Оглавление:
Потенциальное силовое поле
- В общем случае, чтобы рассчитать силу работы для смещения, вам нужно знать закон движения точки на это смещение. Существует класс работы, который не зависит от характера движения точки от рассматриваемого смещения. Эти силы называются потенциалами и важны в различных областях механики и физики. Потенциальное силовое поле и силовая функция Силовое поле является частью пространства, и в каждой точке определенная сила действует на материальную точку и зависит от координат этой точки и времени.
Силовое поле М (х, у, z) Рисунок 72 Res Power Function U Если приложенное усилие не зависит от времени, считайте его стационарным. Если сила зависит от времени, силовое поле нестабильно. Если есть силовая функция U, силовое поле называется потенциальным. Это зависит от точечных и временных координат нестационарного силового поля. Цой проекция силы на координаты Ось для каждой точки в поле (рис. 72) имеет формулу Fx — dUldx–, Ff = dUISy, Fx = dU! определяется дз. (77) Функция U (x, y, z, t) называется силовой функцией. Рассмотрим основные характеристики силовой функции статического силового поля.
Задача о движении точек, притянутых к двум неподвижным центрам с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, сначала сводится к основанному на Эйлере четырехугольнику для случая плоского движения. Людмила Фирмаль
Из (77) видно, что силовая функция точно определена для постоянной. Это связано с тем, что проекция силы на координатную ось требует только частичного дифференцирования по координатам этой функции, а добавление константы в функцию U не влияет на значения Fx, Fy и Ft. dH = Fdx + Rdy + Fzdz = ^ dx + ^ dy + ^ dz = dl /, ’Bh By Bz Это д / л = д {7. (78) Следовательно, основная работа силы в поле потенциальной силы равна полной производной от функции силы. Это свойство степенной функции может быть использовано для определения. (77) взято из (78).
Полная функция силы F в области от точки Мо до точки М A = J dA = J dU = U (x, Y, z) -U (x0, y0, z0) = U-U0, т. Е. ° A = U-U0, (79) Где U0 = U (x0, y0, z0), U = U (x, y, z) Следовательно, полная работа силы при любом смещении точки равна разнице между значением функции силы в конечной точке и начальной точкой смещения и в форме траектории, которая возникает вместе с уникальной функцией силы. Не зависит. Из (79) значение функции силы в начале и в конце смещения одинаково, если функция силы не принимает никакого другого значения после возврата в исходную точку, поэтому потенциал вдоль замкнутого пути Работа силы в типичном силовом поле равна нулю.
Если область, окруженная закрытой пешеходной дорожкой, содержит специальные специальные точки функции мощности, функция мощности может принимать другие значения после возврата к исходной точке, в зависимости от количества прогулок. Я могу Применение концепции вектора градиента из скалярной функции U Где i, j и Jc — единичные векторы, ориентированные вдоль координатных осей, а сила F может быть выражена как градиент силовой функции V: F = градус U Определяет условия, при которых силовое поле может быть установлено, является ли оно силовым.
Если существует силовая функция U, dFx / dy = d2Uj (dy5х); dFy / dx = d2U / (dxdy). с того времени d2U! (8y dx) = d2 U / (dx dy), тогда dFxldy = dFyjdx или dFJdy — dFyldx = 0. Как хорошо dPr / dy — dFy ldz = 0 \ dFx / dz — 8F2 / 8x — 0 Следовательно, формат полученного условия ^ 5iao; S-Cp.o. (SO) ду дг дх дх ду ду В векторных вычислениях не только необходимо условие (80), но оно оказалось достаточным для существования силовых функций. При использовании вихревого вектора rot / 7 вектора силы F Условие (80) может быть выражено более легко. rotF = 0. (80) Следовательно, необходимо и достаточно, чтобы силовое поле не вращалось для потенциала. Непотенциальные силы — это сопротивление и трение в зависимости от скорости.
Сила трения постоянна независимо от скорости, но направление силы трения зависит от скорости, поэтому сила сухого трения не является потенциальной. Уровень поверхности. Линия электропередачи Учитывая точки потенциального силового поля, где силовая функция имеет одинаковое значение, например, U — C, все точки зажима находятся на поверхности. Это называется ровной поверхностью или ровной поверхностью. Форма уравнения поверхности уровня U (x, y, z) = C. Обратите внимание на некоторые свойства поверхности уровня. 1.
Если начальная и конечная точки смещения находятся на одной и той же поверхности уровня, работа силы равна нулю. конечно R = £ / -Co. Если начальная и конечная точки находятся на одной поверхности уровня, U = U0 и, следовательно, A = 0. Действие силы на движение между точками L / O и M не зависит от положения точек на их горизонтальной плоскости. Смещение между двумя точками на рассматриваемой горизонтальной плоскости одинаково (рис. 73). 2. Силы поля потенциальной силы всегда перпендикулярны горизонтальной плоскости, точнее касательной плоскости горизонтальной плоскости. На самом деле есть горизонтальная плоскость U = C.
Возьмем две почти бесконечные точки M. и M t и вычислим основную задачу перемещения djj между этими точками. d4 = Fds1cos (F, L / L? 1). С другой стороны, с! Λ = <7 (/ /,) — 1 / (/ /) = С-С = 0 Поскольку F и djj не равны нулю, cos (F, Л / Л /,) = 0, поэтому угол между силой F и смещением MM2, касательным к горизонтальной плоскости, является прямой. 3. Потенциальные силы силового поля всегда направлены на увеличение значения силовой функции. Чтобы доказать эту характеристику силы, возьмите точку М2, перпендикулярную горизонтальной плоскости, и поднимите ее до точки М в направлении увеличения значения функции силы.
- Далее базовая работа базового смещения MMg, равного ds2, рассчитывается по формуле Fds2cos (F, ЛШШ2) = С2-С> 0. Следовательно, cos (F, MM2)> 0, поэтому мы видим, что угол 180 ° исключен и сила F направлена вдоль MM2 в направлении увеличения значений функции силы. 4. Для первой поверхности с уровнем Ct = C / n, со второй поверхностью C2 = 2С / п и последней С = иС / и = С все силовое поле равно и равно уровню Если разделены, смежные поверхности На уровнях, близких друг к другу, коэффициент силы F равен Место, где горизонтальная плоскость находится дальше.
В этом случае, если вы заметили, что работа между точками на двух смежных поверхностях одинакова, вы можете проверить это свойство. Так где Расстояние между поверхностями будет короче, интенсивность чисел будет больше, и наоборот. Понятие силовых линий вводится вдоль горизонтальной плоскости в силовом поле. То есть линия каждой точки, где сила касается этой линии (рис. 74). Вектор dr, спроецированный на оси dx, dy, dz, всегда направлен вдоль тангенса кривой, поэтому из параллельных условий dr и F: dx / Fx = dylF, = dz / Ft. (81) Эти дифференциальные уравнения для координат x, y, z являются дифференциальными уравнениями для линий магнитного поля.
Наиболее распространенным способом построения уравнений в задаче, в которой определяется закон сил реакции или движения связей, является использование дифференциальных уравнений для плоского движения твердых тел. Людмила Фирмаль
Потенциальная энергия Рисунок 75 Для потенциальных силовых полей, в дополнение к силовой функции, вы можете ввести еще одну функцию, которая характеризует запас энергии в определенной точке поля. Это потенциальная энергия в этой точке (рис. 75) или потенциальная энергия в материальной точке в рассматриваемой точке силового поля. Потенциальная энергия P материальной точки в точке рассматриваемого силового поля M является работой, выполняемой силой поля, действующей на материальную точку при перемещении материальной точки из точки M в начальную точку Mo. P = AMMe или П = Aмм „= и0-и = С0-и. (82).
Константа Co одинакова для всех точек в поле, в зависимости от того, какая точка в поле выбрана в качестве первой точки. Очевидно, что потенциальная энергия может быть введена только для потенциальных силовых полей. В потенциальном поле работа не зависит от формы смещения между точками M и L / o. Непотенциальное силовое поле не имеет потенциальной энергии, поэтому нет силовой функции. На основании (77) и (82) вы можете: п-д. = dJL- p = ^ L = —dJL x dh dh ‘u do du’ z dz dz ‘ Получите поле (83) FORCE FL-FORCE мощность и давление Рис. 76.
Поскольку элементарная работа является полной производной, заднее гравитационное поле является социальным, а силовая функция определяется по формуле U = -mgz + const. Уравнение (83) определяет новое гравитационное поле, то есть новую функцию поля, где гравитация по модулю и постоянна Горизонтальная плоскость U = C или z = const, то есть горизонтальная плоскость является горизонтальной плоскостью. Степенная функция линейной силы упругости. Для линейной силы упругости (см. Рисунок 62): Fx-cx; F „= -cy; Fx = -cz. так d / l = Fxdx + Fydy + Ftdz = -c (xdx + ydy + zdz) = = -crdr = d (-cr2 / 2), потому что xdx + ydy + zdz = rdr; r2 = x2 + y2 + z2.
Степенная функция линейной силы упругости определяется выражением U = —const = — ^ (x2 + j2 + z2) + const (84) Поверхность уровня U = C является сферой r = const. Функция силы тяжести в соответствии с законом Ньютона. Вычислить силовую функцию гравитационного поля. Когда источник в центре Земли выбран (Рис. 77), сила притяжения точки F = k / r2 земным шаром. Сила F движется к центру Земли. Поэтому, если мы введем единичный вектор r ° вдоль вектора радиуса от этого центра до рассматриваемой точки M, Когда сила F проецируется на оси координат, она становится следующей. тогда dA = Fxdx + Fydy + Fxdz = -4 (xdx + ydy + zdz) = -> = dG) xdx + ydy + zdz = rdr; ■ + Z2.
Следовательно, согласно закону Ньютона, силовая функция гравитации t / = — + const = —— и конст. (85) ! Я J 2 + Z2 Константа k для земли может быть выражена как: k = ГмМ = мгР2 Где М — масса земли. R — радиус Земли. Рисунок 77 г — Ускорение силы тяжести на поверхности Т земли — это масса точки. G — постоянная гравитации. Рассматривая другое небесное тело вместо земли, меняется только постоянная k. Shea Степенная функция ствола и потенциальная энергия Для механической системы в потенциальном силовом поле вы можете ввести силовую функцию как функцию, зависящую от координат всех точек в системе, то есть положения системы в силовом поле.
Если система состоит из N точек, силовая функция 1 / (x, yt, zt; x2, y2, z2; …; xN, y, zN) обычно зависит от координат всех точек , Проекция сил, действующих на каждую точку системы, 2 … L (86) ДХК ДУК «ЫГ, Сумма основной работы всех сил, действующих на системные точки, определяется по формуле LdA-No. , D.vK + ^ A. (+ /;. D.-, 1) — или YdAk = dU. (87) Таким образом, сумма основных эффектов сил поля, действующих на механическую систему, равна общей разнице от функции силы. Когда система перемещается из положения с силовой функцией Uo (L / O) в положение с силовой функцией U (L /), вычисляя объем работы, выполняемой полевыми силами, действующими на механическую систему, Z-4 * = L T dA = T d.
Следовательно, общая сила поля, действующая на систему при ее перемещении из начальной позиции в другую, равна разнице между значениями функции силы конечной и начальной позиции системы. Потенциальная энергия системы P в позиции рассмотрения (M) поля потенциальной силы — это рабочая сила силы поля, действующая на систему, которую эти силы выполняют, когда система перемещается из позиции рассмотрения в начальную позицию (L /]) Всего. 77 = £ ^ = (/ 1-t / = -C / + const, (89) Где U — значение (L /) функции силы системы сил в положении. Ut — значение функции силы в начальной позиции. Из (86) — (89): дпди дп д. дп т. … = — <W; YAK = u ~ u ^ no-n
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
| Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки | Потенциальное силовое поле и силовая функция |
| Теорема об изменении кинетической энергии системы | Поверхности уровня. Силовые линии |
