Производная фнп по направлению
Рассмотрим в области D непрерывную функцию , имеющую непрерывные частные производные по всем своим переменным. Проведем из некоторой точки
данной области вектор
. По направлению вектора
на расстоянии
от его начала, рассмотрим точку
, рис. 18.1
![Производная фнп по направлению](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8409.png)
Таким образом, .
Рассмотрим полное приращение функции :
![Производная фнп по направлению](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8411.png)
где — БМФ при
Разделим обе части равенства (18.1) на :
![Производная фнп по направлению](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8416.png)
Очевидно,что
![Производная фнп по направлению](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8417.png)
Следовательно, равенство (18.2) можно переписать в виде:
![Производная фнп по направлению](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8418.png)
где — бесконечно малые функции при
.
Определение 18.1. Производной от функции в точке
по направлению вектора
называется предел отношения
при
Обозначение: .
Производная показывает скорость изменения функции
в направлении вектора
.
Переходя к пределу в равенстве (18.3), получим
![Производная фнп по направлению](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8427.png)
Из (18.4) следует, что, зная частные производные функции, легко найти производную по любому направлению вектора .
Заметим, что частные производные являются, по сути, частными случаями производной по направлению.
Так, например, при :
![Производная фнп по направлению](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8429.png)
Пример 18.1. Для функции найти производную
в точке
по направлению вектора
Решение:
Найдем частные производные функции в точке Л/(1; 1; 1):
![Производная фнп по направлению](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8433.png)
Так как , то направляющие косинусы вектора
будут определяться формулами:
,
. Тогда
Следовательно, .
Ответ: .
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Частные производные сложной функции с примерами решения |
Производная от функции, заданной неявно с примерами решения |
Определение градиента с примерами решения |
Свойства градиента с примером решения |