Для связи в whatsapp +905441085890

Градиент

Градиент

Рассмотрим функцию , определенную в области D.

Определение 19.1. Говорят, что в области D определено скалярное поле, если для каждой точки задано некоторое число (скаляр), т. е.

Таким образом, функция — числовая функция точки.

Пример 19.1.

Температурное поле; распределение концентрации вещества в растворе.

Определение 19.2. Говорят, что в области D определено векторное поле, если для каждой точки задан некоторый вектор, т. е.

Пример 19.2.

Силовое поле, создаваемое некоторым притягивающим центром.

В каждой точке области D, в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются частные производные этой функции в соответствующей точке:

Этот вектор называется градиентом функции .

Обозначение: — набла).

Таким образом, скалярное поле, задаваемое функцией , порождает векторное поле — поле градиентов .

Теорема 19.1. Пусть дано скалярное поле и в нем определено поле градиентов. Тогда производная по направлению некоторого вектора равна проекции вектора на вектор .

Доказательство.

Рассмотрим единичный вектор , соответствующий вектору :

Вычислим скалярное произведение векторов :

Правая часть формулы (19.1) — производная функции по направлению вектора . Следовательно, .

Если обозначить угол между векторами через , то можно записать:



Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:

Предмет математический анализ

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Производная от функции, заданной неявно с примерами решения
Производная фнп по направлению с примером решения
Свойства градиента с примером решения
Касательная плоскость и нормаль к поверхности с примерами решения