Ползун приводится о движение посредством нити, наматывающейся на шкив

Задача №3.

Ползун приводится о движение посредством нити, наматывающейся на шкив радиуса . Определить скорость ползуна в зависимости от расстояния , если угловая скорость шкива равна (рис. 3).

Решение:

В рассматриваемом случае легко устанавливается простая зависимость

где — расстояние .ползуна от центра шкива; — длина отрезка нити ( — точка касания нити со шкивом). Это соотношение выполняется в любой момент движения и его, конечно, можно ‘Продифференцировать по времени:

Но здесь скорость изменения величины , то есть

остается неопределенной, и мы не получаем решения задачи. Приходится искать другую величину, изменение которой известно, и другую зависимость, связывающую эти величины. Если в качестве такой величины принять длину участка нити , которую обозначим через , то

или

Это соотношение остается справедливым во все время движения, а потому, дифференцируя его, будем иметь

Здесь

а потому

откуда

и после подстановки

Скорость изменения величины теперь уже является известной величиной

и мы легко получаем, что

Применение подвижных осей (полярная система координат, естественные оси и т. д.) дает возможность глубже понять некоторые свойства движения. Вместе с тем при этом возникают и некоторые новые затруднения, которые не встречались при изучении движения в прямоугольных декартовых осях При анализе таких движений ‘применяются как геометрические, так и аналитические методы исследования.

Задача взята со страницы подробного решения задач по всем темам теоретической механики:

Решение задач по теоретической механике

Возможно эти дополнительные задачи вам будут полезны:

Задача №1. Нить закреплена одним концом в неподвижной точке и продета через кольцо , скользящее с постоянной скоростью по неподвижному стержню . Другой конец нити привязан к ползуну , скользящему по вертикальному стержню (рис. 1). Длина нити равна , расстояние . Определить скорость ползуна в зависимости от расстояния.
Задача №2. Ползун приводится в движение вдоль стержня при помощи нити, продетой через неподвижное кольцо и наматывающейся на колесо, вращающееся с постоянной угловой скоростью (рис.-2). Определить скорость ползуна как функцию расстояния , если , а радиус колеса равен.
Задача №4. Точка описывает плоскую кривую так, что проекция ее скорости на ось сохраняет все время постоянную величину . Зная радиус кривизны траектории и скорость точки в каждый момент времени определить величину и направление ускорения этой точки.
Задача №5. Точка описывает плоскую траекторию. Зная радиус кривизны этой траектории и скорость изменения угла, образуемого вектором скорости с некоторой неподвижной прямой, определить скорость точки.