Оглавление:
Частные производные сложной функции
Предположим, что в формуле
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8295.png)
переменные являются непрерывными функциями независимых переменных
:
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8298.png)
В этом случае функция является сложной функцией аргументов
.
Предположим, что функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Вычислим частные производные
, исходя из формул (16.1) и (16.2) и не используя непосредственное представление функции z через
.
Придадим аргументу приращение
, сохраняя значение
неизменным. Тогда, в силу (16.2),
получат приращения
и
, но тогда и функция
получит следующее приращение:
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8308.png)
где — бесконечно малые функции при
.
Разделим обе части формулы на :
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8311.png)
Если , то, в силу непрерывности
,
и
.
Переходя к пределу при , получим
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8315.png)
Если придать аргументу приращение
, сохраняя значение
неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений можно получить
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8318.png)
Пример 16.1.
Найти частные производные для функции
, если
и
.
Решение:
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8324.png)
Получим
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8325.png)
где .
Заметим, что при записи ответа в выражения для частных производных вместо можно подставить их выражения через
, однако это повлечет за собой громоздкие выражения.
Ответ: ‘
где .
Для случая большего числа переменных формулы (16.3) и (16.4) естественным образом обобщаются. Например, если , где
, то
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8332.png)
Пусть исходная функция имеет вид , где
и
зависят от одной переменной
. Тогда, по сути, функция
является функцией только одной переменной
и можно ставить вопрос о нахождении производной
, которая называется полной производной функции
:
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8340.png)
Пример 16.2.
Найти для функции
, если
.
Решение:
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8344.png)
Формула (16.5) в данном случае принимает вид:
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8345.png)
Поэтому
![Частные производные сложной функции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-8346.png)
Ответ: ,
где .
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: