Оглавление:
Понятие сопряженного оператора
- Понятие сопряженного оператора. рассматривать Линейные операторы в конечномерном евклидовом пространстве Общество В. Определение 1. Оператор A * из L (V, V) называется сопряженным Линейный оператор A для любых x и y в V связь (Ax, y) = (x, A * y) E.51)
- Легко убедиться, что оператор A * линейно сопряжен Оператор А сам является линейным оператором. Продолжить с Очевидные отношения (Axe, ayi +? Y2) = a (Axe, yy) +? (Ax, y2) = = a (x, A * Y1) + 0 (x, A * y2) = (x, Действительно для любого элемента x, yi, y2 и любого комплексного числа Номер а и /? Докажем следующую теорему. Теорема 5.12.
Каждый линейный оператор А уникален Сопряженные. Людмила Фирмаль
Доказательство. Очевидно, скалярное произведение (Ax, y) Является ли сесквилинейная форма (Глава 4, § 3, пункт 1 и Определение сесквилинейного формата). В теореме 5.11 Единственный линейный оператор, который может сделать эту форму A * Выражается как (x, A * y). Следовательно, (Ax, y) = x, A * y. Таким образом, оператор A * смежен с оператором A.
Свойства оператора A * следуют единственности выражения Лютеиновый оператор формата E.44). Теорема доказана. Кроме того, символ A * обозначает оператор сопряжения Оператору А Обратите внимание на следующие свойства оператора соединения: 1 °) G = I. 4 °) (A *) * = A 2 °) (A + B) * _ = A * + B *. 5 °) (AB) * = B * A *. 3 °) (AA *) = AA *.
- Доказательство свойства 1 °) -4 °) является зачаточным, Предоставить читателям. Мы предоставим подтверждение собственности 5 °). согласие Однако определение произведения операторов сохраняется (AB) x = A (Bx). С помощью этого определения равенства Для женатого оператора получите следующую цепочку отношений. ((AB) x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A *) = = (X, B * (A * y)) = (x, (B * A *) y).
Следовательно, ((AB) x, y) = (x, (B * A *) y). Другими словами, опера Тора B * A * сопряжена с оператором AB. справедливость Свойство 5 °) установлено. Замечания. Концепция действительного сопряженного оператора Пробелы вводятся точно так же. Вывод этого параграфа следующий: Эти и свойства оператора соединения также действительны для этого.
Чай (свойство 3 °) формулируется следующим образом: (AA) * = AA *). Людмила Фирмаль
Смотрите также:
