Поток векторного поля: определение и примеры с решением по высшей математике

Оглавление:

Поток поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядности будем считать Поток векторного поля вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность Поток векторного поля .

Выберем определенную сторону поверхности Поток векторного поля . Пусть единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности . Разобьем поверхность на элементарные площадки . Выберем в каждой площадке точку Поток векторного поля (см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости в каждой точке: .

Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор Поток векторного поля постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через протекает количество жидкости, приближенно равное Поток векторного поля , где — площадь -й площадки, — высота -го цилиндра с образующей . Но является проекцией вектора на нормаль : , где — единичный вектор нормали к поверхности в точке Поток векторного поля . Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность за единицу времени, найдем, вычислив сумму

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров Поток векторного поля площадок):

Независимо от физического смысла поля Поток векторного поля полученный интеграл называют потоком векторного поля.

Потоком вектора Поток векторного поля через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как

(см. (6.2)), то

где Поток векторного поля — проекция вектора на направление нормали , — дифференциал (элемент) площади поверхности.

Иногда формулу (71.3) записывают в виде

где вектор Поток векторного поля направлен по нормали к поверхности, причем .

Так как Поток векторного поля , , где , -— проекции вектора на соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора , можно записать в виде

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как

Отметим, что поток Поток векторного поля вектора есть скалярная величина. Величина равна объему жидкости, которая протекает через поверхность за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем Поток векторного поля . Тогда поток вектора записывается в виде иногда или .

В этом случае за направление вектора Поток векторного поля обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности (см. рис. 272).

Если векторное поле Поток векторного поля есть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области Поток векторного поля (объема ) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности , где векторные линии выходят из объема , внешняя нормаль образует с вектором Поток векторного поля острый угол и ; в точках, где векторные линии входят в объем, ).

При этом если Поток векторного поля , то из области вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.

Если Поток векторного поля , то внутри области имеются стоки, поглощающие избыток жидкости.

Можно сказать, что источники — точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки — точки, где векторные линии кончаются. Так, в электростатическом поле источником является положительный заряд, стоком — отрицательный заряд магнита (см. рис. 273).

Если Поток векторного поля , то из области вытекает столько же жидкости, сколько в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.

Пример №71.2.

Найти поток вектора Поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости с координатными плоскостями (см. рис. 274).

Решение:

Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Поток векторного поля . Имеем:

Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с: осью Поток векторного поля тупой угол, с осью — тупой, а с осью — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть ; на верхней стороне , поэтому надо выбрать знак «минус»; получим: Поток векторного поля .)