Оглавление:
Положение центра тяжести некоторых однородных тел простейшей формы
Центр тяжести площади треугольника
Разобьем площадь 
(рис. 90) прямыми, параллельными основанию 
, на очень большое число очень узких полосок, которые можно рассматривать как отрезки прямой линии. Центр тяжести каждого отрезка лежит в его середине. Отсюда заключаем, что центр тяжести треугольника лежит где-то на линии, соединяющей середины этих отрезков, т. е. на медиане 
.
Разбив площадь треугольника прямыми, параллельными какой-нибудь другой стороне, например 
, и рассуждая аналогичным образом, мы придем к тому, что центр тяжести площади треугольника должен лежать на медиане 
. Следовательно, он лежит в точке пересечения медиан треугольника.
Так как точка пересечения медиан треугольника делит каждую из них в отношении 1:2, то центр тяжести площади треугольника находится на его медиане на расстоянии одной трети медианы от точки пересечения медианы с соответствующей стороной треугольника.
Для определения центра тяжести площади произвольного многоугольника разбиваем его на треугольники и определяем их центры тяжести. Считая вес каждого треугольника приложенным в его центре тяжести, находим теперь центр системы полученных таким путем параллельных сил.
Центр тяжести дуги окружности
Пусть дана дуга окружности радиуса 
с центральным углом 
(рис. 91).
Возьмем начало координат в центре 
окружности и направим ось 
по биссектрисе центрального угла. Так как эта ось является осью симметрии дуги, то центр тяжести дуги лежит в какой-то точке 
этой осн. Следовательно, ее положение вполне определяется одной координатой 
.
Разобьем дугу на отдельные элементы. Координата центра тяжести однородной линии определяется по формуле (47)
где 
— длина одного элемента линии, 
— координата центра тяжести этого элемента.
Будем неограниченно увеличивать число элементов, на которые мы разбиваем дугу , стягивая их в точки, и перейдем к пределу. Тогда числитель формулы (47) обратится в определенный интеграл, распространенный на всю длину дуги, и мы получим формулу:
При достаточном уменьшении элемента 
дуги можно считать, что точки 
и 
сколь угодно близко отстоят друг от друга и потому положение элемента (рис. 91) определяется углом 
, координата его центра тяжести 
и длина элемента 
.
Подставляя значения 
и 
в подынтегральное выражение, будем иметь
Длина же дуги будет, очевидно, равна 
Отсюда по формуле (47а) получаем:
Следовательно, центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии и отстоит от центра окружности на расстоянии, равном
где 
— половина центрального угла в радианах.
Центр тяжести площади кругового сектора
Пусть дан круговой сектор 
радиуса 
с центральным утлом 
(рис. 92). Примем за начало координат центр 
круга и направим ось 
по радиусу 
, проведенному через середину дуги 
. Разобьем данный сектор на 
равных элементарных секторов. В пределе, при неограниченном увеличении числа секторов, последние можно рассматривать как равнобедренные треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге окружности радиуса 
. Силы тяжести всех элементарных секторов равны между собой вследствие равенства их площадей. Задача, таким образом, сводится к определению центра равных параллельных сил, точки приложения которых равномерно распределены по дуге окружности 
т. е. в пределе при неограниченном увеличении числа элементарных секторов, к определению центра тяжести однородной дуги .
Подставляя значения радиуса дуги в формулу (48), находим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его оси симметрии и отстоит от центра круга на расстоянии, равном
где — половина центрального угла в радианах.
Формулы для определения положения центра тяжести целого ряда других геометрических тел можно найти в различных технических справочниках.
Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Теоретическая механика — задачи с решением и примерами
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:
