Оглавление:
Производная от функции, заданной неявно
Теорема 17.1. Пусть непрерывная функция задается уравнением
![Производная от функции, заданной неявно](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8349.png)
и — непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку
, координаты которой удовлетворяют уравнению (17.1), причем
.
Тогда функция будет иметь производную
![Производная от функции, заданной неявно](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8354.png)
Доказательство.
Пусть некоторому значению соответствует значение функции
, при этом
.
Придадим независимой переменной приращение
, тогда функция
получит приращение
, т. е. значению переменной
соответствует значение функции
. В силу (17.1)
![Производная от функции, заданной неявно](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8361.png)
, поэтому
.
Выражение слева представляет собой полное приращение функции двух переменных, которое также можно записать в виде:
![Производная от функции, заданной неявно](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8363.png)
где — БМФ при
.
Откуда
![Производная от функции, заданной неявно](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8366.png)
Разделим обе части равенства на и выразим
:
![Производная от функции, заданной неявно](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8369.png)
Переходя к пределу при , получим
■
Следует заметить, что в данном случае производная , определяемая формулой (17.2), представляет собой производную
функции одной переменной
, заданной неявно.
Пример 17.1.
Найти производную функции у, заданной уравнением .
Решение:
Заметим, что уравнение задает две непрерывные функции
, поэтому непосредственное вычисление производной не может быть выполнено.
Воспользуемся формулой (17.2). Так как то
![Производная от функции, заданной неявно](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8378.png)
Ответ: .
Теорема 17.2*. Пусть функция непрерывна в окрестности точки
и имеет в ней непрерывные частные производные, причем
. Toгда существует окрестность. содержащая точку
, в которой уравнение
определяет однозначную функцию
.
Пусть функция от переменных
задается уравнением
![Производная от функции, заданной неявно](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8387.png)
Найдем частные производные . С читая переменную
постоянной и используя формулу (17.2), получим частную производную . Аналогично можно получить
. Заметим, что при получении формул использовано предположение
.
Пример 17.2.
Найти частные производные функции , заданной уравнением
Решение:
Преобразуем исходное уравнение к виду и найдем частные производные
.
![Производная от функции, заданной неявно](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8397.png)
Воспользуемся формулами Получаем
![Производная от функции, заданной неявно](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8400.png)
![Производная от функции, заданной неявно](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8401.png)
Ответ:
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: