Оглавление:
Понятие подпространства и линейной оболочки
- Подпространство и концепция линейной оболочки. до Подмножество L линейного пространства R Соблюдайте следующие два требования: 1 °) Если элементы x и y принадлежат подмножеству L, Сумма x + y принадлежит этому подмножеству. 2 °) Когда элемент x принадлежит подмножеству L, а X принадлежит Действительное число, то элемент Ax также принадлежит L.
- Подмножество L является Требования 1 °) и 2 °) сами являются линейными пробелами. к Достаточно проверить элементы подмножества L. Аксиома 1 °) -8 °) Из определения линейного пространства. Укажите все Аксиомы четко действительны для элементов, кроме аксиом 3 °) и 4 ° сохраняются.
Подмножество L, потому что оно действительно для всех элементов Оставайтесь, чтобы подтвердить, что аксиомы 3 °) и 4 °) пространства R. Людмила Фирмаль
Пусть x — любой элемент подмножества L, а A — любое действительное число. Номер. Во-вторых, благодаря требованию 2 ° элемент хх также принадлежит: L. (По теореме 2.2) Этот элемент хх Л = 0 — нулевой элемент пространства R, а Л = -1 Противоположный элемент х. Таким образом, Набор L содержит ноль элементов и противоположный элемент ( Каждый элемент х) элемент.
Это для элементов Набор L является действительной аксиомой 3 °) и 4 °). Поэтому полностью Подмножество L само является линейным пространством. Подмножество L определенного линейного пространства R Соответствие требованиям 1 °) и 2 °) называется линейным подпро Пробел R (или просто подпространство) Простейший пример подпространства:
1) Так называемое нулевое подпространство, то есть Линейное пространство R состоит из одного нулевого элемента. 2) Space R (конечно, Суб-пространство). Оба эти подпространства называются неуместными. Вот пример более существенной формы подпространства: Пример 1. Подмножество всех алгебраических полиномов {Pn (?)}
- Новый порядок, не превышающий натуральное число n 13), линейный. Пробел C [a, b], предопределенный и непрерывный для всех функций x = x (?) Сегмент a ^ t ^ b 14) (достоверность элемента Нет сомнений в подмножестве {Pn (?)} Требований 1 °) и 2 °)). Пример 2. Подмножество всех свободных векторов B <±, B% всего свободного пространства Вектор 15) (Эффективность элемента B <требование ± 1 °) и 2 °) Очевидно).
13) Это подмножество представлено в Примере 5§1§1 этой главы. 14) Пространство C [a, b] было введено в примере 4, пункт 1, § 1 данной главы. 15) Наборы B2 и Bz были введены в Примере 1§1§1 этой главы. Пример 3. Пусть x, y, …, z — набор из нескольких элементов Линейное пространство R. Линейный промежуток элементов x, y, …, z.
Назовите множество всех линейных комбинаций этих элементов. Людмила Фирмаль
Полицейский, т.е. много элементов формы ах + / цу + … + 7Z5 Где, /? , …, 7 — произвольные действительные числа. Соглашается указывать линейный диапазон элементов x, y, …, z Символ L (x, y, …, z). Для линейного пролета произвольных элементов x, y, …, z Линейное пространство R, понятно, требование 1 °) выполнено, 2 °) Сформулировано в начале этого пункта.
Таким образом, Линейная оболочка является подпространством базового выравнивания Космический Р. Это подпространство, очевидно, содержит элементы х, у, …, з. Построен линейный промежуток L (x, y, …, z). С другой стороны, все подпространства, содержащие элемент x, y, …, z должны содержать все линейные комбинации этих элементов. Милиционер.
Следовательно, линейная оболочка элементов x, y, …, z Наименьшее подпространство, содержащее элементы x, y, …, z. Примером линейной оболочки является линейный Элемент 1 линейного пространства С? ,? 2, •. , Tn shell [a, b] Все функции x = x (t), определенные и непрерывные на отрезке ^ ^ ^ б. Этот линейный промежуток явно Семейство всех алгебраических многочленов, не превосходящих порядок {Pn (?)}
Сольный предмет Другие примеры подпространств обсуждаются в этом разделе 3. Пункт. Рассмотрим подпространственные размеры (в частности, Линейная оболочка). Размерность подпространства n-мерное линейное пространство R не превосходит размерности n Пространство R (для линейно независимых систем элементов) Подпространство является одновременно линейно независимой системой Мой элемент всего пространства R).
Точнее, подпространство L Если оно соответствует всему n-мерному линейному пространству R, Размерность L строго меньше n. Это означает, что если оба размера L и R равны n Все базы подпространства L. Поскольку он состоит из n элементов, Базис всего пространства R (по теореме 2.5)
Пожалуйста, обратите внимание Когда база выбрана для всего пространства R ei, B2, …, en, как правило, основные элементы подпространства L Кстати, вы не можете выбирать из элементов ei, b2, …, en (потому что В общем случае любой элемент ei, b2, …, en Он соответствует L). Однако обратное верно.
Элементы ei, B2, …, e / составляют основу k-мерного подпространства Для n-мерного линейного пространства R этот базис Заполнить пробелом R элементы e ^ + i, …, en, На основании полноты элементов ei, …, e &, e ^ + i, …, en Целое пространство R Докажите это утверждение. Если k <n, существует элемент e & + i Пространство R такое, что элементы ei, b2, …, e &, e & _ | _i линейно независимы Зависит (иначе пространство R является ^ -мерным).
Кроме того, если k + 1 <n, существует элемент e & + 2 в пространстве R Элементы ei, b2, …, e &, e ^ + i, e & + 2 линейно независимы (В противном случае пространство R имеет (k + 1) размерности). Продолжайте с аналогичными рассуждениями и докажите Новое заявление. В заключение докажем важную теорему для линейных размерностей. Shell. Теорема 2.8.
Размерность линейной оболочки L (x, y, …, z) равна копы x, y, …, z равны линейно независимому максимальному числу Элементы системы элементов x, y, …, z. В частности, Координаты x, y, …, z линейно независимы, поэтому линейные размеры Оболочкой из L (x, y, …, z) является элемент x, y, …, z (и количество этих элементов Элемент образует основу линейного пролета L (x, y, …, z)).
Доказательство. В элементах x, y, …, z Есть r линейно независимых элементов (они xi, X2, …, xr) и элементы x, y, …, z (r + 1) являются линейными Отравление. Тогда каждый из элементов x, y, …, z Элементы xi, x2, …, xg линейной комбинации 16), И по определению каждый элемент линейной оболочки ki L (x, y, …, z) представляет собой линейную комбинацию элементы x, y, …, z.
Каждый указанный линейный элемент Оболочка представляет собой одну линейную комбинацию Есть только элементы xi, x2, …, xg. Но это также делает систему Линейные независимые элементы xi, x2, …, xg составляют основу линейности Оболочка L (x, y, …, z) и размерность L (x, y, …, z) равны r. Теорема доказана.
Смотрите также:
| Размерность линейного пространства | Новое определение ранга матрицы |
| Понятие изоморфизма линейных пространств | Сумма и пересечение подпространств |
