Оглавление:
Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях
Определение 15.1. Полным дифференциалом дифференцируемой в точке
функции
называется главная, линейная относительно приращений
, часть полного приращения этой функции в точке
, т. е.
![Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8263.png)
Напомним (см. раздел 2), что для независимых переменных и
их любые приращения
считают дифференциалами:
.
Тогда полный дифференциал функции можно записать в виде
![Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8268.png)
Полный дифференциал имеет широкое применение в приближенных вычислениях. Если рассмотреть функцию , дифференцируемую в точке
, то
![Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8269.png)
откуда
![Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8270.png)
Так как , то, используя представление
по формуле (15.1), получим
![Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8272.png)
приближенная формула, верная с точностью до бесконечно малых более высоких порядков относительно .
Пример 15.1.
Вычислить приближенно .
Решение:
Рассмотрим функцию . Искомое число можно считать приращенным значением функции в точке
при
,
.
Согласно формуле (15.2): .
Поскольку ,
![Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8281.png)
то окончательно получим .
Ответ: .
С помощью полного дифференциала функции можно также выяснить, как отражаются на значении функции погрешности ее аргументов.
Пример 15.2.
Определить предельную абсолютную погрешность функции
, зная предельные абсолютные погрешности
. ее аргументов
Решение:
По определению: .
Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получим
![Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8289.png)
откуда можно получить оценку:
![Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8290.png)
Следовательно, за предельную абсолютную погрешность функции можно принять
![Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8291.png)
Используя (15.3), можно также определить относительную погрешность функции .
Ответ:
Определение 15.2. Полным дифференциалом второго порядка функции называется полный дифференциал от ее полного дифференциала.
По определению, получим
![Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8294.png)
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: