Оглавление:
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение функции
в точке
можно представить в виде
, где
при
, или
. Отбрасывая бесконечно малую
более высокого порядка, чем
, получаем приближенное равенство
![Применение дифференциала к приближенным вычислениям](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-23295.png)
причем это равенство тем точнее, чем меньше
.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.
Пример №24.3.
Найти приближенное значение приращения функции при
и
.
Решение:
Применяем формулу (24.3):
.
![Применение дифференциала к приближенным вычислениям](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-23313.png)
Итак, .
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем :
![Применение дифференциала к приближенным вычислениям](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-23326.png)
Абсолютная погрешность приближения равна
![Применение дифференциала к приближенным вычислениям](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-23327.png)
Подставляя в равенство (24.3) значения и
, получим
![Применение дифференциала к приближенным вычислениям](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-23329.png)
или
![Применение дифференциала к приближенным вычислениям](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-23332.png)
Формула (24.4) используется для вычислений приближенных, значений функций.
Дополнительные примеры:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Производные высших порядков неявно заданной функции |
Производные высших порядков от функций, заданных параметрически |
Дифференциалы высших порядков |
Теоремы о дифференцируемых функциях |