Переменные Эйлера

Оглавление:

В механике сплошных сред, особенно в жидкостях и газах, а также в теории поля, в основном используются метод Эйлера и соответствующие переменные Эйлера. Метод Эйлера не учитывает точку пространства, занимаемую движущимися сплошными средами, а не неподвижные точки сплошных сред. Независимыми переменными являются время I и декартовы координаты точки M в пространстве x, y, z или другие параметры, которые характеризуют различные точки в пространстве.

Четыре независимые переменные x, y, z и t называются переменными Эйлера. Различные векторы и скалярные величины, характеризующие сплошные среды, такие как скорость и ускоритель Плотность считается функцией этих переменных. Для сплошных сред исследуются поля скалярных и векторных величин, характеризующих движущиеся сплошные среды, и их свойства. Изучите распределение этих величин в точке пространства, занятой сплошной средой, и изменение во времени.

В настоящее время желательно определить первую инерциальную систему координат как систему координатных осей, начало которой находится в центре Солнца, а ось всегда направлена к одной и той же далекой звезде. Людмила Фирмаль

Из известного векторного поля скорости сплошной среды, заданного переменной Эйлера v = v (x, y, z, t), можно определить векторное поле ускорения a для этих переменных. Получите соответствующее выражение. Переменное непрерывное движение среды Эйлера считается известным, если заданы поля скоростей этих переменных. Согласно определению ускорения точки сплошной среды в любой точке пространства M (x, y, z) в момент времени t необходимо учитывать положение этой точки сплошной среды в момент времени t-bDr.

В этой точке из-за движения сплошной среды она появляется в другой точке в пространстве координат x + Dx, y + & y, z + Az, и скорость зависит от координат этой новой точки в пространстве M и времени r + Д вы. Дх, Ду, Дз изменение координат точек сплошных сред произошло за счет изменения времени Д /. Таким образом, lim l * m l * m X7 = Vl ‘(1) Увеличивает скорость r с помощью ряда степеней величин Dx, Dy, Dz, Dg. t> j = i> (x + Ax, y + Dy, z + Dz, t + At) = v (x, y, z, r) + (dvldx) MaAx + (dv / dy) MlAy + (dv / dz) MilAz + (dv / dt) MIAt + … Производные индексы M и t указывают, что они взяты в точке M (x, y, z) в пространстве в момент времени t.

Согласно определению ускорения а точки сплошной среды в точке пространства М момента I, Остальные термины в серии исчезнут в определенных пределах. Подставляя (1) для (2) и для краткости, опуская индекс Миг производной, a = (dv / dt) + vx (dv / dx) + vf (dv / du) + vz (dv / dz) (3) В проекции на оси координат ax = dvx / 8t + vx (8vx / 8x) + vy (8 vx / 8y) + vt (8 vx / 8z); af = 8vy / 8t + vx (dvy / 8x) + vf (dvy / dy) + vz (8vy / dz);> (3 ‘) az = 8 vz / 5t + vx (5 vjdx) + vy (8 vz / dy) + vz (8 vz / 8z). Используя векторное уравнение (3), если поле скорости известно, вычисляется поле переменного ускорения Эйлера.

Эта формула включает группу dv / dt, которая является локальной производной вектора скорости, и vx (8vldx) + vy (dv / 8y) + + vz (8v / 8zj, конвекционная производная этого вектора). Выражается во времени, т.е. ускорение, Dv / Dt. Локальная производная dv / dt характеризует изменение вектора скорости v в точке M (x, y, z) в пространстве вследствие одноразового изменения констант x, y, z. Полная производная от Dv / Dt равна локальной производной от dv / dt в точке пространства, где мгновенная скорость равна нулю.

Группа членов, представляющих производную конвекции, учитывает изменение вектора скорости, вызванное движением точки рассмотрения сплошной среды самой движущейся средой. Рассмотрим особые случаи. 1. Если v = v (x, y, z), т. Е. Поле скоростей стационарно, 8v / 8t = 0 и a = Dv / Dt = vx (dvldx \ + vAdvl8y \ + vz (8v / dz . 2. Когда v = vp, dv / 8x = 8v / dy = 8v / dz = 0 и a = Dv / Dt = dv / 8t. 3. Когда v = const, dv / 8t = O, dv / dx = dv / dy = ^ dv / dz = Q и a = Dv / Dt = 0. Уравнение (3) вычисляет полную или существенную производную по времени переменной Эйлера для любого вектора или скалярной величины, которая характеризует сплошную среду. Например, предположим, что известно скалярное поле плотности непрерывных сред p (x, y, z, m).

С этой точки зрения, инерционная сила в принципе Д’Аламбера является производной от инерционной силы в относительном движении, не только действительной силы, но и нормальной силы, производимой действием тела. Людмила Фирмаль

Аргумент, аналогичный приведенному при выводе формулы ускорения, приводит к полной производной от p по времени t. Dp / Dt = 8p / dt + vx (5p / dx) + vy (8p / dd ‘) + vz (8p / dz). Если сплошная среда не движется, то есть если ax = 1> y = r = 0, то согласно (3) полная производная по времени от векторной или скалярной функции, характеризующей сплошную среду, равна локальной производной. Преобразовав производную конвекции в (3), можно получить другое уравнение ускорения (формула Лэмба-Громекко). Где rotf — вектор скорости вихря, а V — символический оператор Гамильтона. i, J и A — единичные векторы, ориентированные вдоль декартовой оси координатных осей.

Вихревая формула вектора скорости F j L £ d_d их du c) z vx vy vz В будущем также будет использоваться вектор a>. Это определяется как половина вектора скорости вихря. th> = ‘/ 2goI>. (6) Проекция на координатные оси Чтобы прояснить физический смысл понятия rotv, рассмотрим несколько примеров расчета по заданному полю скорости. Пример 1. Непрерывная среда с постоянной скоростью оси Ox Векторная формула (5) _ Sv, Sv, _ _ Sv, Sv, Q = g _ ^ = 0.

Выполните плоское движение, параллельное v (рисунок 104). vx = o = const; in, = 0; существует «R = 0 и вихрь I = go1»: Рис. 104 Рисунок 105 Рисунок 106 Рис. 107 В результате fl = rotii = 0 в каждой точке пространства, занятого движущейся сплошной средой. Пример 2. Сплошная среда создает плоскую ось Ox со скоростью и распределением. Параллельно (рисунок 105). Вот так. nxi + £ 1Д + Оск = Пример 3. Точка сплошной среды движется по круговой траектории, центр которой находится на оси Oz, а скорость которой обратно пропорциональна радиусу круга (рис. 106).

То есть p = l / g, где n = const. У нас есть: -vsin q> =? / r; cos 0) = 2в> о- A = go1b = 2 <o0 £. K — единичный вектор, ориентированный вдоль оси O. В каждой точке потока rotii имеет постоянное значение и постоянное направление, параллельное оси Oz, включая ось O. Где r = 0 и r = 0. Угловая скорость То есть равен половине вихря вектора скорости. Таким образом, половина вектора скорости вихря является вектором угловых скоростей вращения тела вокруг неподвижной оси.

Смотрите также:

Задачи по теоретической механике

Переменные Лагранжа и Эйлера	Распределение скоростей в малой окрестности точки пространства
Переменные Лагранжа	Линии и трубки тока

Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.