Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств

Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств

• Разложить линейное пространство на прямые суммы Подпространство. Пусть R1 и R ^ — два линейных подпространства n-мерное пространство R. Определение пространства R является Для каждого элемента x прямая сумма подпространств R \ и R ^ Пространство R является Тип суммы x = xi + x2 B.19)

• Элемент xi подпространства R \ и элемент x2 подпространства R ^. Тот факт, что R является прямой суммой R \ и R ^ Вы можете написать: R = R \ 0 R2. Преобразовать R в прямую сумму подпространств R \ и R ^. Следовательно, пространство R всех свободных векторов (3D Пространство) можно разложить в прямую сумму подпространств R \

Последнее уравнение обычно называют пространственным разложением. Людмила Фирмаль

Из всех векторов, параллельных плоскости Окси и подпространству R ^ Все векторы параллельны оси Oz. Теорема 2.10. n-мерное пространство R Прямая сумма подпространств R1 и R2 была достаточной Но пересечение R \ и R ^ содержит только нулевые элементы И так, что размерность R равна сумме субпро-измерений Пространство R \ и R2.

Доказательство. Выберите ei, …, ek в подпункте. Подпространство i пространство R \ и некоторая база gi, …, g / Сочетание этих основ e …, ek, gi, …, g / B.20) Представляет базу всего пространства R. Теорема, размерность n полного пространства R равна сумме k + I R \ а я? В случае 2 теорема 2.5 достаточна для доказательства линейности Независимость элементов Б.20).

Предположим, линейная комбинация элементов Б.20) является нулевым элементом. Это значит состояние … + akek + f3igi + … + fogi = 0, B.21) или … + akek = -ftgi -…- Ag /. B.22) Левая сторона B.22) является элементом ft, а правая — Элемент ft и пересечение R \ и ft содержат только нулевые элементы. B.25) Левая и правая части равны нулю полицейский, и это (на основе линейной независимости каждого элемента.

• Возможно только с базами ei, …, e ^ и gi, …, g /) ai = … = ak = 0, /? i = … = P, = 0. B.23) Поэтому мы установили, что равенство B.21) возможно только При условии B.23) это доказывает линейную независимость Дело в том, что элементы милиции Б.20) и Б.20) составляют основу всех Space R Где х — любой элемент R. Разобран на основе Б.20). x = Aiei + … + Xkek + / iigi + … + / ikgk или x = xi + + x2, где xi = Aiei + … + A /, e / — элемент ft, x2 = / iigi + … … + / i / g / является элементом ft.

Представление B.19) остается доказать уникальным В дополнение к Ним B.19), еще один прогноз настройка х = х; + х2, В.24) Где x ^ — элемент ft, а x2 — элемент ft. Вычтите В.24) из В.19) 0 = xi-x ^ + X2-x2 или xi-x ^ = X2-x2. с того времени Левая часть последнего уравнения — это элемент ft, правая.

Поскольку элемент R2 и пересечение R \ и R2 содержат только нули. Людмила Фирмаль

Элемент, из этого уравнения, xi-x ^ = 0, x2-x2 = 0, То есть х. [= xi, X2 = x2. Теорема доказана. Замечания. Space R Нормальная сумма подпространств R \ и R2, а не напрямую B.19) Пробел R элемент x также действителен, Вообще говоря, это единственный. Например, пусть R трехмерное пространство.

Из всех свободных векторов R \ — подпространство всех векторов, параллельное Плоскость оху, R2 подпространство всех векторов Самолет самолета Oxz. В предыдущем абзаце R Представляет сумму подпрофи (но, конечно, не прямую сумму) Подопечные Ри и R2. i, j, k обозначают базисные векторы.

Разделенные по осям Og, Oy, Oz, любой Существует реальный элемент x пространства R относительно базисов i, j, k Числа a, / 3, 7 — это x = w + /? С другой стороны, потому что J + 7 ^ xi = xi + X2, где xi = w + ^ j — элемент ft, X2 = 7 ^ — элемент С другой стороны, ft — это x = x ^ + x2, а x ^ = ^ j — это элемент ft. x2 = w + 7 ^ это элемент ft

Смотрите также:

Предмет линейная алгебра

Новое определение ранга матрицы	Прямое и обратное преобразование базисов
Сумма и пересечение подпространств	Связь между преобразованием базисов и преобразованием соответствующих координат