Финансовая математика задачи с решением и примерами

Оглавление:

Примеры решения задач по финансовой математике

Здравствуйте на этой странице я собрала теорию и практику с примерами решения задач по предмету финансовая математика с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Финансовая математика

Финансовая математика – это коммерческие расчёты между двумя экономическими субъектами и их основные экономические характеристики. Указанные расчёты между субъектами возникают на основе специально создаваемых долговых обязательств. Природа долга устанавливает, что взятые в долг денежные ресурсы обладают свойствами срочности, платности и возвратности; соответственно, долговые ресурсы имеют свою цену для должника и полезность для кредитора. Если платежи в рамках долговых обязательств являются долгосрочными и многоразовыми, возникает феномен ренты, полезность которой для кредитора и затратность для заёмщика должны быть определены.

Сущность и формула процентных денег. Виды процентных ставок и способы начисления процентов

Финансовая математика — это наука, изучающая методы и методики определения стоимостных и временных параметров финансовых и инвестиционных операций, процессов и сделок, а также модели управления инвестициями, капиталом и его составляющими.

Объект финансовой математики — финансовые операции и сделки и их технико-экономическое обоснование, направленное на извлечение прибыли. Предмет — финансовые и актуарные оценки показателей эффективности этих операций и сделок, а также доходов отдельно взятых участников этих сделок, определяемых в виде процентных ставок, норм и коэффициентов, скидок, маржи, котировок ценных бумаг, курсов валют.

Финансовая математика охватывает методы вычислений, необходимость в которых возникает, когда в условиях сделки или финансово-банковской операции оговариваются конкретные значения трех видов параметров:

1) стоимостные характеристики (размеры платежей, долговых обязательств, кредитов и т. д.);

2) временные данные (даты и сроки выплат, продолжительность льготных периодов, отсрочки платежей и т. д.);

3) процентные ставки.

Методы финансовой математики используются в расчетах параметров, характеристик и свойств инвестиционных операций и стратегий, параметров государственных и негосударственных займов, кредитов, в расчетах амортизации, страховых взносов и премий, пенсионных начислений и выплат, при составлении планов погашения долга, оценке прибыльности финансовых сделок.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет финансовая математика

Факторы, учитываемые в финансово-экономических расчетах

Финансовые процессы определяются многими факторами, которые условно делятся на внутренние и внешние.

К внутренним относятся те факторы, которые определяют основные и непосредственные характеристики финансового процесса, т. е. структура портфеля активов, контрактные характеристики сделки (способ начисления процентов в кредитных сделках, выбранная схема погашения и т. п.), а также факторы, определяющие начальные условия сделки (величину инвестируемого капитала, начальный момент инвестиций).

Внешние факторы определяют рыночную среду, т. е. условия, в которых протекает финансовый процесс. К ним относятся, во-первых, инфляционные ожидания, влияющие на уровень процентных ставок. Снижение покупательной способности денег за период кредитования приводит к уменьшению реального размера заемных средств, возвращаемых кредитору. Соответственно кредиторы пытаются компенсировать снижение реальных доходов за счет увеличения процентных ставок по активным операциям. Конкуренция на рынке финансовых ресурсов также оказывает влияние на уровень банковских процентных ставок. Развитие рынка ценных бумаг выступает одним из факторов ценообразования на кредитном рынке. Открытость национальной экономики, международная миграция капиталов, обменный курс валют, состояние платежного баланса страны — факторы, также влияющие на национальную систему процентных ставок.

Во-вторых, практически любой финансовой сделке присущ фактор риска. С позиции макроэкономики, риск зависит от экономической, политической и прочих составляющих и часто не поддается управлению.

В-третьих, система налогообложения определяет размер чистой прибыли, остающейся в распоряжении налогоплательщика. Меняя ставки налогообложения, порядок взимания налогов, применяя систему льгот, государство стимулирует определенные экономические процессы.

Задание внутренних и внешних факторов финансового процесса полностью определяет его динамику. Внешние факторы, как правило, не поддаются управлению, однако при проведении финансово-экономических расчетов их необходимо учитывать. Это относится, прежде всего, к учету влияния инфляции, налоговой системы, финансовых рисков. Внутренние факторы могут рассматриваться двояко: как управляющие параметры, либо как параметры, значение которых необходимо определить в ходе выполнения расчетов.

В условиях рыночной экономики при проведении долгосрочных финансовых операций важную роль играет фактор времени. «Золотое» правило бизнеса гласит: «Денежная сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра». Поэтому в финансовых расчетах фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Действительно, всегда найдутся организации и частные лица (заемщики), нуждающиеся в кредитах на тот или иной период и готовые платить за такой заем (ссуду). Таким образом, в большинстве случаев увеличение стоимости капитала происходит в результате предоставления его в долг и взимания процентной ставки.

Фактор времени в финансовой сфере учитывается с помощью процентной ставки. В узком смысле процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств. Однако ее также часто используют в качестве уровня (нормы) доходности производимых операций, исчисляемого как отношение полученной прибыли к величине вложенных средств и выражаемого в долях единицы или в процентах.

Виды процентов

Методы финансово-экономических расчетов различны в зависимости от вида применяемых процентов. Относительно момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами проценты подразделяются на обычные (декурсивные) и авансовые (антисипативные).

Отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами начисления процентов называется периодом начисления процентов. Обычные проценты начисляются в конце периода относительно исходной величины средств. Доход, определяемый обычным процентом, выплачивается в конце периодов финансовой операции. Такие проценты применяются в большинстве депозитных и кредитных операций, а также в страховании. Авансовые проценты начисляются в начале периода относительно конечной суммы денег. Доход, определяемый авансовым процентом, выплачивается в момент предоставления кредита. Такая форма расчетов называется авансовой или учетом. При этом базой расчета процентов служит сумма денег с процентами (сумма погашения долга). Исчисленные таким образом проценты взимаются вперед и являются авансом. Так рассчитывают проценты в некоторых видах кредитования, операциях с дисконтными ценными бумагами, в международных расчетах.

Рассмотренным двум видам процентов на практике соответствуют определенные процентные ставки. Пусть сумма Примеры решения задач по финансовой математике предоставлена в долг условием, что через Примеры решения задач по финансовой математике лет будет возвращена большая сумма Примеры решения задач по финансовой математике.

Обычная годовая ставка процентов Примеры решения задач по финансовой математике рассчитывается по формуле

Примеры решения задач по финансовой математике

учетная годовая ставка процентов Примеры решения задач по финансовой математике— по формуле

Примеры решения задач по финансовой математике

Обе ставки взаимосвязаны, т. е. зная один из показателей, можно рассчитать другой по формулам соответственно:

Примеры решения задач по финансовой математике

Пример №1

Предприниматель получил на два года кредит в размере 100 000 ден. ед. В конце срока он должен возвратить 140 000 ден. ед. Определить доход кредитора в виде процентной и учетной ставок.

Решение:

Параметры задачи: Примеры решения задач по финансовой математике = 2 года, Примеры решения задач по финансовой математике = 100 000 ден. ед., Примеры решения задач по финансовой математике= 140 000 ден. ед. Тогда обычная процентная ставка равна

Примеры решения задач по финансовой математике

учетная — Примеры решения задач по финансовой математике.

Видно, что при равной величине процентных денег

Примеры решения задач по финансовой математике

величина процентной ставки Примеры решения задач по финансовой математике= 20 % выше величины учетной ставки Примеры решения задач по финансовой математике = 16,7 %.

В зависимости от условий проведения финансовых операций, начисление процентов может осуществляться с применением простых, либо сложных процентов. Базой для исчисления простых процентов за каждый период служит первоначальная сумма сделки. Простые проценты чаще всего используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года. База для начисления сложных процентов меняется за счет присоединения ранее начисленных процентов, т. е. она включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов. Сложные проценты применяются в большей степени в долгосрочных финансовых операциях со сроком проведения более одного года.

Фиксированная процентная ставка — это ставка, определенная в виде конкретного числа в финансовых контрактах. Постоянная — ставка, неизменная на протяжении всего периода финансовой операции. Переменная — ставка, дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику. Плавающая — ставка, привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т. п.). Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной.

Наращение и дисконтирование

Процесс, в котором по заданной исходной сумме и процентной ставке необходимо найти ожидаемую в будущем к получению сумму, в финансовых вычислениях называется процессом наращения. Процесс, в котором по заданной ожидаемой в будущем к получению сумме и процентной ставке необходимо найти исходную сумму долга, называется процессом дисконтирования. Логика финансовых операций схематически изображена на рисунке 1.

Примеры решения задач по финансовой математике

Наращение позволяет определить будущую величину Примеры решения задач по финансовой математике текущей суммы Примеры решения задач по финансовой математике через некоторый промежуток времени, исходя из заданной процентной ставки Примеры решения задач по финансовой математике. Дисконтирование представляет собой процесс нахождения на заданный момент времени современной величины Примеры решения задач по финансовой математике по ее известному или предполагаемому значению Примеры решения задач по финансовой математике в будущем, исходя из заданной процентной ставки Примеры решения задач по финансовой математике.

Виды процентных ставок и способы начисления процентов. Простые проценты.

Основным свойством денег является их временная ценность, связанная с

  • наличием инфляции,
  • обращением капитала.

Деньги, относящиеся к различным моментам времени, неравноценны, например, сегодняшние деньги ценнее будущих, а будущие, в свою очередь, менее ценны, чем сегодняшние при равенстве их сумм.

Предмет финансовой математики — это специальные модели и алгоритмы, связанные с проблемой «деньги — время» и позволяющие оценить будущие доходы с позиции текущего момента.

Основными задачами финансовой математики являются:

  • измерение конечных результатов финансовой операции;
  • разработка планов выполнения финансовых операций;
  • оценка зависимости конечных результатов операции от ее условий;
  • определение допустимых критических значений параметров операции и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий финансовой операции.

Любая финансовая операция, инвестиционный проект или коммерческое соглашение предполагают наличие ряда условий их выполнения, с которыми согласны участвующие стороны.

К таким условиям относятся следующие количественные данные:

  • денежные суммы,
  • временные параметры,
  • процентные ставки.

Под процентами, понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т.д.

Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени — отношение дохода (процентных денег) к сумме долга.

Она измеряется в процентах. При выполнении расчетов процентные ставки обычно измеряются в десятичных дробях.

Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

Проценты согласно договоренности между кредитором и заемщиком выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме долга (капитализация процентов).

Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращением этой суммы.

Возможно определение процентов и при движении во времени в обратном направлении — от будущего к настоящему. В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта (скидки). Такой способ называют дисконтированием (сокращением).

Размер процентной ставки зависит от:

  • общего состояния экономики, в том числе денежно-кредитного рынка;
  • кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики; вида сделки, ее валюты; срока кредита;
  • особенностей заемщика (его надежности) и кредитора, истории их предыдущих отношении и т. д.

Виды процентных ставок и способы начисления процентов

  1. Для начисления процентов применяют постоянную базу начисления и последовательно изменяющуюся (за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования). В первом случае используют простые, во втором — сложные процентные ставки, при применении которых проценты начисляются на проценты.
  2. Важным является выбор принципа расчетов процентных денег. Существует два таких принципа: от настоящего к будущему и, наоборот, от будущего к настоящему. Соответственно применяют ставки наращения и дисконтные, или учетные ставки. Если проценты начисляются на первоначальную сумму (долга) или на сумму с увеличенными за предшествующие периоды процентами, то в этом случае говорят о ставке процентов (или о ставке наращения). Если же проценты начисляются и вычитаются из суммы ссуды (долга, кредита и т.п.) в начале срока операции, то в этом случае речь идет об учетных ставках. В финансовой литературе проценты, полученные по ставке наращения, принято называть декурсивными, по учетной ставке — антисипативными.
  3. Процентные ставки могут быть: фиксированными (в контракте указываются их размеры), плавающими (floating). В последнем случае указывается не сама ставка, а изменяющаяся во времени база (базовая ставка) и размер надбавки к ней — маржи. Ставка рефинансирования Центрального Банка России — ставка, по которой ЦБ выдает кредит коммерческим банкам.
  4. В практических расчетах применяют так называемые дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные интервалы времени (год, полугодие и т.д.). Иначе говоря, время рассматривается как дискретная переменная.

Непрерывные проценты — проценты, начисленные непрерывно, т.е., за бесконечно малые промежутки времени. Проценты начисляются на практике или дискретно (например, в конце месяца за месяц, в конце года за год), или непрерывно (например, ежедневно).

Простые проценты

Под наращенной суммой ссуды (депозита, инвестированных средств, платежного обязательства и т.п.) понимается ее первоначальная сумма с начисленными на нее процентами к концу срока наращения. Величина наращенной суммы представляет собой произведение первоначальной суммы ссуды на множитель наращения, который показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. В зависимости от применяемой процентной ставки и условий наращения формула расчета множителя наращения записывается по-разному.

Например, для наращения по простым процентам наращенная сумма (S) будет рассчитываться так:

Примеры решения задач по финансовой математике

где Р — первоначальная сумма ссуды, ден. ед.; Примеры решения задач по финансовой математике — срок ссуды (а днях, месяцах, годах и т. п.); Примеры решения задач по финансовой математике — ставка наращения (простая постоянная), ед.

Выражение (1 + ni) называется множителем наращения.

В финансово-экономических расчетах срок ссуды обычно измеряется годами, поэтому значение ставки наращения Примеры решения задач по финансовой математике есть значение годовой ставки процентов. Проценты, начисленные за весь срок ссуды, в этом случае составят:

Примеры решения задач по финансовой математике

где I — процентная сумма (величина дохода), ден. ед.

Представленная выше формула называется формулой простых процентов, а величину I можно определить как процентный доход, или процентные деньги (проценты).

В практической работе банки, коммерческие организации, финансовые институты и т.п. используют различные способы изменения числа дней ссуды (t) и продолжительности года (временной базы для расчета процентов) в днях (К). В зависимости от того, как определяются величины t и К — точно, или приблизительно применяются следующие варианты («практики», «системы») начисления простых процентов.

  1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды (так называемая «английская» практика). Этот вариант дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками мира. В этом случае К=365 дням, а в месяцах 28, 29, 30 и 31 день.
  2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (так называемая «французская» практика или банковский метод). Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Так, если число дней ссуды превышает 360, то данный способ измерения времени приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, при t = 363 дням, п=363:360= 1,0083, а множитель наращения за этот период будет равен: 1 + 1,0083*i.
  3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды («германская» практика). Подсчет числа дней в этом варианте базируется на годе в 360 дней и месяцах по 30 дней. Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то проценты с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным, а следовательно, и наращенная сумма по процентам с точным числом дней обычно выше.

Наращение суммы в случае изменения простой процентной ставки в течение срока ссуды. На практике часто встречается ситуация, когда кредитные договоры (соглашения) предусматривают изменение процентной ставки в течение срока ссуды (например, в связи с изменением ставки рефинансирования; желанием банка учесть темп инфляции и т. д.). При этом годовая ставка процентов, указанная в кредитном договоре, носит название номинальной. В этом случае наращенная сумма будет исчисляться следующим образом:

Примеры решения задач по финансовой математике

где Примеры решения задач по финансовой математике — ставка простых процентов в периоде Примеры решения задач по финансовой математике ед.;

Примеры решения задач по финансовой математике — продолжительность периода; Примеры решения задач по финансовой математике лет;

Примеры решения задач по финансовой математике — число периодов, ед.

Наращение суммы при реинвестировании. В целях повышения заинтересованности вкладчиков и быстрого привлечения дополнительных денежных средств, например, в кратко- и среднесрочные депозиты, банки и финансовые компании могут предлагать производить своим клиентам неоднократное наращение вложенной суммы в пределах общего срока займа, т.е. реинвестировать ее. Иными словами, реинвестирование предполагает присоединение начисленных процентов к исходной (первоначальной) сумме и начисление процентов уже на возросшую сумму, и так несколько раз за период. При таком реинвестировании наращенная сумма рассчитывается по формуле:

Примеры решения задач по финансовой математике

где Примеры решения задач по финансовой математике — продолжительность периодов наращения, лет;

причем Примеры решения задач по финансовой математике (общий срок сделки);

Примеры решения задач по финансовой математике — ставки реинвестирования, ед.

В частном случае, когда Примеры решения задач по финансовой математике, т.е. когда периоды начисления и ставки процентов равны формула принимает

Примеры решения задач по финансовой математике

где Примеры решения задач по финансовой математике — число операций реинвестирования, ед.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по финансовой математике

Пример №2

На сумму вклада в размере 50 тыс. р. в течение месяца начисляются простые проценты по ставке 24% годовых. Какова будет наращенная сумма, если эта операция будет повторена в течение 6 мес. текущего года (т.е. при реинвестировании этой суммы шесть раз) при расчете точных процентов с фактическим числом дней ссуды с 1 -го марта?

Решение:

По условиям примера Р = 50 тыс. р.; i = 0,24. Точное число дней не високосного года, начиная с марта и заканчивая августом составит: 31 +30+314-30-4-31 ->-31 = 184 дня.

По формуле Примеры решения задач по финансовой математике получаем:

Примеры решения задач по финансовой математике

Пример №3

Потенциальный клиент ряда надежных и расположенных в пределах его пешеходной доступности банков города имеет временно свободные денежные средства в размере 10 тыс. р. и хотел бы поместить их на депозитный счет сроком на 1 год. Первый банк (банк А) предлагает ему сделать вклад на условиях ежеквартального начисления по ставке 20% годовых и капитализации (реинвестирования) процентов. Второй банк (банк Б) на следующих условиях: начисление на вклад по ставке 24% годовых дважды в год с капитализацией процентов. Банк В предлагает ежемесячное начисление процентов по ставке 20% годовых и капитализацией начисленных процентов. И, наконец, банк Г предлагает сделать вклад на условиях начисления 25% годовых без капитализации процентов и начисления их в конце срока вклада.

В каком из банков вкладчик может получить наибольшую сумму по окончании срока договора?

Решение:

По условиям примера Примеры решения задач по финансовой математике. Учитывая, что начисление процентов происходит ежеквартально, по полугодиям и ежемесячно с капитализацией, и только в банке Г — в конце года (без реинвестирования), по формуле Примеры решения задач по финансовой математике получим (тыс. р.):

Примеры решения задач по финансовой математике

Наращенная сумма при вкладах в конце и в начале каждого года.

Довольно часто по условиям договоров вклада депозитных договоров банки предусматривают возможность довложения определенной (часто — не выше первоначальной) денежной суммы.

В случае если вклады делаются в конце каждого года, то наращенная сумма составит:

Примеры решения задач по финансовой математике

где т — число вкладов, ед.; D — величина вклада, ден. ед.

Если вклады по своей величине равны, т.е. Примеры решения задач по финансовой математике, то формулу можно записать так: Примеры решения задач по финансовой математике

или, учитывая, что Примеры решения задач по финансовой математике,

можно окончательно написать: Примеры решения задач по финансовой математике

Очевидно, что наращение по ставке простых процентов в случае, когда довложения делаются в начале года, существенно выгоднее по сравнению в довложениями в конце года. Это происходит потому, что в первом случае увеличивается на один год наращения.

Расчет суммы необходимого депозита при ежегодных выплатах. Довольно часто (особенно при работе с клиентами — пенсионерами, со вкладами на несовершеннолетних и т.п.) работники банка, работающие со вкладами населения, сталкиваются с задачей определения необходимой первоначальной суммы вклада (депозита) клиента, который смог бы обеспечить ему определенные ежегодные выплаты в течении п лет по заранее оговоренной ставке процентов. В общем случае эта задача сводится к решению задачи определения «вечной» ренты, которая подробно будет рассмотрена ниже. Сейчас же рассмотрим ее решение исходя из тех знаний, которые мы уже имеем.

Используя формулу Примеры решения задач по финансовой математике, можно составить следующее уравнение:

Примеры решения задач по финансовой математике

где Примеры решения задач по финансовой математике — определенные ежегодные выплаты, ден, ед.; Примеры решения задач по финансовой математике — время выплат, лет.

При условии равенства ежегодных выплат, т.е. при Примеры решения задач по финансовой математике формулу можно преобразовать в выражение следующего вида:

Примеры решения задач по финансовой математике

Для приближенных, оценочных расчетов величины первоначального вклада можно использовать примерное равенство выражений:

Примеры решения задач по финансовой математике

Пример №4

Рассчитать необходимую первоначальную величину депозита клиента для того, чтобы он имел возможность ежегодно в течении 5 лет получать со своего счета в банке сумму в размере 6 тыс. руб. при начислении простой процентной ставки, равной 30% годовых.

Решение:

По условиям примера Примеры решения задач по финансовой математике Используя формулу

Примеры решения задач по финансовой математике, получим (тыс. р.):

Примеры решения задач по финансовой математике

Расчет по формуле: Примеры решения задач по финансовой математике дает следующий результат:

Примеры решения задач по финансовой математике

Расхождение по сравнению с результатом, полученным по первой формуле, равно — 0,046 тыс. руб., или менее 0,3%. Как видим, расчет по второй формуле дает вполне приемлемый результат.

Расчет срока ссуды и уровня процентной ставки. При подготовке обоснования для получения ссуды и расчета ее эффективности возникает задача определения срока ссуды и уровня процентной ставки при имеющихся прочих условиях. В этом случае срок ссуды может быть определен как в годах, так и в днях:

в годах Примеры решения задач по финансовой математике;

в днях Примеры решения задач по финансовой математике.

Соответственно и размер процентной ставки может быть определен при исчислении срока ссуды в годах как: Примеры решения задач по финансовой математике,

а при исчислении срока ссуды в днях так: Примеры решения задач по финансовой математике.

Наращение и равномерная выплата процентов в потребительском кредите. В потребительском кредите, т.е. кредите, как правило, на личные нужды для приобретения товаров (или услуг) проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу чаще всего уже в момент открытия кредита. Такой подход называется разовым начислением процентов, а погашение долга с процентами в этом случае производится обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Наращенная сумма долга при таком подходе рассчитывается по формуле Примеры решения задач по финансовой математике, а величина разового погасительного платежа (R) так:

Примеры решения задач по финансовой математике

где Примеры решения задач по финансовой математике — число погасительных платежей по кредиту в году, ед.

Заметим, что в связи с тем, что проценты начисляются на первоначальную сумму долга, а фактическая его величина постоянно уменьшается со временем, действительная процентная ставка (по фактически использованному кредиту) оказывается заметно выше, чем ставка по первоначальным договорным условиям.

Вычисление наращенной суммы на основе сложных дискурсивных процентов

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

  • проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
  • срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

Примеры решения задач по финансовой математике— за один период начисления;

Примеры решения задач по финансовой математике— за два периода начисления; отсюда, за n периодов начисления формула примет вид: Примеры решения задач по финансовой математике, где Примеры решения задач по финансовой математике — наращенная сумма долга; Примеры решения задач по финансовой математике — первоначальная сумма долга; Примеры решения задач по финансовой математике -ставка процентов в периоде начисления; Примеры решения задач по финансовой математике — количество периодов начисления. Эта формула называется формулой сложных процентов.

Различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу.

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке.

Примеры решения задач по финансовой математике

Рис.1 Наращение по простым и сложным процентам

Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом Примеры решения задач по финансовой математике,

Примеры решения задач по финансовой математике

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

  • более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);
  • более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;
  • обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

Примеры решения задач по финансовой математике

где Примеры решения задач по финансовой математике — период сделки; Примеры решения задач по финансовой математике — целое число лет; Примеры решения задач по финансовой математике — дробная часть года.

смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года — формулу простых процентов:

Примеры решения задач по финансовой математике

Поскольку Примеры решения задач по финансовой математике, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Смешанная схема более выгодна кредитору.

Номинальная и эффективная ставки процентов. Начисление процентов несколько раз в году

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления — номинальная ставка (i).

Номинальная ставка (nominal rate) — годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка:

  • во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;
  • во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

Если начисление процентов будет производиться Примеры решения задач по финансовой математике раз в год, а срок долга —Примеры решения задач по финансовой математике лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит

Примеры решения задач по финансовой математике

Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:

Примеры решения задач по финансовой математике

где i — номинальная годовая ставка процентов.

Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка (effective rate), измеряющая тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и Примеры решения задач по финансовой математике-разовое наращение в год по ставке Примеры решения задач по финансовой математике:

Примеры решения задач по финансовой математике

Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.

Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

Примеры решения задач по финансовой математике

где Примеры решения задач по финансовой математике — последовательные во времени значения процентных ставок; Примеры решения задач по финансовой математике — длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки.

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на
практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

Примеры решения задач по финансовой математике

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то т стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к Примеры решения задач по финансовой математике, где Примеры решения задач по финансовой математике 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для Примеры решения задач по финансовой математике лет:

Примеры решения задач по финансовой математике

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Дисконтирование по формуле сложных процентов.

Дисконтирование по сложным процентам осуществляется по формуле:

Примеры решения задач по финансовой математике

Понятие эквивалентности процентных ставок. Вывод формул. Принцип финансовой эквивалентности обязательств

В финансовой практике часто возникают ситуации, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи), изменить схему начисления процентов и т. п. Таким общепринятым принципом, на котором базируются изменения условий контрактов, является финансовая эквивалентность обязательств.

Изменение условий контракта основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств, который позволяет сохранить баланс интересов сторон контракта. Этот принцип предполагает неизменность финансовых отношений до и после изменения условий контракта. При изменении способов начисления процентов необходимо учитывать взаимозаменяемость между различными видами процентных ставок.

Эквивалентными называются процентные ставки, которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.

При изменении условий платежей также необходимо учитывать разновременность платежей, которые производятся в ходе выполнения условий контракта до и после его изменения. Эквивалентными считаются такие платежи, которые оказываются равными после их приведения по заданной процентной ставке к одному моменту времени, либо после приведения одного из них к моменту наступления другого по заданной процентной ставке.

Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему).

Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить.

Эквивалентность процентных ставок

Для нахождения значений эквивалентных процентных ставок следует составлять уравнение эквивалентности.

Эквивалентность простой процентной и простой учетной ставок. Исходные уравнения для вывода эквивалентности

Примеры решения задач по финансовой математике

Если результаты наращения равны, то получаем уравнение

Примеры решения задач по финансовой математике

Отсюда 1 Примеры решения задач по финансовой математике

Примеры решения задач по финансовой математике

Для одних и тех же параметров ссуды условие эквивалентности приводит к тому, что Примеры решения задач по финансовой математике. При этом с ростом срока финансовой операции различие между ставками увеличивается.

Пример №5

Определить простую учетную ставку, эквивалентную ставке обычных процентов 12 % годовых, при наращении за 2 года.

Решение:

Параметры задачи: Примеры решения задач по финансовой математике. Тогда

Примеры решения задач по финансовой математике

Следовательно, операция, в которой принята учетная ставка 9,7 %, дает тот же финансовый результат для 2-годичного периода, что и простая ставка 12 % годовых.

Эквивалентность простой и сложной процентных ставок. Наращенные суммы по простой и сложной процентным ставкам равны

Примеры решения задач по финансовой математике

Если равны результаты наращения, то уравнение эквивалентности

Примеры решения задач по финансовой математике

Отсюда Примеры решения задач по финансовой математике

При начислении процентов т раз в году аналогично рассуждая, получим:

Примеры решения задач по финансовой математике

Пример №6

Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20 % годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26 % годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение:

Параметры задачи: Примеры решения задач по финансовой математике. Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

Примеры решения задач по финансовой математике

Таким образом, эквивалентная сложной ставке, по первому варианту, простая процентная ставка составляет 28,59 % годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26 % годовых по второму варианту. Следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20 % годовых с полугодовым начислением процентов.

Пример №7

По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2 % годовых. Какую ставку годовых процентов следует назначить на ежемесячные депозиты, чтобы последовательное переоформление этих депозитов привело к такому же результату, что и использование трёхмесячного депозита, если пренебречь двумя днями, которые теряются при переоформлении депозитов (Т = 360)?

Решение:

Приравняем соответствующие множители наращения:

Примеры решения задач по финансовой математике

Отсюда получаем, что Примеры решения задач по финансовой математике

Эквивалентность сложной процентной и сложной учетной ставок.

Исходные соотношения есть Примеры решения задач по финансовой математике

Аналогично рассуждая, получим Примеры решения задач по финансовой математике.

Эквивалентность интенсивности процентов в единицу времени и ставок процентов. Интенсивность процентов Примеры решения задач по финансовой математике в единицу времени удобно использовать в теоретических расчетах и обоснованиях финансовых решений. Из соотношений эквивалентности, можно перейти от непрерывного начисления процентов к дискретному, что более приемлемо на практике. Чаще возникает необходимость в соотношениях эквивалентности непрерывной и сложной ставок. Для эквивалентных сложных ставок Примеры решения задач по финансовой математике имеем: Примеры решения задач по финансовой математике.

Отсюда Примеры решения задач по финансовой математике.

Средние величины в финансовых расчетах

Для нескольких процентных ставок их среднее значение есть эквивалентная величина.

Схема простых процентов. Пусть за периоды Примеры решения задач по финансовой математике начисляются простые проценты по ставкам Примеры решения задач по финансовой математике. Тогда за весь срок наращения Примеры решения задач по финансовой математике Примеры решения задач по финансовой математике средняя ставка простых процентов получается из уравнения эквивалентности Примеры решения задач по финансовой математике. Откуда Примеры решения задач по финансовой математике

Если же за время финансовой операции изменяется и величина Р, то, средняя ставка простых процентов равна Примеры решения задач по финансовой математике.

Аналогично средняя простая учетная ставка равна Примеры решения задач по финансовой математике.

Средняя ставка Примеры решения задач по финансовой математике — это взвешенная средняя арифметическая величина, дающая такое наращение, которое эквивалентно наращению с применением ряда разных по значению процентных ставок, применяемых на различных интервалах времени.

Схема сложных процентов. Пусть доходность операции с дискретно изменяющейся процентной ставкой на каждом интервале начисления была выражена через сложный процент. Уравнение эквивалентности для определения средней процентной ставки, которая равноценна последовательности ставок за весь период финансовой операции, есть

Примеры решения задач по финансовой математике

Отсюда Примеры решения задач по финансовой математике

Следовательно, средняя сложная процентная ставка рассчитывается по формуле средней геометрической взвешенной.

Аналогично средняя сложная учетная ставка равна

Примеры решения задач по финансовой математике

Пример №8

Долгосрочный кредит предоставлен на 6 лет на следующих условиях: первые два года под 5 % (сложные проценты), в следующие три года ставка возрастает на 2 %, а в последний год — еще на 1 %. Определить среднюю сложную процентную ставку.

Решение:

Параметры задачи: Примеры решения задач по финансовой математике1 год, Примеры решения задач по финансовой математике %. Срок финансовой операции равен

Примеры решения задач по финансовой математике

Средняя ставка сложных процентов равна

Примеры решения задач по финансовой математике или 6,49 %.

Таким образом, средняя процентная ставка по кредиту равна 6,49 %.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по финансовой математике

Учет инфляции в финансово-экономических расчетах

Инфляция — устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги в экономике. Внешние признаки инфляции — рост цен и, как следствие, снижение покупательной способности денег. В зависимости от уровня инфляции в год выделяют: нормальную (ползучую) — от 3% до 10%; галопирующую — от 10% до 100%; гиперинфляцию — свыше 50% в месяц.

Темпы инфляции определяются с помощью индекса — относительного показателя, характеризующего среднее изменения уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и услуг за данный период времени.

Индекс инфляции показывает во сколько раз выросли цены Примеры решения задач по финансовой математике, а темп инфляции показывает, насколько процентов возросли цены Примеры решения задач по финансовой математике, т.е. по своей сути это соответственно темп роста и темп прироста:

Примеры решения задач по финансовой математике

Индекс потребительских цен (ИПЦ) — это показатель международной статистики, регулярно использующийся практически во всех странах мира (CPI — Consumer Price Index), который характеризует динамику затрат на постоянный набор товаров и услуг за счет ценностного фактора.

Расчет ИПЦ в России осуществляется за каждый месяц и нарастающим итогом с начала года (к декабрю прошлого года).

Отечественные исследователи часто расценивают уровень инфляции как темп прироста потребительских цен:

Примеры решения задач по финансовой математике

ИПЦ оценивает изменение стоимости фактического фиксированного набора товаров и услуг в отчетном периоде по сравнению с его стоимостью в базисном периоде.

Чтобы определить темп инфляции за период t по данным о значении этого показателя за более короткие промежутки рассматриваемого периода необходимо:

  • Перейти от приростного показателя за короткие промежутки к показателям темпа роста цен. Пример: темп инфляции по кварталам: Примеры решения задач по финансовой математике Примеры решения задач по финансовой математике; определим темп роста цен: 104%, 103%, 102%, 105%;
  • Перейти от темпа роста к коэффициенту роста: Примеры решения задач по финансовой математике Примеры решения задач по финансовой математике
  • Определить годовой коэффициент роста цен: перемножим коэффициенты за исследуемые периоды: Примеры решения задач по финансовой математике
  • Темп инфляции за год: Примеры решения задач по финансовой математике

Индекс цен за несколько периодов и, следующих друг за другом, вычисляется по формуле

Примеры решения задач по финансовой математике

где Примеры решения задач по финансовой математике — номер периода; Примеры решения задач по финансовой математике — индекс цен в периоде Примеры решения задач по финансовой математике; Примеры решения задач по финансовой математике — темп инфляции в периоде Примеры решения задач по финансовой математике.

Интерпретация:

  1. индекс цен Примеры решения задач по финансовой математике;
  2. темп роста цен Примеры решения задач по финансовой математике;
  3. темп прироста цен — уровень инфляции Примеры решения задач по финансовой математике;
  4. инфляция за год равна произведению индексов цен.

Инфляционные процессы, характерные для экономики многих стран, требуют того, чтобы они учитывались в финансовых расчетах. Особенно необходимо рассчитывать воздействие инфляции при вычислении наращенных сумм и определении действительной ставки процентов.

Определение действительной ставки процентов

Показатели финансовой операции могут быть представлены, как: номинальные, т.е. рассчитанные в текущих ценах;

реальные, т.е. учитывающие влияние инфляции, и рассчитанные в сопоставимых ценах базисного периода.

В связи с этим вводится понятие номинальная ставка процента, т.е. ставки с поправкой на инфляцию Примеры решения задач по финансовой математике.

Простые проценты

Наращенная сумма при отсутствии инфляции равна Примеры решения задач по финансовой математике, а ее эквивалент в условиях инфляции равен Примеры решения задач по финансовой математике. Из равенства: Примеры решения задач по финансовой математике получаем: Примеры решения задач по финансовой математике, где Примеры решения задач по финансовой математике — простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка); Л — процентная ставка с поправкой на инфляцию.

Это ставка, скорректированная на инфляцию, называется брутто-ставкой.

Сложные проценты

Проценты 1 раз в год:

Наращенная сумма при отсутствии инфляции равна Примеры решения задач по финансовой математике, а ее эквивалент в условиях инфляции равен Примеры решения задач по финансовой математике. Из равенства: Примеры решения задач по финансовой математике получаем: Примеры решения задач по финансовой математике из которой можно сравнивать уровни процентной ставки и инфляции, проводить анализ эффективности вложений и устанавливать реальный прирост вложенного капитала.

Проценты m раз в год:

При начислении процентов несколько раз в год:

Примеры решения задач по финансовой математике

Эти модели позволяют производить учет инфляции и корректировку процентных ставок.

Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле Фишера, связывает три показателя:

R — номинальная процентная ставка, а — уровень инфляции

r — реальная процентная ставка (доходность финансовой операции)

Примеры решения задач по финансовой математике

Пример №9

Годовой темп инфляции 20%. Банк рассчитывает получить 10% реального дохода в результате предоставления кредитных ресурсов. Какова номинальная ставка, по которой банк предоставит кредит?

Решение:

Примеры решения задач по финансовой математике

На практике довольно часто довольствуются сравнением Примеры решения задач по финансовой математике путем вычисления реальной ставки, т.е. уменьшенной ставки доходности на уровень инфляции:

Примеры решения задач по финансовой математике

Поскольку покупательная способность денег снижается в условиях инфляции, то происходит обесценивание денежных доходов. Поэтому при наращении денег на депозите вкладчик должен сопоставить номинальную процентную ставку, т.е. ставку, указанную в договоре, с величиной индекса потребительских цен.

Вычисление наращенных сумм

Получаем формулу: Примеры решения задач по финансовой математике, где Примеры решения задач по финансовой математике — уровень инфляции.

Реальная стоимость С суммы S, обесцененная во времени за счет инфляции при индексе цен Примеры решения задач по финансовой математике рассчитывается по формуле: Примеры решения задач по финансовой математике

Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то Примеры решения задач по финансовой математике. С учетом инфляции реальная стоимость суммы S составит Примеры решения задач по финансовой математике

Для определения реальной покупательской способности, наращенную сумму необходимо привести ее к ценам базового периода: Примеры решения задач по финансовой математике

Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги.

Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.

Наращенная сумма за и лет с учетом ее обесценивания составит: Примеры решения задач по финансовой математике, здесь множитель наращения, учитывающий темп инфляции.

  • Если темп инфляции больше ставки начисляемых процентов, то полученная наращенная сумма не компенсирует потерю покупательной способности денег. Банковская ставка называется отрицательной.
  • Если темп инфляции меньше ставки начисляемых процентов, то наблюдается реальный рост покупательной способности денег. Банковская ставка называется положительной.
  • Если темп инфляции равен ставке начисляемых процентов, то покупательная способность наращенной суммы равна покупательной способности первоначальной суммы.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по финансовой математике

Понятия видов потоков платежей и их основные параметры

Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления — положительными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.

Наращенная сумма потока платежей — это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.

Понятие финансовой ренты (аннуитета)

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.

Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты — величина каждого отдельного платежа, период ренты — временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты — время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода, процентная ставка — ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты.

Виды финансовых рент

Классификация рент может быть произведена по различным признакам. Рассмотрим их.

В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и р-срочные, где р — число выплат в году. Довольно часто в практике встречаются ренты, в которые период выплат превышает год и более (например, в инвестиционной деятельности).

По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

Так, например, с необходимостью учета и расчета вечной ренты приходится сталкиваться при финансовых вычислениях, связанных с инвестированием денежных средств или покупкой финансового инструмента (материального объекта), если период их функционирования (возможного получения дохода) достаточно продолжительный и не оговорен конкретными сроками (отсюда и возможность получения бессрочной, т.е. «вечной» ренты), в качестве примера можно привести инвестирование в ценные бумаги крупнейших транснациональных компаний и государства (при отсутствии срока окончания их обращения), покупку доходных гостиниц, ферм, участков земли, производств и т.п.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода — года, полугодия, месяца и т.п., то такие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

постнумерандо (когда платежи осуществляются в конце соответствующих периодов) и ренты пренумерандо (когда соответствующие платежи осуществляются в начале указанных периодов). Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в Примеры решения задач по финансовой математике раз.

Нечасто, но встречаются на практике и ренты, платежи по которым производятся в середине периодов. Такие ренты называются мнннумерандо. Примером такой ренты могут служить, в ряде случаев, авансовые платежи по аренде помещений, а также полугодовые оплаты трат по внешнеторговым контрактам.

Чаще всего в практических финансово-экономических расчетах решается, по существу, двуединая задача определения наращенной суммы или современной величины (стоимости) потока платежей. В данном контексте под современной величиной потока платежей понимается сумма всех его членов, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей, или упреждающий его. Она может характеризовать капитализированный доход, чистую приведенную прибыль, приведенные издержки, эффективность инвестиций и валютно-финансовых условий внешнеторговых контрактов, доходность вкладов и депозитов и др. финансово-экономических и коммерческих операций.

Формулы наращенной суммы. Обычная годовая рента

Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в года по ставке Примеры решения задач по финансовой математике. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины , так как на сумму R проценты начислялись в течение Примеры решения задач по финансовой математике года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен R, знаменатель Примеры решения задач по финансовой математике, число членов n. Эта сумма равна

где Примеры решения задач по финансовой математике по схеме постнумерандо.

Примеры решения задач по финансовой математике— по схеме пренумерандо.

Пример: В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Годовая рента, начисление процентов m раз в году

Посмотрим, как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году.

Примеры решения задач по финансовой математике по схеме постнумерандо.

Примеры решения задач по финансовой математике — по схеме пренумерандо.

Рента р-срочная,m=1

Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.

Примеры решения задач по финансовой математике — по схеме постнумерандо.

Примеры решения задач по финансовой математике — по схеме пренумерандо.

Рента р-срочная, p=m

В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей р в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. Примеры решения задач по финансовой математике. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой Примеры решения задач по финансовой математике .

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом получаем

Примеры решения задач по финансовой математике — по схеме постнумерандо.

Примеры решения задач по финансовой математике — по схеме пренумерандо.

Рента р-срочная, Примеры решения задач по финансовой математике.

Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем, возможно Примеры решения задач по финансовой математике. Получаем наращенную сумму

Примеры решения задач по финансовой математике — по схеме постнумерандо.

Примеры решения задач по финансовой математике — по схеме пренумерандо.

Отметим, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения Примеры решения задач по финансовой математике.

Формулы современной величины. Обычная годовая рента

Пусть член годовой ренты равен R, процентная ставка Примеры решения задач по финансовой математике, проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты Примеры решения задач по финансовой математике. Тогда дисконтированная величина первого платежа равна

, где — дисконтный множитель.

Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Примеры решения задач по финансовой математике: и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: Примеры решения задач по финансовой математикеПримеры решения задач по финансовой математике, сумма которой равна

где — коэффициент приведения ренты.

Как видим, коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: срока ренты Примеры решения задач по финансовой математике и процентной ставки Примеры решения задач по финансовой математике.

Рента р-срочная, Примеры решения задач по финансовой математике.

Аналогичные рассуждения позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений Примеры решения задач по финансовой математике
(1.9) от которой нетрудно перейти к частным случаям при различных Примеры решения задач по финансовой математике.

Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты

Пусть А — современная величина годовой ренты постнумерандо, а S — ее наращенная стоимость к концу срока Примеры решения задач по финансовой математике.

Покажем, что наращение процентов на сумму А за n лет дает сумму, равную S:

Отсюда же следует, что дисконтирование S дает А: ,

а коэффициент дисконтирования и наращения ренты связаны соотношениями:

Определение параметров финансовой ренты

Иногда при разработке контрактов возникает задача определения по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости А остальных параметров ренты: Примеры решения задач по финансовой математике. Такие параметры как m и p обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры Примеры решения задач по финансовой математике. Два из них задаются, а третий рассчитывается. Такие расчеты могут быть неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров, пока не будет достигнуто согласие сторон.

Определение размера ежегодной суммы платежа R

В зависимости от того какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана S или A, возможны два варианта расчета

(1.14) или (1.15)

Определение срока постоянной ренты

Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Решая исходные формулы для S и А

и

относительно срока n, получаем соответственно следующие два выражения

и

Последнее выражение, очевидно, имеет смысл только при Примеры решения задач по финансовой математике.

Определение ставки процентов

Для того, чтобы найти ставку Примеры решения задач по финансовой математике, необходимо решить одно из нелинейных уравнений (опять предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо) следующего вида

Примеры решения задач по финансовой математике

Решить такие уравнения можно несколькими способами. Рассмотрим наиболее распространенные из них: метод линейной интерполяции и метод Ньютона-Рафсона.

Метод линейной интерполяции состоит в том, что сначала методом подбора ищут примерную оценку верхней и нижней ставки i. Затем эти найденные ставки подставляют в уравнение и сравнивают с правой его частью. Далее производится корректировка нижнего значения ставки по следующей формуле:

Примеры решения задач по финансовой математике

где Примеры решения задач по финансовой математике — значение коэффициента наращения (или коэффициента приведения) ренты для процентных ставок Примеры решения задач по финансовой математике.

Затем скорректированное нижнее значение ставки подставляют в формулу и сравнивают его с правой частью. Если достигнутой точности недостаточно, повторно корректируют нижнее значение ставки (с заменой приближенной оценки ставки на более точную) по выше указанной формуле и так до момента, когда необходимая точность не будет достигнута.

Метод Ньютона-Рафсона также подразумевает подборку оценок. Этот метод разработан для нелинейных уравнений вида Примеры решения задач по финансовой математике.

В данном методе алгоритм поиска приемлемого решения сводится к трем операциями на каждом шаге, которые зависят от типа ренты и исходных заданных величин.

Сначала будем считать, что известна наращенная сумма S и найдена какая-то начальная оценка процентной ставки (например, методом проб).

Если рассматривать постоянную годовую ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года Примеры решения задач по финансовой математике, то необходимо решить следующее уравнение:

Примеры решения задач по финансовой математике

Алгоритм уточнения оценки на каждом шаге к будет следующим:

Примеры решения задач по финансовой математике

Если рассматривать постоянную р-срочную ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года Примеры решения задач по финансовой математике, то необходимо решить следующее уравнение:

Примеры решения задач по финансовой математике

Алгоритм уточнения оценки на каждом шаге Примеры решения задач по финансовой математике будет следующим:

Примеры решения задач по финансовой математике

Примечание:

Начальную оценку Примеры решения задач по финансовой математике следует выбирать такой, чтобы соответствующий ей множитель наращения был максимально приближен к значению S/R. Это обеспечит сходимость алгоритма и сократит количество итераций. Вычисления прекращаются, как только будет достигнута приемлемая точность при сравнении множителя наращения и отношения S/R.

Теперь будем считать, что известна современная сумма А и найдена какая-то начальная оценка процентной ставки (например, методом проб).

Если рассматривать постоянную годовую ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года Примеры решения задач по финансовой математике, то необходимо решить следующее уравнение: Примеры решения задач по финансовой математике или Примеры решения задач по финансовой математике.

Алгоритм уточнения оценки на каждом шаге Примеры решения задач по финансовой математике будет следующим:

Примеры решения задач по финансовой математике

Если рассматривать постоянную р-срочную ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года Примеры решения задач по финансовой математике, то необходимо решить следующее уравнение:

Примеры решения задач по финансовой математике

Алгоритм уточнения оценки на каждом шаге к будет следующим:

Примеры решения задач по финансовой математике

Основные способы погашения долга. Методы расчета платежей при погашении долга. Составление планов погашения кредитов

Основная задача расчетов по кредиту — выбор и согласование метода определения срочных выплат процентов и основного долга.

Погашение задолженности может осуществляться единовременным платежом в конце срока займа или частичными платежами.

Рассмотрим случай погашения задолженности частичными платежами.

1. Погашение долга равными суммами основного долга.

Основной долг — D, срочная уплата — Р, состоит из b — величины основного дола и величины процентов, и — срок, р — число платежей в году.

Формулы: периодическая величина основного долга Примеры решения задач по финансовой математике.

Срочная уплата: Примеры решения задач по финансовой математике, здесь Примеры решения задач по финансовой математике — остаток задолженности.

Пример №10

клиент банка получил кредит 120 тыс.р., сроком на 1 год с ежемесячными платежами в конце каждого года, ставка 15% годовых. Составить план погашения кредита.

Решение:

Примеры решения задач по финансовой математике
Примеры решения задач по финансовой математике

2. Погашение долга равными суммами уплатами.

а) известен срок займа

Срочная уплата равна: Примеры решения задач по финансовой математике.

Сумма погашения основного долга: Примеры решения задач по финансовой математике

Пример №11

клиент получил кредит 10 тыс.р. на 3 года по ставке 12% годовых с условием погашения годовыми выплатами.

Решение:

Примеры решения задач по финансовой математике

б) задана величина срочного платежа

Определяем срок: Примеры решения задач по финансовой математике

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по финансовой математике

Пример №12

кредит на сумму 15 тыс. р. выдан под 12% годовых. Срочные уплаты 4 млн.руб. Рассчитать план погашения кредита, если платежи выплачиваются 1 раз в год, 2 раза в год. Получаем: п=5,3 года.

Решение:

Примеры решения задач по финансовой математике
Примеры решения задач по финансовой математике

3. Погашение займа переменным выплатами основного долга

а) Выплаты изменяются в арифметической прогрессии

Предположим, что контрактом предусмотрено погашение основного долга производить платежами, возрастающими или убывающими в арифметической прогрессии с разностью Примеры решения задач по финансовой математике. В этом случае выплаты основного долга составят R, Примеры решения задач по финансовой математике, … по годам. В последний год соответственно Примеры решения задач по финансовой математике.

Величина основного долга равна сумме всех выплат, т.е. сумме членов возрастающей арифметической прогрессии: Примеры решения задач по финансовой математике. Найдем из этого уравнения Примеры решения задач по финансовой математике

Пример №13

Кредит размером 4,0 млн. р. выдан на 5 лет под 15% годовых с начислением процентов в конце каждого расчетного периода (года). Выплаты основного долга должны возрастать ежегодно на 0,1 млн руб.

Решение:

Примеры решения задач по финансовой математике

б) Выплаты изменяются в геометрической прогрессии

Одним из вариантов погашения кредитной задолженности может быть такой, при котором погашение основного долга должно производиться платежами, каждый из которых больше или меньше предыдущего в q раз. Таким образом, эти платежи будут являться членами возрастающей или убывающей геометрической прогрессии. Члены этой прогрессии будут иметь вид: Примеры решения задач по финансовой математике, … . Основной долг — сумма этих членов, т.е. Примеры решения задач по финансовой математике откуда 1Примеры решения задач по финансовой математике (первый платеж по основному долгу).

Пример №14

Кредит в размере 300,0 тыс. долл, должен быть погашен в течение шести лет ежегодными выплатами. Процентная ставка 15% годовых, начисление процентов один раз в конце года. Платежи, обеспечивающие погашение основного долга, должны увеличиваться в геометрической прогрессии на 5% ежегодно. Составить план погашения кредита.

Решение:

Примеры решения задач по финансовой математике

Конверсия займов

Конверсия займа — изменение условий погашения кредитов называется конверсией займа. При достижении соглашения о конверсии могут изменяться срок погашения займа, процентная ставка, порядок годовых выплат и т.п.

При любом методе конверсии первоначально определяются сумма выплаченного основного долга и величина непогашенной его части.

Непогашенная часть долга рассматривается как новый долг, подлежащий уплате на новых условиях.

Рассмотрим один из вариантов конверсии, когда изменяются срок погашения займа и процентная ставка, а срочные уплаты как по старым, так и по новым условиям производятся равными платежами; проценты начисляются один раз в конце каждого расчетного периода.

Обозначим параметры займов: первоначальный срок погашения займов до конверсии; срок, на который продлен период погашения в результате конверсии; число оплаченных расчетных периодов до конверсии; процентная ставка до конверсии; процентная ставка после конверсии; величина срочной уплаты до конверсии; величина срочной уплаты после конверсии; величина основного долга; остаток долга на момент конверсии.

Для составления плана погашения конверсионного займа определяют:

1) величину срочной уплаты по старым условиям: Примеры решения задач по финансовой математике

2) остаток долга на момент конверсии: Примеры решения задач по финансовой математике.

3) величину срочной уплаты по новым условиям: Примеры решения задач по финансовой математике.

Пример №15

Кредит в сумме 40,0 тыс. долл., выданный на 5 лет под 6% годовых, подлежит погашению равными ежегодными выплатами в конце каждого года. Проценты начисляются в конце года. После выплаты третьего платежа достигнута договоренность между кредитором и заемщиком о продлении срока погашения займа на 2 года и увеличении процентной ставки с момента конверсии до 10%. Необходимо составить план погашения оставшейся части долга.

Решение:

Величина срочной уплаты по старым условиям: 9,4959 тыс. долл.

Остаток долга на момент конверсии: 17,4097 тыс. долл.

Величина срочной уплаты по новым условиям: 5,4923 тыс. долл.

План погашения на конверсированный кредит:

Примеры решения задач по финансовой математике

Проверим правильность расчетов: сумма выплат по основному долгу до конверсии и сумма выплат после должны быть равны в сумме 40 тыс.долл.

Примеры решения задач по финансовой математике

(помним формулу: Примеры решения задач по финансовой математике, здесь Примеры решения задач по финансовой математике — остаток задолженности)

7,0959+7,5217+7,9730=22,5906

17,41+22,59=40 тыс. долл.

Порядок действий при других условиях конверсии аналогичен.

Консолидация займов

В финансовой практике может возникнуть ситуация, когда кредитору, предоставившему несколько займов одному заемщику, более удобно или выгодно объединить эти займы в один, т.е. произвести их консолидацию. В случае согласия обеих сторон первым шагом при консолидации займов является нахождение величин остатков каждого долга. Рассчитав остатки долгов и просуммировав их, получают объединенный долг, на который составляется новый план погашения.

Пример №16

Банком было предоставлено предприятию два кредита. Первый, в размере 2,0 млн руб. под 8% годовых, должен погашаться равными полугодовыми выплатами в течение 6 лет, начисление процентов — по полугодиям. Второй — 1,5 млн руб. со сроком погашения 4 года, ставка 12%, капитализация ежегодная.

Решение:

После выплаты в течение двух лет два долга объединяются в один на следующих условиях: консолидированный долг имеет срок погашения 8 лет, погашение производится равными полугодовыми срочными выплатами, процентная ставка 14%, капитализация полугодовая. Определить величину полугодовой срочной уплаты.

Срочная уплата первого займа: Примеры решения задач по финансовой математике

Остаток первого основного долга после двух лет его погашений (четыре срочные уплаты): Примеры решения задач по финансовой математике

Срочная уплата второго займа: Примеры решения задач по финансовой математике

Остаток второго основного долга после двух лет его погашений (две срочные уплаты): Примеры решения задач по финансовой математике

Общая величина непогашенных основных долгов после двухгодичных выплат:

1,434 + 0,833= 2,267 млн. р.

Срочная уплата консолидированного займа:

Примеры решения задач по финансовой математике

Облигации и их основные параметры. Виды облигаций. Показатели доходности облигаций

С юридической точки зрения, ценная бумага представляет собой денежный документ, удостоверяющий имущественные права, осуществление или передача которых возможны только при его предъявлении или если доказано закрепление этих прав в специальном реестре (в случаях, определенных законом).

С экономической точки зрения, ценная бумага — это совокупность имущественных прав на те или иные материальные объекты, которые обособились от своей материальной основы и получили собственную материальную форму. Ценные бумаги могут предоставлять и неимущественные права (например, акция предоставляет право голоса на общем собрании акционеров, а также право получать информацию о деятельности акционерного общества и т. д.).

Фундаментальные свойства ценных бумаг: обращаемость; доступность для гражданского оборота; стандартность и серийность; документальность; признание государством и регулируемость; рыночность; ликвидность; рискованность; обязательность исполнения обязательства.

Облигация (от лат. obligato — «обязательство») — долговая эмиссионная ценная бумага, закрепляющая право ее держателя на получение от эмитента облигации в предусмотренный срок ее номинальной стоимости и зафиксированного в ней процента от этой стоимости или иного имущественного эквивалента.

Доходом по облигации называется процент или купонный доход.

Существуют бескупонные облигации, доход по которым определяется в виде дисконта.

Облигации бывают нескольких видов.

1) Купонные облигации или, как их еще называют, облигации на предъявителя. К таким облигациям прилагаются своеобразные купоны, которые необходимо откалывать 2 раза в год и представлять платежному агенту для осуществления выплаты процентов.

2) Именные облигации. Практически все облигации различных корпораций регистрируются на имена их владельца. Такому владельцу выдается именной сертификат.

3) Балансовые облигации. В настоящее время такие облигации приобретают все большее распространение, поскольку их выпуск практически не связан с выдачей сертификатов и т.п.

4) Гарантированные облигации. Они гарантируются не корпорацией-эмитентом, а другими компаниями-поручителями.

5) По статусу эмитента облигации могут быть выпущены как государственными органами, так и частными компаниями.

6) По цели выпуска: для финансирования инвестиционных проектов и для рефинансирования задолженности эмитента.

7) По сроку обращения облигации могут быть: краткосрочные (до года), среднесрочные (от 1 до 5 лет), долгосрочные (от 5 до 30 лет), сверхдолгосрочные (свыше 30 лет).

8) По способу выплаты дохода: в виде % к ее номинальной стоимости, причем частота выплат может колебаться от 1 до 4 раз в год.

9) По способу обеспечения займа: имущественным залогом, в форме будущих поступлений от хозяйственной деятельности, определенными гарантийными обязательствами.

10) По способу погашения: облигации могут быть погашены в определенный срок по заранее оговоренной цене.

Облигации приобретаются инвесторами с целью получения дохода. Важнейшая черта облигации, характеризующая ее способность приносить доход владельцу, — доходность. Различают три вида доходности:

а) купонная доходность определена при выпуске облигации и равна отношению годовой суммы купонов к номиналу облигации;

б) текущая доходность определяется как отношение доходов по купонам за год к рыночной цене облигации;

в) полная доходность, или доходность к погашению, определяется с учетом всех денежных поступлений — периодических купонных выплат и выплаты номинала при погашении облигации.

Процентный (или купонный) доход измеряется в денежных единицах. Чтобы иметь возможность сравнивать выгодность вложений в разные виды облигаций (и других ценных бумаг), следует сопоставить величину получаемого дохода с величиной инвестиций (ценой приобретения ценной бумаги).

В общем случае, доход по купонным облигациям имеет две составляющие: периодические выплаты и курсовая разница между рыночной ценой и номиналом. Поэтому такие облигации характеризуются несколькими показателями доходности: купонной, текущей (на момент приобретения) и полной (доходность к погашению).

Купонная доходность задается при выпуске облигации и определяется соответствующей процентной ставкой. Ее величина зависит от двух факторов: срока займа и надежности эмитента.

Чем больше срок погашения облигации, тем выше ее риск, следовательно, тем больше должна быть норма доходности, требуемая инвестором в качестве компенсации. Не менее важным фактором является надежность эмитента, определяющая «качество» (рейтинг) облигации. Как правило, наиболее надежным заемщиком считается государство. Соответственно ставка купона у государственных облигаций обычно ниже, чем у муниципальных или корпоративных. Последние считаются наиболее рискованными.

Размер дохода по данным ценным бумагам можно рассчитать по следующей формуле Примеры решения задач по финансовой математике, где N — номинальная стоимость ценной бумаги, руб.; Примеры решения задач по финансовой математике — ставка дивиденда, процента, купона, %.

Как правило, срочные ценные бумаги (вексель, облигация, сертификат) имеют определенный срок обращения. В результате воздействия факторов времени и инфляции реальный доход от приобретения ценных бумаг меняется, что следует учитывать при инвестировании денежных средств.

Увеличение и обесценение капитала можно рассчитать на основе формул простого и сложного процентов, рассмотренных выше.

Пример №17

Облигация номинальной стоимостью 1 000 руб. и фиксированной ставкой дохода 14 % годовых выпускается сроком на 3 года с ежегодной выплатой дохода. Определить целесообразность покупки данной облигации, если среднегодовой уровень инфляции составит 11 %.

Решение:

Примеры решения задач по финансовой математике

Таким образом, покупка облигации выгодна для инвестора, так обеспечит доход в размере 53 руб.

Пример №18

На депозитный сертификат номиналом 1 000 руб. и сроком обращения 1 год начисляются проценты исходя из следующих данных: I квартал — 6 % годовых, II квартал — 8 % годовых. Каждый последующий квартал ставка процента увеличивается на 1 %. Рассчитать общую сумму погашения по сертификату, если проценты погашаются в конце срока.

Решение:

Примеры решения задач по финансовой математике

Характерной особенностью облигации, также, как и векселя, является существование ситуаций размещения данной ценной бумаги с дисконтом, т. е. по цене, ниже номинальной.

В таком случае, цену приобретения облигации можно рассчитать по формуле

Примеры решения задач по финансовой математике, где С — цена приобретения облигации, тыс. руб.; Р -первоначальная (номинальная) стоимость облигации, тыс. руб.; d — ставка дисконта, выраженная в коэффициенте; t- срок обращения облигации, дни, годы и т. д.

Пример №19

Целевая муниципальная облигация номинальной стоимостью 10 000 руб. имеет процентный доход в размере 8 % годовых, реализуется с дисконтом 4 % годовых. Рассчитать финансовый результат от приобретения облигации, если срок ее обращения составляет 1 год и среднегодовой уровень инфляции 12 %.

Решение:

Сумма погашения облигации: S = 10 000 * (1 + 0,081) = 10 800 руб.

Цена приобретения облигации: С = 10 000*(1-0,04-1) = 9 600 руб.

Увеличение затрат по покупке облигации под влиянием инфляции:

Примеры решения задач по финансовой математике

Финансовый результат от покупки облигации:

10 800 — 10 752 = 48 руб.

Приобретение ценной бумаги целесообразно.

Расчет доходности облигаций различных видов

Облигации представляют собой один из видов ценных бумаг, выпускаемых государством или коммерческой компанией. Выпустившая облигации организация называется эмитентом. Организация или лицо, приобретшее облигацию, называется держателем или владельцем облигации.

Облигация является долговым обязательством, которым эмитент гарантирует владельцу выплату определенной суммы в указанный момент времени и, возможно, разовую или периодическую выплату процентов.

На облигации обычно указывается ее номинальная стоимость N, т.е. та сумма, которую получит владелец, и дата погашения. Покупная цена облигации Р, по которой она приобретается, может отличаться от номинала.

Покупная цена, выраженная в процентах от номинала, называется курсом облигации Примеры решения задач по финансовой математике

Облигации приобретаются с целью получения дохода. Доход от облигаций состоит из двух основных частей:

  • периодически или в конце срока выплачиваемых процентов;
  • разности между номиналом и ценой приобретения облигации.

Рассмотрим далее только основные виды облигаций: облигации без выплаты процентов, с выплатой процентов при погашении и с периодической выплатой процентов.

а) Облигации без выплаты процентов

Доход от такой облигации образуется за счет разности между номинальной стоимостью и ценой покупки: Примеры решения задач по финансовой математике.

Эту разность называют также дисконтом.

У облигаций такого вида обычно короткий срок погашения (до года), поэтому доходность покупки такой облигации определим, используя эффективную ставку простых процентов, где n — срок в годах от покупки облигации до погашения: Примеры решения задач по финансовой математике.

Здесь Примеры решения задач по финансовой математике — срок в днях, К — временная база (К = 360, 365).

б) Облигации с выплатой процентов при погашении

Такие облигации обычно выпускаются на продолжительный срок.

Прибыль на эти облигации состоит из процентов, начисляемых по ставке сложных процентов, и из разности между номинальной стоимостью облигации и ценой покупки. Цена покупки может быть в данном случае и выше номинальной стоимости.

Доход от облигации рассматриваемого вида при годовом начислении процентов по ставке / вычисляется по формуле

Примеры решения задач по финансовой математике

Доходность облигации оценивается эффективной ставкой сложных процентов: Примеры решения задач по финансовой математике.

в) Облигации с периодической выплатой процентов

Это самый общий из рассматриваемых видов облигаций. Прибыль складывается из разности между номинальной стоимостью и ценой покупки и из периодически выплачиваемых по купонам процентов.

Максимальный доход от облигаций такого вида будет получен в том случае, если получаемые процентные деньги реинвестируются, т.е. помещаются на банковский депозит и на них идет наращение процентов.

Пусть Примеры решения задач по финансовой математике — годовая купонная ставка, Примеры решения задач по финансовой математике — количество выплат за год. Тогда каждая выплата равна Примеры решения задач по финансовой математике.

Эта сумма реинвестируется под сложные проценты с номинальной процентной ставкой j и начислением процентов m раз в году. Такой процесс продолжается n лет до погашения облигации. Наращенная сумма купонных выплат есть наращенная сумма общей ренты постнумерандо и она, как известно, равна Примеры решения задач по финансовой математике.

Теперь можем записать общий доход от облигации:

Примеры решения задач по финансовой математике

Доходность облигации опять оцениваем эффективной ставкой сложных процентов: Примеры решения задач по финансовой математике

Если полученные по купонам проценты не реинвестируются, то Примеры решения задач по финансовой математике, и соответственно Примеры решения задач по финансовой математике.

Грант-элемент. Погашение потребительского кредита изменяющимися суммами — «правило 78»

При погашении кредита иногда возникает необходимость определить сумму, идущую на погашение основного долга, и сумму процентных платежей. Такая ситуация возможна, например, при досрочном погашении долга. Для решения этого вопроса можно воспользоваться «правилом 78».

Для того чтобы объяснить происхождение названия этого правила, рассмотрим пример.

Предположим, кредит предоставлен на один год с ежемесячным погашением. Сумма порядковых номеров месяцев года равна:

1+2 + 3+4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10+11 +12 = 78.

В соответствии с «правилом 78» первый платеж включает сумму, равную 12/78 общей начисляемой суммы процентов, а оставшаяся часть платежа пойдет на уплату основного долга.

При втором платеже на оплату процентов идет денежная сумма, равная 11/78 общей суммы начисленных процентов, а оставшаяся часть направляется на погашение основного долга и т.д.

В общем случае знаменатель этих дробей можно определить по формуле Примеры решения задач по финансовой математике, где Примеры решения задач по финансовой математике — число платежей за весь рассматриваемый период.

Определив знаменатель, следует составить следующую последовательность дробей: Примеры решения задач по финансовой математике

Каждая из этих дробей, в сумме составляющих единицу, показывает, какая часть общей начисленной суммы направляется на уплату процентов. Оставшаяся часть каждого платежа идет на погашение основного долга.

Схема с убывающей суммой уплаты процентов соответствует логике ссудно-заемных операций. Поскольку с течением времени сумма основного долга снижается, то и сумма процентов, начисляемых на непогашенный остаток долга, должна снижаться. Эта схема страхует кредитора на случай досрочного погашения долга, если эта возможность предусмотрена кредитным договором. При досрочном погашении долга заемщик понесет определенный убыток, так как большую часть процентных денег он уже заплатил в начале срока кредитования.

Ипотечные ссуды. погашение потребительского кредита. Виды ипотечных ссуд

Ссуды под залог недвижимости, или ипотеки (mortgage), получили широкое распространение в странах с развитой рыночной экономикой как один из важных источников долгосрочного финансирования. В такой сделке владелец имущества (mortgagor) получает ссуду у залогодержателя (mortgagee) и в качестве обеспечения возврата долга передает последнему право на преимущественное удовлетворение своего требования из стоимости заложенного имущества в случае отказа от погашения или неполного погашения задолженности. Сумма ссуды обычно несколько меньше оценочной стоимости закладываемого имущества. В США, например, запрещено, за некоторыми исключениями, выдавать ссуды, превышающие 80% оценочной стоимости имущества. Наиболее распространенными объектами залога являются жилые дома (75% общей суммы закладных в США), фермы, земля, другие виды недвижимости. Ипотечные ссуды выдаются коммерческими банками и специальными ипотечными банками (например, земельными), различными ссудносберегательными ассоциациями. Характерной особенностью ипотечных ссуд является длительный срок погашения — в США до 30 и даже более лет.

Существует несколько видов ипотечных ссуд, различающихся в основном методами погашения задолженности. Большинство видов являются вариантами стандартной, или типовой, ипотечной ссуды. Суть ее сводится к следующему. Заемщик получает от залогодержателя (кредитора) некоторую сумму под залог недвижимости (например, при покупке или строительстве дома). Далее он погашает долг вместе с процентами равными, обычно ежемесячными, взносами.

Модификации стандартной схемы ипотеки нацелены на повышение ее гибкости в учете потребностей как должника, так и кредитора. Так, некоторые из них имеют целью снизить расходы должника на начальных этапах погашения долга, перенося основную их тяжесть на более поздние этапы. Такие ипотеки привлекают тех клиентов, которые ожидают роста своих доходов в будущем, например начинающих предпринимателей и фермеров. Привлекательна ипотека и для молодых семей при строительстве или покупке жилья. В других схемах тем или иным путем учитывается процентный риск.

Кратко охарактеризуем некоторые модификации стандартной схемы ипотек.

Ссуды с ростом платежей (graduated mortgage, GPM). Данный вид ссуды предусматривает постоянный рост расходов по обслуживанию долга в первые пять — десять лет. В оставшееся время погашение производится постоянными взносами. Такая схема погашения может привести к тому, что в первые годы расходы должника по обслуживанию долга (срочные уплаты) окажутся меньше суммы процентов. В связи с этим величина долга некоторое время увеличивается.

Ссуды с периодическим увеличением взносов (step-rate mortgage, SRM/ Схема такой ипотеки является вариантом GPM: по согласованному графику каждые три- пять лет увеличивается сумма взносов.

Ссуда с льготным периодом. В такой ипотеке предполагается наличие льготного периода, в течение которого выплачиваются только проценты по долгу. Такая схема в наибольшей мере сдвигает во времени финансовую нагрузку должника.

В последние два десятилетия в практику вошли и более сложные схемы погашения долга по ипотеке, преследующие в конечном счете те же цели — быть более гибкими и удобными для клиентов. Рассмотрим одну из них.

Ссуда с залоговым счетом (pledged-account mortgage, РАМ). Данная ипотека объединяет черты стандартной ипотеки (для кредитора) и ипотеки GPM (для должника). Суть ее в следующем. Клиент в начале операции вносит на залоговый счет некоторую сумму денег. Кроме того, он периодически выплачивает кредитору погасительные взносы.

Выбор ипотечной ссуды

Пример №20

Строительная фирма предлагает клиентам в новом доме квартиры стоимостью 300 тыс. руб. с разными условиями продажи.

Решение:

1) Для молодых семей — 15%-ый первый взнос авансом, а остаток стоимости выплачивается по льготному государственному кредиту в течение 20-ти лет по 5% годовых. Платежи осуществляются равными годовыми суммами в конце каждого года.

2) Аванс — 15%. Остальная сумма выплачивается в кредит сроком на 2 года по номинальной процентной ставке 20% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год, а платежи происходят ежемесячно.

3) Аванс — 10%. Предусмотрена отсрочка платежей на один год. Оставшаяся сумма выплачивается в течение трех лет равными месячными платежами с ежемесячным начислением процентов. Номинальная процентная ставка кредита 18%.

Требуется рассчитать периодические выплаты и общую сумму выплат во всех трех случаях.

Условия и финансовые последствия вариантов 1 — 3 приведены в таблице 2.4.

Принятые обозначения:

Р — стоимость квартир; q% — проценты от стоимости квартиры, отчисляемые в качестве аванса; r — номинальная процентная ставка; к — срок кредита; t — продолжительность отсрочки; m — число периодов начисления процентов; р — число периодов начисления платежей; С- величина годового платежа; FV — общая наращенная стоимость финансовой ренты; S — общая сумма выплат по ипотечной ссуде, включая аванс, Примеры решения задач по финансовой математике— будущая сумма кредита к концу срока кредита во всех трех случаях равна 0.

Таблица 2.4

Примеры решения задач по финансовой математике

Варнант1

Стоимость кредита PV=P(1 — 0,15)=255 тыс. руб.

Примеры решения задач по финансовой математике

Эту же величину можно рассчитать с помощью функции ППЛАТ(0,05; 20; 255)= — 20,462 тыс. руб.

Сколько же выплатят наши молодожены в течение 20 лет (считаем, что выплачивать они начинают с нуля, Примеры решения задач по финансовой математике=0)? Наращенная стоимость всех платежей по формуле

Примеры решения задач по финансовой математике

Будущее значения всех выплат по кредиту можно получить и с помощью финансовой функции =БЗ(0,05;20;-20,462)=676,591 тыс. руб.

С учетом аванса молодожены в течение 20-ти лет должны будут выплатить сумму S=676,591+45=721,591 тыс. руб.,

что на 421,591 тыс. руб. превышает первоначальную стоимость их квартиры.

Вариант 2

Стоимость кредита PV=P(1 — 0,15)=255 тыс. руб.

Примеры решения задач по финансовой математике

Величина годового платежа С= — 12,938-12= — 155,257 тыс. руб.

Наращенная стоимость финансовой ренты по формуле

Примеры решения задач по финансовой математике

С учетом аванса владельцы квартиры должны будут вернуть строительной фирме сумму

Примеры решения задач по финансовой математике

Вариант 3

Стоимость кредита PV=P (l-q)=300-(l-0,l)=270 тыс. руб.

Примеры решения задач по финансовой математике

Выплаты за год С=-11,671 12= — 140,047 тыс. руб.

Наращенная стоимость финансовой ренты за три года

Примеры решения задач по финансовой математике

С учетом аванса владельцам квартиры придется выплатить строительной фирме

Примеры решения задач по финансовой математике

Анализ вариантов показывает, чем больше срок кредита, тем большую сумму придется выплачивать владельцам квартир даже при более низкой процентной ставке.

Характеристика эффективности долгосрочных инвестиций

Инвестиции — это долгосрочные финансовые вложения экономических ресурсов с целью создания и получения выгоды в будущем, которая должна быть выше начальной величины вложений.

Инвестиционный процесс — это последовательность связанных инвестиций, растянутых во времени, отдача от которых также распределена во времени. Этот процесс характеризуется двусторонним потоком платежей, где отрицательные члены потока являются вложениями денежных средств в инвестиционный проект, а положительные члены потока — доходы от инвестированных средств.

Примеры решения задач по финансовой математике

Рис. Графическое изображение инвестиционного процесса

Принято различать:

  • финансовые инвестиции;
  • реальные инвестиции;
  • инвестиции в нематериальные активы.

Финансовые инвестиции — вложение денежных средств в ценные бумаги; реальные инвестиции — вложения в основной капитал и прирост запасов; вложения в нематериальные активы — вложения в развитие научных исследований, повышение квалификации работников, приобретение лицензий и прав.

Реализация инвестиционных проектов требует отказа от денежных средств сегодня в пользу получения дохода в будущем, поэтому любой инвестиционный проект требует анализа и оценки.

Оценивая эффективность инвестиционных проектов, следует учитывать и степень риска, — здесь, как правило, выделяют два вида риска: предпринимательский и финансовый.

Предпринимательский риск — риск, связанный с деятельностью конкретного бизнеса. Финансовый риск — изменениями рыночной ставки дохода на капитал.

Для упрощения исследования эффективности инвестиций предполагается, что необходимая норма прибыли задана и одинакова для всех инвестиционных проектов и для любого из рассматриваемых проектов степень риска одинакова.

Различают простые (статические) и усложненные (динамические) методы. Простые методы традиционно использовались в социалистической экономике и отвечали действующим тогда условиям хозяйствования. В рыночных условиях используются методы, основанные на теории временной стоимости денег, которые устранили недостаток ранее действующих методик.

Важнейшая задача анализа инвестиционных проектов — расчет будущих денежных потоков, возникающих при реализации проекта, но не прибыли. Анализ инвестиционных проектов основан на исследовании доходов и расходов, выраженных в форме денежных потоков, но не на изменениях, вызванных условностями бухгалтерского учета.

В данной главе рассматриваются только методы и показатели эффективности инвестиций, основанные на принципе дисконтирования.

При анализе потоков платежей используются обобщающие показатели:

  • наращенная стоимость;
  • приведенная стоимость;
  • норма доходности.

Эти показатели уже рассматривались в теоретической части, но для инвестиционных процессов они приобретают свою специфику.

1. Чистый приведенный доход

Поскольку денежные средства распределены во времени, то и здесь фактор времени играет важную роль.

При оценке инвестиционных проектов используется метод расчета чистого приведенного дохода, который предусматривает дисконтирование денежных потоков: все доходы и затраты приводятся к одному моменту времени.

Центральным показателем в рассматриваемом методе является показатель NPV (net present value) — текущая стоимость денежных потоков за вычетом текущей стоимости денежных оттоков. Это обобщенный конечный результат инвестиционной деятельности в абсолютном измерении.

При разовой инвестиции расчет чистого приведенного дохода можно представить следующим выражением:

Примеры решения задач по финансовой математике

где Примеры решения задач по финансовой математике — годовые денежные поступления в течение n лет, Примеры решения задач по финансовой математике-стартовые инвестиции; Примеры решения задач по финансовой математике — ставка дисконтирования.

Важным моментом является выбор ставки дисконтирования, которая должна отражать ожидаемый усредненный уровень ссудного процента на финансовом рынке. Для определения эффективности инвестиционного проекта отдельной фирмой в качестве ставки дисконтирования используется средневзвешенная цена капитала, используемого фирмой для финансирования данного инвестиционного проекта.

Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательное инвестирование финансовых ресурсов в течение нескольких лет (m), то формула для расчета модифицируется:

Примеры решения задач по финансовой математике

Показатель NPV является абсолютным приростом, поскольку оценивает, на сколько приведенный доход перекрывает приведенные затраты:

  • при NPV> 0 проект следует принять;
  • при NPV< 0 проект не принимается,
  • при NPV = 0 проект не имеет ни прибыли, ни убытков.

Необходимо отметить, что показатель NPV отражает прогнозную оценку изменения экономического потенциала фирмы в случае принятия данного проекта.

Одно из важных свойств данного критерия, что показатель NPV различных проектов можно суммировать, поскольку он аддитивен во времени. Это позволяет использовать его при анализе оптимальности инвестиционного портфеля.

Пример №21

Фирма рассматривает целесообразность инвестиционного проекта, стоимость которого составляет 210 тыс. долларов. По прогнозам ежегодные поступления составят 55 тыс. долларов. Проект рассчитан на 5 лет. Необходимая норма прибыли составляет 8%. Следует ли принять этот проект?

Решение:

Чистая стоимость проекта равна:

Примеры решения задач по финансовой математике
Примеры решения задач по финансовой математике

Поскольку величина чистой текущей стоимости -5’735 долларов, т.е. NPV < 0, то проект не может быть принят.

Как правило, основываются на том, что величина NPV находится на начало реализации инвестиционного проекта, однако можно определять эту величину на момент завершения процесса вложений или на иной момент времени.

Напомним, что ставка дисконтирования — результат выбора, субъективного суждения. Кроме того, при высоком уровне ставки отдаленные платежи будут оказывать на величину NPVмалое влияние, поэтому варианты, отличающиеся по продолжительности периодов отдачи, могут оказаться равноценными по конечному экономическому эффекту.

2. Срок окупаемости

Для анализа инвестиций применяют и такой показатель, как срок окупаемости (payback period method) — продолжительность времени, в течение которого дисконтированные на момент завершения инвестиций прогнозируемые денежные поступления равны сумме инвестиций. Иными словами — это сумма лет, необходимых для возмещения стартовых инвестиций:

Примеры решения задач по финансовой математике

Период окупаемости можно определить как ожидаемое число лет по упрощенной формуле:

Примеры решения задач по финансовой математике = Число лет до года окупаемости + (Нt возмещенная стоимость на начало года окупаемости / Приток наличности в течение года окупаемости)

Данный показатель определяет срок, в течение которого инвестиции будут «заморожены», поскольку реальный доход от инвестиционного проекта начнет поступать только по истечении периода окупаемости.

Пример №22

Рассчитать срок окупаемости проекта, для которого размер инвестиций составляет 1 млн руб., а денежные поступления в течение 5 лет будут составлять: 200; 500; 600; 800; 900 тыс. руб. соответственно. Ставка дисконтирования 15%.

Решение:

Рассчитаем дисконтированный денежный поток:

Примеры решения задач по финансовой математике

Срок окупаемости проекта: Примеры решения задач по финансовой математике

Таким образом, период, реально необходимый для возмещения инвестированной сумы, составит 3,12 года или 3 года и 44 дня.

Срок окупаемости существует, если не нарушаются определенные соотношения между поступлениями и размером инвестиций. При ежегодных постоянных поступлениях это соотношение имеет вид: Примеры решения задач по финансовой математике, т.е. не всякий уровень дохода при прочих равных условиях приводит к окупаемости инвестиций.

3. Внутренняя норма доходности

При анализе эффективности инвестиционных проектов широко используется показатель внутренней нормы доходности (IRR — internal rate of return) — это ставка дисконтирования, приравнивающая сумму приведенных доходов от инвестиционного проекта к величине инвестиций, т.е. вложения окупаются, но не приносят прибыль. Величина этой ставки полностью определяется «внутренними» условиями, характеризующими инвестиционный проект.

Применение данного метода сводится к последовательной итерации (повторения) нахождения дисконтирующего множителя, пока не будет обеспечено равенство NPV = 0.

Выбираются два значения коэффициента дисконтирования, при которых функция NPV меняет свой знак, и используют формулу:

Примеры решения задач по финансовой математике

Инвестор сравнивает полученное значение IRR со ставкой привлеченных финансовых ресурсов (СС — Cost of Capital):

• если IRR > СС, то проект можно принять;

• если 1RR < СС, проект отвергается;

• IRR = СС проект имеет нулевую прибыль.

Пример №23

Рассчитать внутреннюю ставку доходности по проекту, где затраты составляют 1200 тыс. руб., а доходы 50; 200; 450; 500 и 600 тыс. руб.

Решение:

Расчет по ставке 5%:

Примеры решения задач по финансовой математике

Поскольку NPV> 0, то новая ставка дисконтирования должна быть больше 5%.

Расчет по ставке 15%:

Примеры решения задач по финансовой математике

Вычисляем внутреннюю ставку доходности:

Примеры решения задач по финансовой математике

Внутренняя норма доходности проекта равна 12,05%.

Точность вычисления обратна величине интервала между выбираемыми процентными ставками, поэтому для уточнения величины процентной ставки длина интервала принимается за 1%.

Пример №24

Уточнить величину ставки для предыдущего примера.

Решение:

Для процентной ставки 11%:

Примеры решения задач по финансовой математике

Для процентной ставки 12%:

Примеры решения задач по финансовой математике

Уточненная величина:

Примеры решения задач по финансовой математике

Ставка 11,56 % является верхним пределом процентной ставки, по которой фирма может окупить кредит для финансирования инвестиционного проекта.

Определение эквивалентных сумм в национальной и иностранной валюте при прямой и косвенной котировке. Основные понятия валютных расчетов

В периоды экономической нестабильности, высокой инфляции многие граждане предпочитают хранить сбережения в свободно конвертируемой валюте (СКВ) или на валютных депозитах.

Валюта покупается и продается, как и любой другой товар, исходя из спроса и предложения. Конечная цена иностранной валюты, полученная в результате торгов, выражается в валютном курсе. Валютный курс — это цена денежной единицы национальной валюты, выраженная в денежных единицах другой страны. Установление курса иностранной валюты называется котировкой.

Различают прямую и косвенную котировку валюты. При прямой котировке курс валюты показывает, сколько единиц национальной валюты надо заплатить за одну или 100 единиц иностранной валюты. При косвенной котировке — сколько единиц иностранной валюты можно получить за одну или 100 единиц национальной валюты.

Цены продажи и покупки валюты отличаются по величине. Разница между курсом продажи и курсом покупки валюты называется спрэдом. За счет различия в курсах спроса и предложения банк имеет возможность покрыть расходы по совершению сделок, учесть возможный риск, связанный с валютными операциями, и получить определенную прибыль.

Оценка доходности операции покупки валюты

Рассмотрим, как оценивается доходность финансовой операции покупки валюты. Предположим, некоторая сумма в объеме PV рублей обменена на валюту. Затем через период п лет совершен ее обмен на рубли.

Обозначим сумму в рублях на начало операции PV ;

FV — сумма в рублях на конец операции;

Примеры решения задач по финансовой математике — курс обмена в начале и в конце операции соответственно, имеющий размерность, например, в руб./долл, или в руб./евро. Иначе говоря, Примеры решения задач по финансовой математике — банковский курс продажи валюты, Примеры решения задач по финансовой математике — банковский курс покупки валюты.

Сумма, полученная в результате проведенной операции, может быть определена по формуле:

Примеры решения задач по финансовой математике

Поскольку в течение n лет в результате инфляции покупательная способность полученной суммы в определенной степени снизилась, то ее реальная покупательная способность Сможет быть определена по формуле:

Примеры решения задач по финансовой математике. Здесь Примеры решения задач по финансовой математике — индекс цен за период n лет.

Примеры решения задач по финансовой математике— среднегодовой темп инфляции.

Определим доходность рассматриваемой финансовой операции в виде сложной годовой процентной ставки Примеры решения задач по финансовой математике из равенства: Примеры решения задач по финансовой математике.

Выразив из этого равенства Примеры решения задач по финансовой математике, найдем формулу для определения доходности операции покупки валюты: Примеры решения задач по финансовой математике.

Доходность такой операции равна нулю, если выполняется условие Примеры решения задач по финансовой математике. При Примеры решения задач по финансовой математике операция будет доходной, а при Примеры решения задач по финансовой математике — убыточной.

Пример №25

Предприниматель, имея свободную сумму 500 тыс. рублей предполагает приобрести на нее валюту с целью сохранения средств от инфляции, с тем, чтобы через 1,5 года вновь обменять валюту на рубли и приобрести на эти средства необходимое оборудование. На начало финансовой операции цена покупки доллара банком составляет 24, 15 руб., а цена продажи — 24,20 рублей. Для евро эти показатели соответственно 34, 65 руб. и 34, 75 руб. Предполагается, что концу срока цена покупки долларов банком составит 24,75 руб., а цена продажи — 24,85 руб. Аналогичные показатели для евро на конец операции — 36, 50 руб. и 36, 60 руб. Среднегодовой темп инфляции прогнозируется на уровне 7,5%.

Определить:

а) сумму в рублях, полученную в результате операции покупки-продажи долларов и евро;

б) покупательную способность полученных сумм с учетом инфляции:

в) доходность финансовых операций;

г) курс покупки валюты банком в конце операции, который обеспечил бы полное сохранение средств от инфляции.

Решение:

Примеры решения задач по финансовой математике

Таким образом, за 1,5 года цены возрастут на 11,46% ,

Примеры решения задач по финансовой математике

Из произведенных расчетов видно, что операция с евро в данном случае дает лучший результат.

б) Скорректируем этот результат с поправкой на инфляцию:

Примеры решения задач по финансовой математике

Следовательно, не удается полностью сохранить деньги от инфляции.

в) Определим доходность рассматриваемых финансовых операций.

Примеры решения задач по финансовой математике

Операция с долларами является убыточной. Ее доходность отрицательна и составляет — 5,57%.

Примеры решения задач по финансовой математике

Операция с евро также убыточна. Ее доходность составляет — 3,88%.

г) Определим, при каком курсе покупки валюты в конце срока, операции по покупке-продаже валюты были бы безубыточны. Для этого используем равенство: Примеры решения задач по финансовой математике.

Оно выполняется в случае покупки долларов, если Примеры решения задач по финансовой математике есть при Примеры решения задач по финансовой математике. Таким образом, при курсе покупки долларов банком по цене 26,97 руб. удается сохранить деньги от инфляции. Для получения прибыли от такой операции, курс покупки должен превысить этот уровень.

Аналогично определим критическое значение курса евро из равенства: Примеры решения задач по финансовой математике. Отсюда Примеры решения задач по финансовой математике.

Полученный пример показывает, что достаточно сложно уберечь деньги от инфляции, не инвестируя их с целью наращения процентов.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Конверсия валюты и наращение по простым и сложным процентам

Рассмотрим финансовые операции, совмещающие конверсию валюты с наращением процентов.

Для того чтобы найти возможности наилучшего размещения денежных средств (с конверсией или без нее), необходимо сравнить результаты непосредственного размещения денежных средств и опосредованно через другую валюту.

Существует четыре варианта для наращения процентов:

Примеры решения задач по финансовой математике
Примеры решения задач по финансовой математике

Здесь Примеры решения задач по финансовой математике означает процесс конверсии; Примеры решения задач по финансовой математике означает процесс наращения.

Вариант 1 и 3 не представляют интереса, т.к. здесь применяются обычные формулы наращения простых и сложных процентов.

В операциях наращения с конверсией валют можно выделить три этапа: обмен валюты, наращение процентов на полученную сумму и конвертирование в исходную валюту.

При этом существует два источника дохода: изменение курса валют и наращение процента. Причем если второй из них является безусловным источником дохода (ставка процента фиксирована), то этого нельзя сказать о первом. Более того, двойное конвертирование валюты может быть как прибыльным, так и убыточным.

Вариант Примеры решения задач по финансовой математике.

Введем следующие обозначения: *

Примеры решения задач по финансовой математике — исходная сумма в валюте;

Примеры решения задач по финансовой математике — исходная сумма депозита в рублях;

Примеры решения задач по финансовой математике — наращенная сумма депозита в рублях;

Примеры решения задач по финансовой математике — наращенная сумма в валюте;

Примеры решения задач по финансовой математике — курс покупки валюты в начале операции;

Примеры решения задач по финансовой математике — курс продажи валюты в конце операции;

Примеры решения задач по финансовой математике — срок депозита;

Примеры решения задач по финансовой математике — ставка наращения простых процентов на рублевых депозитах;

Примеры решения задач по финансовой математике — ставка наращения для валютного депозита в валюте конкретного вида.

(Знак * показывает, что величина измеряется в денежных единицах выбранной валюты).

Эта финансовая операция предполагает обмен валюты в количестве Примеры решения задач по финансовой математике на рубли, наращение на полученную в рублях сумму Примеры решения задач по финансовой математике простых процентов по ставке Примеры решения задач по финансовой математике и конвертирование в исходную валюту. Рассматривая этот процесс поэтапно, получим следующие результаты:

Примеры решения задач по финансовой математике

Таким образом, процесс наращения с конверсией валюты в этом случае выражается формулой: Примеры решения задач по финансовой математике

Нетрудно видеть, что результат операции в случае наращения по сложным процентам может быть определен по формуле: Примеры решения задач по финансовой математике

Доходность операции будет нулевой, если Примеры решения задач по финансовой математике, т.е. при Примеры решения задач по финансовой математике если наращение произведено по простым процентам и Примеры решения задач по финансовой математике при наращении по сложным процентам.

Следовательно, критическое значение курса продажи валюты в конце финансовой операции Примеры решения задач по финансовой математике в случае, если проценты простые, и Примеры решения задач по финансовой математике для сложных процентов.

В случае если Примеры решения задач по финансовой математике, то операция будет убыточной в случае наращения по простым процентам.

Для наращения по сложным процентам операция становится убыточной в случае, если выполняется неравенство: Примеры решения задач по финансовой математике.

Пример №26

Предприниматель намерен поместить 5000 $ на рублевый депозит на 4 месяца. Курс покупки долларов на начало финансовой операции составляет 25,3руб. за доллар. Ожидаемый курс продажи — 25,85руб. за доллар. Процентная ставка по рублевым депозитам 9%. Проценты простые. Определите:

а) наращенную сумму в долларах;

б) доходность операции с конверсией;

в) критическое значение курса продажи доллара в конце сделки, при котором проведение финансовой операции целесообразно.

Решение:

а) Наращенная сумма:

Примеры решения задач по финансовой математике

о) Доходность операции с конверсией Примеры решения задач по финансовой математике.

в) Критическое значение Примеры решения задач по финансовой математике.

В случае если Примеры решения задач по финансовой математике, операция становится убыточной.

Поскольку в момент заключения контракта значение курса продажи валюты в конце сделки Примеры решения задач по финансовой математике, неизвестно, полезно знать его максимально допустимое значение, при котором эффективность операции наращения с конверсией валюты будет равна существующей ставке по соответствующим валютным депозитам. В этом случае применение двойного конвертирования не дает дополнительной выгоды.

Предположим, процентная ставка по валютным депозитам равна Примеры решения задач по финансовой математике.

Тогда максимально допустимое значение Примеры решения задач по финансовой математике, может быть определено из равенства: Примеры решения задач по финансовой математике. Таким образом, если Примеры решения задач по финансовой математике, то проводить конверсию валюты нецелесообразно.

Пример №27

В условиях предыдущей задачи определить максимальное значение курса продажи долларов в конце операции, если процентная ставка по долларовому депозиту равна 4%.

Решение:

Примеры решения задач по финансовой математике.

Поскольку в конце операции ожидают, что значение курса продажи долларов будет 25,85руб. за доллар (больше, чем 25,72 руб. за доллар), то применять конверсию нецелесообразно, а лучше положить валюту на долларовый депозит.

Для того, чтобы убедиться в этом, определим наращенную сумму на долларовом депозите:

Примеры решения задач по финансовой математике

Следовательно, в этом случае производить конверсию нецелесообразно.

Вариант Примеры решения задач по финансовой математике

Данная финансовая операция предполагает обмен денежной суммы в рублях в количестве Примеры решения задач по финансовой математике валюту, наращение на полученную сумму Примеры решения задач по финансовой математике процентов по ставке Примеры решения задач по финансовой математике и конвертирование валюту наращенной суммы в валюте в рубли. Рассматривая этот процесс поэтапно, получим следующие результаты:

Примеры решения задач по финансовой математике

Таким образом, процесс наращения с конверсией в этом случае выражается формулой: Примеры решения задач по финансовой математике

Результат операции в случае наращения по сложным процентам может быть определен по формуле: Примеры решения задач по финансовой математике.

Доходность операции будет нулевой, если Примеры решения задач по финансовой математике если наращение произведено по простым процентам и Примеры решения задач по финансовой математике при наращении по сложным процентам.

Критическое значение курса продажи валюты в конце финансовой операции Примеры решения задач по финансовой математике в случае, если проценты простые, и Примеры решения задач по финансовой математике для сложных процентов.

В случае если Примеры решения задач по финансовой математике, то операция будет убыточной в случае наращения по простым процентам.

Для наращения по сложным процентам операция становится убыточной в случае, если выполняется неравенство: Примеры решения задач по финансовой математике

Определим значение Примеры решения задач по финансовой математике, при котором эффективность операции наращения с конверсией будет равна существующей ставке по рублевому депозиту. В этом случае применение двойного конвертирования не дает дополнительной выгоды.

Тогда минимально допустимая величина Примеры решения задач по финансовой математике может быть определено из равенства: Примеры решения задач по финансовой математике Отсюда Примеры решения задач по финансовой математике

Если Примеры решения задач по финансовой математике, то нецелесообразно проводить конверсию, а лучше положить деньги на рублевый депозит.

Пример №28

Предприниматель, имея сумму в размере 400 тыс. рублей, предполагает поместить ее на долларовом депозите на 3 месяца под процентную ставку 5% годовых, а затем обменять полученную сумму на рубли. Курс продажи долларов на начало срока депозита 25,45 руб., ожидаемый курс покупки через 3 месяца 25,85 руб. Процентная ставка на рублевом депозите 10%. Выяснить целесообразность этой сделки.

Решение:

Оценим целесообразность проведения конверсии. Для этого сравним значения Примеры решения задач по финансовой математике.

Примеры решения задач по финансовой математике

Следовательно, целесообразно провести операцию с конверсией. Чтобы убедиться в этом, сравним результаты наращения с конверсией и без нее.

1) наращенная сумма с конверсией:

Примеры решения задач по финансовой математике

2) наращенная сумма на рублевом депозите (без конверсии):

Примеры решения задач по финансовой математике

Примеры решения задач по всем темам финансовой математики

Финансовая математика охватывает определенный круг методов вычислений, необходимость в которых возникает всякий раз, когда в условиях сделки или финансово-банковской операции оговариваются конкретные значения 3 видов параметров, а именно:

  • стоимостные характеристики (размеры платежей, договорных обязательств, кредитов);
  • временные данные (даты, сроки выплат);
  • специфический параметр – процентная ставка.

Предмет финансовой математики – изучение функциональных зависимостей между данными параметрами и разработка на их основе методов решения финансовых задач определенного класса.

Финансовая математика позволяет решать многие задачи, которые явно или неявно присутствуют в любой финансово-банковской операции или коммерческой сделке.

Простые проценты

Золотое правило бизнеса: Сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра

В основе финансово-экономических расчетов лежит понятие временной ценности денег. В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.

Фактор времени играет не менее важную роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом не равноценности денег, относящихся к разным периодам времени.

Дело в том, что, даже в условиях отсутствия инфляции и риска, 1000 руб., полученных через год, не равноценны этой же сумме, полученной сегодня. Не равноценность определяется тем, что любая сумма денег может быть инвестирована сегодня и принести доход в будущем. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и г.д.

Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.

Известный афоризм, «время — деньги» (Time is money) как нельзя лучше выражает сущность современного количест венного финансового анализа.

Расчет и анализ любой финансовой операции начинается с приведения всех платежей, осуществленных в различные моменты времени, к одному моменту (настоящему или будущему), только после этого денежные суммы можно между собой сравнивать, вычитать, складывать.

Описание изменения денежных сумм во времени производится путем вычисления дохода от инвестирования денег, т.е. путем начисления процента на первоначальную сумму, поэтому теория процентных ставок — основа временной стоимости денег.

Основные понятия кредитной операции

Получение кредита — наиболее распространенная финансовая сделка. Она характеризуется следующими величинами:

К — начальный капитал или сумма ссуды;

S — наращенная сумма или полная стоимость кредита с процентами.

I = S — К — доход (процентные деньги, проценты), получаемый кредитором от предоставления денег в долг;

n — период начисления процентов в годах,

Решение задач по финансовой математике, n = 1 год — процентная ставка — относительная величина дохода в сумме долга за единицу времени.

Процентная ставка i может измеряться в процентах (%), в виде десятичной или натуральной дроби. Например, i= 15% =0.15; i=200%=2.0 и т.д.

В формулах для финансовых расчетов процентная ставка берется в виде десятичной дроби.

1. По базе начисления проценты делятся на простые и сложные.

Если база постоянна на весь период начисления процентов, используют простые проценты. Обычно период начисления в этом случае n < 1 года.

Если за базу для начисления принимается сумма, полученная из предыдущей, с прибавлением к ней процентов, то используют сложные проценты (иначе, процент на процент).

По принципу расчета процентов различают ставки наращения i и учетные ставки d.

Плата за кредит может взиматься как в конце срока, так и в его начале.

В первом случае проценты начисляются в конце срока, исходя из величины предоставляемой суммы К, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами, т.е. Решение задач по финансовой математике

Такой способ начисления процентов называется декурсивным.

Процентная ставка Решение задач по финансовой математике, (n=1 год) называется ставкой наращения.

Во втором случае процентный доход D называемый дисконтом, выплачивается в начале срока. При этом должнику выдается сумма, уменьшенная на его величину, т.е. S — D; а возврату в конце срока подлежит вся исходная ссуда S.

Такой способ начисления процентов называется антисипативным. а процентная ставка -учетной ставкой.

Учетная ставка $ $Решение задач по финансовой математике, n = 1 год.

  1. Процентные ставки могут быть фиксированными (постоянными), когда в контракте (сделке, финансовой операции) указывается их размер или «плавающие». когда фиксируется не сама ставка, а изменяющиеся во времени базовая ставка и надбавка к ней, называемая маржой.
  2. По периоду начисления проценты делятся на дискретные проценты и непрерывные проценты.

Дискретные проценты начисляются за фиксированные в договоре интервалы времени (год, полгода, квартал, месяц, день).

Непрерывные проценты связаны с непрерывным интервалом начисления.

Решение задач по финансовой математике

Операция наращения состоит в том, что по сегодняшней сумме ссуды К рассчитывается ее будущая стоимость S.

Операция дисконтирования состоит в том, что на сегодняшний момент времени пересчитывается некоторая будущая сумма денег S.

В этом случае сумму К называют современной или приведенной величиной.

Простые проценты: решение задач

Простые проценты — это метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику.

Сущность простых процентов состоит в том, что они начисляются на одну и ту же величину капитала К в течение всего срока ссуды. Простые проценты дают больший доход при их начислении на срок меньше года.

Основная формула простых процентов: Решение задач по финансовой математике, где

К — начальный капитал,

I — доход (процентный платеж, процентные деньги или просто проценты), получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;

р — процентная ставка, показывающая сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала за год, т. е. годовая ставка в процентах.

Если ставка измеряется в долях единицы, то она обозначается буквой Решение задач по финансовой математике

Если деньги отданы взаймы под проценты, то заемщик возвращает наращенную сумму

Решение задач по финансовой математике — процентная ставка в долях единицы, время в долях года.

Доход за n лет Решение задач по финансовой математике — множитель наращения по простым процентам.

Итак, если по начальному капиталу (сегодняшним деньгам) К находится будущая сумма денег S, то операция называется наращением.

Если же, зная будущие деньги S, находят их сегодняшнюю сумму К по формуле:

Решение задач по финансовой математике, то операция называется математическим дисконтированием, Решение задач по финансовой математике — дисконтный множитель.

Задача №1

Капитал 200 тыс.руб. вложен в банк на 8 месяцев под 12% годовых.

Найти сумму, которая будет получена к концу срока.

Решение задач по финансовой математике

Решение:

I способ.

Решение задач по финансовой математике

II способ. Ставка годовая, срок n в месяцах переведем в доли года: n = 8 месяцев Решение задач по финансовой математике

Задача №2

Капитал 200 тыс. руб. вложен в банк на 80 дней под 12% годовых.

Найти величину вклада через 80 дней. Расчет сделать точным и банковским методом.

Решение:

Решение задач по финансовой математике

1. Точный метод: Т.К. ставка годовая, срок п переведем в доли года: Решение задач по финансовой математике года,

Решение задач по финансовой математике

2. Банковский метод: Срок Решение задач по финансовой математике года, Решение задач по финансовой математике тыс. руб.

Банковский метод дает большее наращение.

Ставка i и время n в этих формулах соизмеримы.

Это значит, что если ставка годовая, время измеряется в годах; если ставка полугодовая — время в полугодиях и т.д.

Задача №3

Начальный капитал 30 млн. руб. Найти наращенную сумму через 5 месяцев по

а) ежегодной ставке 30 %; б) ежемесячной ставке 3 %; в) квартальной ставке 5 %.

Решение:

Решение задач по финансовой математике месяцев.

а) Т. к. 30 % — годовая ставка, время переводим в доли года Решение задач по финансовой математике года.

Решение задач по финансовой математике

б) I способ. Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежемесячную ставку и время в месяцах: 3 % — ежемесячная ставка, n = 5 месяцев, Решение задач по финансовой математике млн. руб-

II способ.

Рассчитаем наращенную стоимость, переведя ежемесячную ставку в годовую, и время в месяцах переведем в доли года: 3 % • 12 месяцев = 36 % — годовая ставка, n = 5 месяцев Решение задач по финансовой математике млн. руб.

в) I способ.

Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежеквартальную ставку, и время в месяцах переведем в кварталы, помня о том, что I квартал равен 3 месяцам:

5 % — ежеквартальная ставка, n = 5 месяцев Решение задач по финансовой математике квартала,

Решение задач по финансовой математике

II способ.

Рассчитаем наращенную стоимость, переведя ежеквартальную ставку в годовую, и время в месяцах — в доли года:

Решение задач по финансовой математике

III способ.

Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежемесячную ставку и время в месяцах:

Решение задач по финансовой математике — ежемесячная ставка, n = 5 месяцев,

Решение задач по финансовой математике

Обратите внимание:

Ставка годовая, срок измеряется в годах;

Ставка ежемесячная, срок — в месяцах и т. д.

Банковский учет. Учет векселей

Операция по учету векселей состоит в том, что банк до срока погашения покупает (учитывает) вексель у его держателя.

При работе с векселями начальный капитал К находят, используя учетную ставку d.

Решение задач по финансовой математике называется дисконтным множителем.

Такое дисконтирование называется банковским учетом или учетом векселей.

Согласно этому методу, проценты за использование ссуды в виде дисконта Решение задач по финансовой математике начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока (т.е. не на начальный капитал К, а на наращенную сумму S).

Из формулы банковского учета Решение задач по финансовой математике, следовательно, Решение задач по финансовой математике.

Это формула наращения по простой учетной ставке.

В этих формулах п — срок от момента учета векселя до момента его погашения.

Задача №4

Векселедержатель предъявил для учета вексель на 5 млн.руб. со сроком погашения 28.09.96. Вексель предъявлен 13.09.96.

Какую сумму получит векселедержатель, если:

а) вексель погашается по учетной ставке d = 0,75;

б) вексель погашается по процентной ставке i = 0,75?

Решение:

1) по учетной ставке Решение задач по финансовой математике млн.руб.

2) по процентной ставке Решение задач по финансовой математике млн.руб.

Вексель выгоднее учитывать по процентной ставке, в этом случае векселедержатель получает большую сумму.

Одновременное наращение и дисконтирование

В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга К, необходимо решить две задачи:

  1. определить конечную сумму долга S на момент его погашения;
  2. рассчитать сумму Решение задач по финансовой математике, получаемую при учете, путем дисконтирования конечной суммы долга, применяя учетную ставку, действующую в момент учета.

В задачах такого типа при работе с векселями рассматриваются три даты: выдачи векселя, его учета и его погашения.

Срок между датами выдачи и погашения обозначим n, за это время первоначальная сумма К по ставке i вырастет до суммы Решение задач по финансовой математике.

Срок между датами учета векселя и его погашением обозначим через Решение задач по финансовой математике. Найдем сумму. Полученную при учете векселя, дисконтируя сумму S по ставке d: Решение задач по финансовой математике.

Оба действия можно объединить в одно:

Решение задач по финансовой математике

Задача №5

Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d =15%. Требуется найти сумму, полученную при учете.

Решение:

Решение задач по финансовой математике

Формулы доходности финансовых операций

Если в формулах наращения по процентной и учетной ставке принять срок n = 1 году, то получим, что Решение задач по финансовой математике.

Если Решение задач по финансовой математике.

Эти формулы принято называть формулами доходности или эффективности по простой ставке процентов и учетной ставке соответственно.

Задача №6

Предприятие получило кредит на 1 год в размере 100 млн. с условием возврата 150 млн.

Найти доходность операции для кредитора в виде процентной и дисконтной (учетной) ставок.

К = 100 млн., S = 150 млн., n = 1 год. I=?, d=?

Решение:

Решение задач по финансовой математике

Дисконтная ставка всегда меньше процентной, ибо она учитывает время более жестко.

Иногда размер дисконта в контрактах фиксируется за весь срок ссуды в виде доли (или процента) от суммы погасительного платежа. Таким образом, уровень процентной ставки задается в неявном виде.

Выведем формулы, с помощью которых можно вычислить значения этих ставок.

Пусть S — размер погасительного платежа (сумма ссуды к концу срока), Решение задач по финансовой математике — доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды.

Решение задач по финансовой математике — реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора.

Тогда Решение задач по финансовой математике

Решение задач по финансовой математике

Задача №7

Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 25% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой простой ставки i. Год полагать равным 365 дней.

Решение:

Решение задач по финансовой математике

Простые переменные ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки.

Если Решение задач по финансовой математике — последовательные во времени простые ставки, a Решение задач по финансовой математике — периоды, в течение которых применяются соответствующие ставки, тогда наращенная сумма определяется следующим образом:

Решение задач по финансовой математике

Задача №8

Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год — ставка 16%, в каждый последующем полугодии ставка повышается на 1%. Определить множитель наращения за 2,5 года.

Дано:

Решение задач по финансовой математике

Общий срок начисления процентов 14-1/24-1/24-1/2=2,5 года.

Множитель наращения = 1 + 1-0,16+1/2-0,17 + 1/2-0,18+1/2-0,19 = 1,43.

Иначе, за 2б5 года начальный капитал увеличился в 1,43 раза.

Реинвестирование

В практике при реинвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, т.е. к реинвестированию средств, полученных на каждом этапе наращения. (Напоминает наращение по сложным процентам, но только напоминает!)

В этом случае наращенная сумма для всего срока составит:

Решение задач по финансовой математике — количество реинвестиций.

Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то формула реинвестирования примет вид:

Решение задач по финансовой математике — количество реинвестиций.

Задача №9

Сумму в 100 тысяч рублей положили 1 января на месячный депозит под 20% годовых. Каковой будет наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза? Расчет сделать по точным и банковским процентам.

