Для связи в whatsapp +905441085890

Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

Определение 15.1. Полным дифференциалом Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях дифференцируемой в точке Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях функции Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях называется главная, линейная относительно приращений Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях, часть полного приращения этой функции в точке Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях, т. е.

Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

Напомним (см. раздел 2), что для независимых переменных Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях и Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях их любые приращения Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях считают дифференциалами: Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях.

Тогда полный дифференциал функции Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях можно записать в виде

Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

Полный дифференциал имеет широкое применение в приближенных вычислениях. Если рассмотреть функцию Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях, дифференцируемую в точке Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях, то

Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

откуда

Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

Так как Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях, то, используя представление Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях по формуле (15.1), получим

Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

приближенная формула, верная с точностью до бесконечно малых более высоких порядков относительно Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях.

Пример 15.1.

Вычислить приближенно Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях.

Решение:

Рассмотрим функцию Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях. Искомое число можно считать приращенным значением функции в точке Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях при Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях, Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях.

Согласно формуле (15.2): Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях.

Поскольку Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях,

Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

то окончательно получим Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях.

Ответ: Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях.

С помощью полного дифференциала функции можно также выяснить, как отражаются на значении функции погрешности ее аргументов.

Пример 15.2.

Определить предельную абсолютную погрешность Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях функции Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях, зная предельные абсолютные погрешности Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях. ее аргументов Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

Решение:

По определению: Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях.

Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получим

Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

откуда можно получить оценку:

Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

Следовательно, за предельную абсолютную погрешность функции Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях можно принять

Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

Используя (15.3), можно также определить относительную погрешность функции Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях.

Ответ: Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

Определение 15.2. Полным дифференциалом второго порядка функции Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях называется полный дифференциал от ее полного дифференциала.

По определению, получим

Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях

Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:

Предмет математический анализ

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Частные производные высших порядков с примерами решения
Дифференцируемость фнп с примером решения
Частные производные сложной функции с примерами решения
Производная от функции, заданной неявно с примерами решения