Сумма и пересечение подпространств

Сумма и пересечение подпространств

• Пересечение с суммой подпространств. Установите L1 и L ^ на 2 Любое подпространство одного и того же линейного пространства Р. Коллекция всех элементов x пространства A, принадлежащих L \ и L2 одновременно образуют подпространство пространства R18), Это называется пересечением подпространств L1 и L2.

• Совокупность всех элементов пространства R в виде y + z. Здесь, у элемент подпространства Li, а элемент подпространства Z / 2 19) формирование подпространства пространства R, называемого суммой Подпространство L1 и L2. Пример. Пусть R — линейное пространство всех свободных век торы (трехмерное пространство), L \ — все подпространства 17).

Особенно очень важная теорема. Людмила Фирмаль

Для любой матрицы максимальное количество линейно независимых строк должно совпадать Максимальное количество линейных независимых столбцов. 18) Соответствуют требованиям 1 °) и 2 °) для элементов этой комбинации. Сформулировано в начале пункта 1. 19) С м.

Предыдущая сноска Для векторов, параллельных плоскости Оху, L2 является подпространством Все свободные векторы параллельны плоскости Охса. Тогда всего Подпространства L1 и L2 — все пространство R20) Подпространства L1 и L2 отсечки будут все комплекты Свободный вектор параллелен оси Ox. Следующее предложение верно. Теорема 2.9.

Сумма размеров любого подпрофи Конечномерное линейное пространство R пространства L \ и L2 Размерность пересечения этих подпространств и сумма размеров Сумма этих подпространств. Доказательство. Пусть Lq обозначает пересечение L1 и L2, L является суммой L1 и L2. Предполагая Lq ^ -размерность, выберите в нем базу e2, …, ek. B.11) Дополняет базу B.11, используя утверждения, доказанные в разделе 1.

На основании e …, ek, gi, …, g / B.12) До подпространства L \ и базы е …, е *, фб …, из Б.13) В подпространстве L2. Достаточно доказать элемент GI, …, G /, E …, EK, Fi, …, FM B.14) Является базисом общего количества L подпространств L1 и L2 21). По этой причине Далее достаточно доказать, что элементы из B.14) линейно независимы. Подчиненный элемент x суммы L равен Линейная комбинация элементов Б.14).

• Сначала докажем, что элементы из B.14) линейно независимы. 20) На самом деле вектор x в пространстве R является линейным x = w + / 3j + 7 ^ комбинация базисных векторов i, j, k параллельна оси Ox, Oy и Oz соответственно, вектор w + / 3j принадлежит Li, вектор 7k Принадлежность к L, 2- 21) В этом случае размерность L равна I + k + m, а размерность Lo, равный / c, равен сумме размерностей k + I и k + m в подпространстве L . И L2-

Предположим, линейная комбинация элементов Б.14) является нулевым элементом. Это значит состояние / 31е1 + … + / Зкек + 7ifi + ••• + 1пЛт = О B.15) или «Lgi + … + aigi + ftei + … + / 3 ^ e * = ~ 7ifi -…- 7mfm. B.16) Левая сторона B.16) является элементом Li, а правая Часть B.16) является элементом Z / 2, как левой, так и правой части B.16) принадлежит пересечению Lq подпространств L1 и L ^.

Отсюда В частности, правая часть Б.16) Людмила Фирмаль

Линейная комбинация элементов B.11), т.е. Числа Ai, …, A /. , -71 * 1 -…- 7mfm = Aiei + … + Hkek. B.17) Б.13) равенство за счет линейной независимости базисных элементов Б.17) все коэффициенты 71 •> •••? 1 тонна Ai, …, A / равен нулю. Но в то же время из Б.15) + … + aigi + / 3iei + … + / Зкек = 0. B.18) Из-за линейной независимости базисных векторов (B.12) он равен Свойство Б.18) имеет все коэффициенты ai, …, a /, / 3i, …, f5k равны нулю.

Поэтому мы установили это Уравнение Б.15) имеет все коэффициенты ай, …, а /, /? я, …, /? фк, 7б •••? 1t равно нулю, это доказывает Линейная независимость элементов Б.14). Остается доказать, что элемент x всего L представляет Сразитесь с линейной комбинацией элементов Б.14), но скоро Этот элемент х есть (по определению L) Сумма нескольких элементов xi подпространства Li равна.

Линейная комбинация элементов Б.12) и Мент X2 в подпространстве Z / 2, это линейная комбинация Б.13 элементы). Теорема доказана. К примеру, рассмотренному перед предыдущим утверждением Orems 2.9, в этом примере каждый субразмер Пространства Li и Z / 2 равны 2, а их общая размерность равна 3. И размерность их пересечения невелика.

Смотрите также:

Предмет линейная алгебра

Понятие подпространства и линейной оболочки	Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств
Новое определение ранга матрицы	Прямое и обратное преобразование базисов