижные точки сплошных сред. Независимыми переменными являются время I и декартовы координаты точки M в пространстве x, y, z или другие параметры, которые характеризуют различные точки в пространстве.

Четыре независимые переменные x, y, z и t называются переменными Эйлера. Различные векторы и скалярные величины, характеризующие сплошные среды, такие как скорость и ускоритель Плотность считается функцией этих переменных. Для сплошных сред исследуются поля скалярных и векторных величин, характеризующих движущиеся сплошные среды, и их свойства. Изучите распределение этих величин в точке пространства, занятой сплошной средой, и изменение во времени. Из известного векторного поля скорости сплошной среды, заданного переменной Эйлера v = v (x, y, z, t), можно определить векторное поле ускорения a для этих переменных. Получите соответствующее выражение.

Переменное непрерывное движение среды Эйлера считается известным, если заданы поля скоростей этих переменных. Согласно определению ускорения точки сплошной среды в любой точке пространства A / (x, y, z) в момент времени t следует учитывать положение этой точки сплошной среды в момент времени t + Dm. В этой точке, благодаря движению сплошной среды, она находится в другой точке пространства Mt с координатами x + Dx, y + ky, z + Az и скоростью в соответствии с координатами этой новой точки в пространстве M и времени t + Dm.

Это становится. Поскольку изменение координат рассматриваемой точки сплошной среды в Дх, Ду, Дз произошло из-за изменения времени Д / lim l * m l * m X7 = Vl ‘(1) Увеличивает скорость r с помощью ряда степеней величин Dx, Dy, Dz, Dg. t> j = i> (x + Ax, y + Dy, z + Dz, f + D /) = d (x, y, z, r) ++ (dvldx) Ml & x + (dvldy) M ‘, & y + (Dvldz) M » & z + (dvldt) M ‘, & t + … Производные индексы M и t указывают, что они взяты в точке M (x, y, z) в пространстве в момент времени t. Согласно определению ускорения а точки сплошной среды в точке пространства М момента I, Остальные термины в серии исчезнут в определенных пределах.

• Подставляя (1) для (2) и для краткости, опуская индекс Миг производной. А = (dv / dt) + vx (dv / dx) + vf (dv / du) + vz (dv / dz) (3) В проекции на оси координат ax = dvx / 8t + vx (8vx / 8x) + vy (8 vx / 8y) + vt (8 vx / 8z); af = 8vy / 8t + vx (dvy / 8x) + vf (dvy / dy) + vz (8vy / dz);> (3 ‘) az = 8 vz / 5t + vx (5 vjdx) + vy (dvx / dy) + vz (8 vz / 8z). Используя векторное уравнение (3), если поле скорости известно, вычисляется поле переменного ускорения Эйлера. Эта формула включает группу dv / dt, которая является локальной производной вектора скорости, и vx (8vldx) + vy (dv / 8y) + + vz (8v / 8zj, конвекционная производная этого вектора).

Выражается во времени, т.е. ускорение, Dv / Dt. Локальная производная dv / dt характеризует изменение вектора скорости v в точке M (x, y, z) в пространстве вследствие одноразового изменения констант x, y, z. Полная производная от Dv / Dt равна локальной производной от dv / dt в точке пространства, где мгновенная скорость равна нулю. Группа членов, представляющих производную конвекции, учитывает изменение вектора скорости, вызванное движением точки рассмотрения сплошной среды самой движущейся средой.

Это положение равновесия считается устойчивым, если начальное отклонение стержня от положения равновесия достаточно мало. Людмила Фирмаль

Рассмотрим особые случаи. 1. Если v = v (x, y, z), т. Е. Поле скоростей стационарно, 8v / 8t = 0 и a = Dv / Dt = vx (dvldx \ + vAdvl8y \ + vz (8v / dz . 2. Когда v = vp, dv / 8x = 8v / dy = 8v / dz = 0 и a = Dv / Dt = dv / 8t. 3. Когда v = const, dv / 8t = O, dv / dx = dv / dy = ^ dv / dz = Q и a = Dv / Dt = 0. Уравнение (3) вычисляет полную или существенную производную по времени переменной Эйлера для любого вектора или скалярной величины, которая характеризует сплошную среду. Например, предположим, что известно поле скалярной плотности p (x, y, z, /) сплошной среды. Аргумент, аналогичный приведенному при выводе формулы ускорения, приводит к полной производной от p по времени t. Dp / Dt = 8p / dt + vx (5p / dx) + vy (8p / dd ‘) + vz (8p / dz).

Если сплошная среда не движется, то есть если ax = 1> y = r = 0, то согласно (3) полная производная по времени от векторной или скалярной функции, характеризующей сплошную среду, равна локальной производной. Преобразовав производную конвекции в (3), можно получить другое уравнение ускорения (формула Лэмба-Громекко). Где rotf — вектор скорости вихря, а V — символический оператор Гамильтона. i, J и A — единичные векторы, ориентированные вдоль декартовой оси координатных осей. Вихревая формула вектора скорости F j L £ d_ d Sx do cTz vx vy vz В будущем также будет использоваться вектор a>.

Это определяется как половина вектора скорости вихря. w = 1/2 r ° t «’ — (6) Проекция на координатные оси Чтобы прояснить физический смысл понятия rotv, рассмотрим несколько примеров расчета по заданному полю скорости. Пример 1. Непрерывная среда с постоянной скоростью оси Ox Векторная формула (5) _ Sv, Sv, _ _ Sv, Sv, Q ’= a7-a7 = O; = Q1 = g_ ^ = 0. Выполните плоское движение, параллельное v (рисунок 104). vx = o = const; in, = 0; существует «R = 0 и вихрь I = go1»: Рис. 104 Рисунок 105 Рисунок 106 Рис. 107 В результате fl = rotii = 0 в каждой точке пространства, занятого движущейся сплошной средой. Пример 2. Сплошная среда создает плоскую ось Ox со скоростью и распределением.

Параллельно (рисунок 105). Вот так. nxi + £ 1Д + Оск = Пример 3. Точка сплошной среды движется по круговой траектории, центр которой находится на оси Oz, а скорость которой обратно пропорциональна радиусу круга (рис. 106). То есть p = l / g, где n = const. У нас есть: -vsin 0) = 2в> о- В результате. A = go1b = 2 <o0 £. K — единичный вектор, ориентированный вдоль оси O. В каждой точке потока rotii имеет постоянное значение и постоянное направление, параллельное оси Oz, включая ось O. Где r = 0 и r = 0. Угловая скорость То есть равен половине вихря вектора скорости. Таким образом, половина вектора скорости вихря является вектором угловых скоростей вращения тела вокруг неподвижной оси.

Смотрите также:

Задачи по теоретической механике

Винтовое движение	Переменные Лагранжа
Статические аналогии в кинематике	Переменные Эйлера

Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.