Производная фнп по направлению

Производная фнп по направлению

Рассмотрим в области D непрерывную функцию Производная фнп по направлению, имеющую непрерывные частные производные по всем своим переменным. Проведем из некоторой точки Производная фнп по направлению данной области вектор Производная фнп по направлению. По направлению вектора Производная фнп по направлению на расстоянии Производная фнп по направлению от его начала, рассмотрим точку Производная фнп по направлению, рис. 18.1

Производная фнп по направлению

Таким образом, Производная фнп по направлению.

Рассмотрим полное приращение функции Производная фнп по направлению:

Производная фнп по направлению

где Производная фнп по направлению — БМФ при Производная фнп по направлению

Разделим обе части равенства (18.1) на Производная фнп по направлению:

Производная фнп по направлению

Очевидно,что

Производная фнп по направлению

Следовательно, равенство (18.2) можно переписать в виде:

Производная фнп по направлению

где Производная фнп по направлению — бесконечно малые функции при Производная фнп по направлению.

Определение 18.1. Производной от функции Производная фнп по направлению в точке Производная фнп по направлению по направлению вектора Производная фнп по направлению называется предел отношения Производная фнп по направлению при Производная фнп по направлению

Обозначение: Производная фнп по направлению.

Производная Производная фнп по направлению показывает скорость изменения функции Производная фнп по направлению в направлении вектора Производная фнп по направлению.

Переходя к пределу в равенстве (18.3), получим

Производная фнп по направлению

Из (18.4) следует, что, зная частные производные функции, легко найти производную по любому направлению вектора Производная фнп по направлению.

Заметим, что частные производные являются, по сути, частными случаями производной по направлению.

Так, например, при Производная фнп по направлению:

Производная фнп по направлению

Пример 18.1. Для функции Производная фнп по направлению найти производную Производная фнп по направлению в точке Производная фнп по направлению по направлению вектора Производная фнп по направлению

Решение:

Найдем частные производные функции в точке Л/(1; 1; 1):

Производная фнп по направлению

Так как Производная фнп по направлению, то направляющие косинусы вектора Производная фнп по направлению будут определяться формулами: Производная фнп по направлению, Производная фнп по направлению. Тогда Производная фнп по направлению

Следовательно, Производная фнп по направлению.

Ответ: Производная фнп по направлению .

Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:

Предмет математический анализ

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Частные производные сложной функции с примерами решения
Производная от функции, заданной неявно с примерами решения
Определение градиента с примерами решения
Свойства градиента с примером решения