Решение:

По условию задачи депозит в 100 тысяч рублей реинвестируется трижды по простым процентам.

По точным процентам:

Решение задач по финансовой математике

(Помните, что в январе 31 день, в феврале — 28 дней, в марте — 31 день!)

По банковским процентам при условии, что в каждом месяце по 30 дней:

Решение задач по финансовой математике

Сложные проценты. Наращение по сложным процентам

В средне и долгосрочных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, то для наращения используются сложные проценты.

Сложные проценты отличаются от простых процентов базой начисления.

Если в простых процентах она остается постоянной на весь срок начисления, то в сложных при каждом начислении процентные деньги присоединяются к первоначальной базе. Говорят, идет капитализация процентов.

Формула наращения по сложным процентам, если проценты начисляются один раз в году, имеет вид

Решение задач по финансовой математике — годовая (номинальная) процентная ставка, n — число лет начисления, Решение задач по финансовой математике — множитель наращения по сложным процентам.

Задача №10

Сумма, равная 800 тыс. руб., инвестируется на 3 года под 80% годовых. Найти наращенную сумму и сумму процентов за этот срок, используя простые и сложные проценты.

Решение:

1. Сложные проценты:

Решение задач по финансовой математике

Доход I = 4665,6 — 800 = 3865,6 тыс.руб.

2. Простые проценты:

Решение задач по финансовой математике

Доход I= 2720 — 800 = 1920 тыс.руб.

За 3 года 800 тыс. руб. увеличились в 5,832 раза по сложным процентам и только в 3,4 раза по простым процентам.

Задача №11

Сумма, равная 800 тыс. руб., инвестируется на 3 месяца под 80% годовых. Найти наращенную сумму и сумму процентов за этот срок, используя простые и сложные проценты.

Решение:

1. Сложные проценты:

Решение задач по финансовой математике

Доход I = 926,63 — 800 = 126,63 тыс.руб.

2. Простые проценты:

Решение задач по финансовой математике

Доход I = 960 — 800 = 160 тыс.руб.

Итак, сложные проценты работают лучше, если срок п больше 1 года и простые проценты лучше работают (дают большее наращение) внутри года. Если срок начисления процентов 1 год, простые и сложные проценты дают одинаковый результат.

Задача №12

Найти сумму долга в 15 млн. руб. через 8 месяцев, 320 дней, 2 года, 10 лет по сложным годовым ставкам 5% и 8%.

Решение:

Решение задач по финансовой математике

Сумма долга зависит от процентной ставки и числа лет начисления. Сравните суммы по годам и по процентным ставкам. (Сумма долга растет с увеличением и процентной ставки, и числа лет начисления).

Наращение процентов m раз в году. Номинальная ставка

Номинальная ставка — годовая ставка, по которой проценты начисляются m раз в году. Обозначим эту ставку через j.

Если проценты начисляются m раз в году, то наращение процентов происходит по ставке Решение задач по финансовой математике, общее число начислений процентов за срок и m равно mn.

Формула наращения процентов по номинальной ставке j при m-разовом начислении процентов в году примет вид:

Решение задач по финансовой математике

Если j — номинальная ставка сложных процентов, то

при m = 2 получается полугодовая ставка,

при m = 4 — квартальная,

при m = 12 — ежемесячная,

при m = 365 (360) — ежедневная ставка процентов.

Задача №13

Очень важная задача! Обязательная задача при зачете по сложным процентом.

Вложены деньги в банк в сумме 5 млн. руб. на 2 года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых.

Составить схему наращения капитала, найти наращенные суммы по периодам начисления и к концу срока двумя способами:

1. по определению сложных процентов (как процент на процент);

2. по формуле Решение задач по финансовой математике

Решение:

Рассчитаем полугодовую ставку Решение задач по финансовой математике; Множитель наращения

Решение задач по финансовой математике

1 способ.

По первому способу сумма, с которой идет наращение, увеличивается с каждым наращением процентов, т.к. по определению сложных процентов база для начисления изменяется за счет присоединения полученных на предыдущем шаге процентов, т.е. Решение задач по финансовой математике.

Решение задач по финансовой математике

2 способ.

По второму способу наращения начальный капитал К=5,0 млн. руб. остается неизменным.

Решение задач по финансовой математике

Естественно, что по обоим способам результаты получились одинаковыми.

Задача №14

Сумма 10 млн. руб. инвестирована на 2 года по годовой ставке 120%. Найти наращенные за это время суммы и приросты при начислениях:

  1. ежегодном (m= 1),
  2. полугодовом (m=2),
  3. ежеквартальном (m=4),
  4. ежемесячном (m= 12),
  5. ежедневном (m=365).

Решение:

1. при ежегодном начислении процентов

Решение задач по финансовой математике

Прирост I = 48,4 — 10 = 38,4 млн.руб

2. при полугодовом начислении процентов

Решение задач по финансовой математике

Прирост I = 65,5 36 — 10 = 55,536 млн. руб

3. при ежеквартальном начислении процентов

Решение задач по финансовой математике

Прирост I = 81,573 — 10 = 71.573 млн. руб.

4. при ежемесячном начислении процентов

Решение задач по финансовой математике

Прирост I = 98,497 — 10 = 88,497 млн. руб.

5. при ежедневном начислении процентов

Решение задач по финансовой математике

Прирост I = 109,799 — 10 = 99,799 млн.дуб.

Итак, чем чаще начисляются проценты, тем больше получается наращенная сумма.

Помните, что это справедливо при прочих равных условиях, а именно, ставка, срок, начальный капитал остаются неизменными, меняется только число начислений процентов в году.

Непрерывные проценты

Если число начислений процентов в году Решение задач по финансовой математике, то формула наращения принимает вид Решение задач по финансовой математике, где Решение задач по финансовой математике — непрерывная ставка, Решение задач по финансовой математике — показатель роста.

Задача №15

На сумму 10 млн руб. начислить проценты по непрерывной ставке Решение задач по финансовой математике=12% за 5 лет.

Решение:

Решение задач по финансовой математике

Дисконтирование по сложным процентам

Найдя из всех формул начальный капитал К, получим уравнение дисконтирования. Полученная при дисконтировании величина К часто называется сегодняшней или современной величиной Решение задач по финансовой математике, Решение задач по финансовой математике.

Наращение и дисконтирование по сложной учетной ставке

Начислять проценты можно и по сложной учетной ставке:

SРешение задач по финансовой математике, где d и f — годовые сложные учетные ставки,

m — число начислений процентов в году (при Решение задач по финансовой математике)-

Начисление процентов по ставке i называется декурсивным, а по учетной ставке d — антисипативным.

Антисипативное начисление дает большую наращенную сумму и используется в условиях высокой инфляции.

Задача №16

Вексель на 10 млн. руб. со сроком платежа через 5 лет учтен:

1) по сложной учетной ставке 10% годовых;

2) по простой учетной ставке 10% годовых.

Какое дисконтирование выгоднее векселедержателю?

Решение:

1) по сложной учетной ставке Решение задач по финансовой математике млн.дуб.

2) по простой учетной ставке Решение задач по финансовой математикемлн.руб.

Итак, векселедержателю выгоднее дисконтирование по сложной учетной ставке, т.к. в день учета он получит большую сумму.

Задача №17

Капитал 20 млн. руб. вложен на 4 года под 4% годовых. Найти доход от вложения денег при 1) декурсивном, 2) антисипативном способах расчета.

Какое вложение выгоднее кредитору?

Решение:

Т.к. срок вложения денег больше 1 года, расчет сделаем по сложным процентам.

1) декурсивные проценты Решение задач по финансовой математике

2) антисипативные проценты

Решение задач по финансовой математике

Доход I = 3,548 млн.руб.

Антисипативное начисление процентов выгоднее кредитору, т.к. он получает больший доход.

Эквивалентные ставки (Очень важное и очень трудное понятие) Мы рассмотрели все возможные способы начисления процентов. Однако, по какой бы ставке не начислялись проценты, следует соблюдать принцип эквивалентности, в соответствии с которым финансовый результат должен быть одинаков при начислении по любой ставке.

Такие ставки называются эквивалентными и находятся из равенства взятых попарно множителей наращения или дисконтирования.

Сравним, к примеру, множители наращения сложных процентов при начислении один раз и m раз в году: Решение задач по финансовой математике.

Из равенства найдем Решение задач по финансовой математике.

Ставка i называется эффективной годовой ставкой.

Она дает тот же финансовый результат, что и номинальная ставка j при m-разовом начислении в году.

Это наиболее часто используемая ставка среди всех эквивалентных ставок.

Задача №18

Рассчитать накопленную сумму процентов за 1 год, если начальный капитал К = 1000 руб., годовая ставка) = 10%, при ежегодном, полугодовом, квартальном, ежемесячном, ежедневном и непрерывном начислении процентов. Найти базисные и цепные наращения. Для каждого случая рассчитать эффективные ставки и сделать по ним начисления на ту же сумму начального капитала.

Решение:

Решение задач по финансовой математике

Рассчитаем эффективные ставки:

iРешение задач по финансовой математике и сделаем начисление на 1000 руб. по эффективной ставке, Решение задач по финансовой математике год.

Решение задач по финансовой математике

Сравните наращенные суммы в таблицах. Они одинаковы, что по эффективной ставке, что по номинальной ставке при определенном числе начислений процентов в году.

Этот факт следует из понятия эквивалентных ставок: они обязаны давать одинаковый финансовый результат.

Основные уравнения эквивалентности

1. Простой процентной ставки i и простой учетной ставки d:

Решение задач по финансовой математике

2. Простых и сложных ставок’.

а) Простой процентной ставки i и сложной учетной ставки f при т-разовом начислении процентов в году:

Решение задач по финансовой математике

б) Простой процентной ставки i и сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов в году:

Решение задач по финансовой математике

3. Сложной процентной ставки j и сложной учетной ставки f:

Решение задач по финансовой математике

4. Сложных и непрерывных ставок:

а) Сложной ставки i и непрерывной ставки 6:

Решение задач по финансовой математике

б) Сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов и непрерывной ставки Решение задач по финансовой математике:

Решение задач по финансовой математике

в) Сложной учетной ставки f при m-разовом начислении процентов и непрерывной ставки Решение задач по финансовой математике:

Решение задач по финансовой математике

Из каждого соотношения при любой известной ставке можно найти эквивалентную ей ставку.

Задача №19

Найти номинальную процентную ставку, если полугодовая эффективная ставка 6 %.

Решение:

Из уравнения эквивалентности номинальной j и эффективной i ставок найдем j:

Решение задач по финансовой математике

=> Заметьте: номинальная годовая ставка всегда чуть меньше эффект иеной.

Задача №20

Найти эквивалентную учетную ставку d для сложной годовой ставки j=0,12 при квартальном начислении процентов (m=4). Начислить проценты по обеим ставкам на 1000 руб. Сравнить результаты (Срокn=1 год).

Решение:

Уравнение эквивалентности:

Решение задач по финансовой математике

Наращенная сумма по сложной годовой процентной ставке j=12% при квартальном начислении процентов:

Решение задач по финансовой математике

Наращенная сумма по эквивалентной сложной годовой учетной ставке f = 11,65% при квартальном начислении процентов:

Решение задач по финансовой математике

Естественно, что Решение задач по финансовой математике т.к. эквивалентные ставки дают одинаковое наращение.

Задача №21

Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста?

Решение:

Воспользуемся уравнением эквивалентности сложной и непрерывной ставок:

Решение задач по финансовой математике. Найдем из этого уравнения непрерывную ставку.

Решение задач по финансовой математике

Непрерывная ставка Решение задач по финансовой математике=13,976% и сложная ставка I=15% дают одинаковый финансовый результат. Например, при начальном капитале К=2000 руб., сроке n=4 года, имеем

Решение задач по финансовой математике

Инфляция: решение задач

Инфляция — это обесценивание денег.

В экономике различают более 20 видов инфляции: инфляция, связанная с эмиссией денег; с большими кредитными расходами; превышения спроса над предложением; с ожиданием роста цен; с изменение цен на сырье; с ростом заработной платы и т.д.

Различают скрытую и открытую инфляции. Скрытой инфляции присущи дефицит товаров, отложенный спрос и постоянные цены. При открытой инфляции освобождаются цены и растут доходы.

Освобождение цен при накопившихся излишках денег ускоряет обращение денег в десятки раз в связи с боязнью населения нового витка повышения цен, что приводит к гиперинфляции.

Дефляция — сдерживание обесценивания денег или мероприятия по ограничению денежной массы в обращении. Осуществляется путем увеличения налогов, повышения процентных ставок, ограничения кредитов, снижения роста заработной платы, ограничения продажи ценных государственных бумаг на открытом рынке.

Характеристики инфляции

1. Индекс цен Решение задач по финансовой математике или индекс покупательной способности Решение задач по финансовой математике.

Решение задач по финансовой математике

Индекс цен показывает, во сколько раз приросли цены за соответствующий период. Индекс покупательной способности показывает, во сколько раз уменьшилась покупательная способность за этот же период.

Например, пусть сегодня получены 5000 руб. Известно, что за три предшествующих года цены возросли в 5 раз, т.е. Решение задач по финансовой математике, тогда Решение задач по финансовой математике реальная стоимость С сегодняшних денег в деньгах трехлетней давности

Решение задач по финансовой математике

2. Темп инфляции Н — относительный прирост цен за период. Измеряется в %, находится по формуле: Решение задач по финансовой математике.

Следовательно, Решение задач по финансовой математике.

Например, если цены увеличились в 2 раза, то их прирост составил Решение задач по финансовой математике.

И наоборот, если темп прироста цен составил 70%, то цены увеличились в Решение задач по финансовой математике.

3. Среднегодовой темп роста цен Решение задач по финансовой математике, среднегодовой темп инфляции Решение задач по финансовой математике.

Если рассматривается индекс цен за несколько периодов, то

Решение задач по финансовой математике

Если Решение задач по финансовой математике.

Задача №22

Темп инфляции h=10% в месяц. Найти рост цен за год и годовой темп инфляции.

Решение:

Решение задач по финансовой математике
Решение задач по финансовой математике

т.е. цены выросли за год в 3,1384 раза или на Решение задач по финансовой математике.

Задача №23

Последовательный прирост цен за 3 месяца составил 25%, 20%, 18%. Найти темп инфляции за эти месяцы.

Решение:

Решение задач по финансовой математике, т.е. цены за 3 месяца выросли в 1,77 раза или на Решение задач по финансовой математике.

Два случая учета инфляции

Первый случай учета инфляции: при расчете наращенной суммы.

Пусть S — наращенная сумма, С — та же сумма с учетом инфляции.

Решение задач по финансовой математике

Конкретизируем формулу:

Для простых процентов:

Наращенная сумма простых процентов Решение задач по финансовой математике.

Тогда Решение задач по финансовой математике

Для сложных процентов:

Наращенная сумма сложных процентов Решение задач по финансовой математике. Тогда

Решение задач по финансовой математике

Если Решение задач по финансовой математике — реальный рост суммы денег;

если Решение задач по финансовой математике — «эрозия» капитала, нет реального роста денег;

если Решение задач по финансовой математике — наращение поглощается инфляцией.

Задача №24

Последовательный прирост цен за 3 месяца составил 25%, 20%, 18%. Найти реальную сумму 1,5 млн. руб., накопленные проценты и инфляционную сумму, реальный доход, реальную доходность, если наращение идет по ставке i=50% а) сложных годовых, б) простых процентов.

Решение:

Индекс инфляции найден в задаче 10. Цены за 3 месяца увеличились в 1,77 раз.

Рассчитаем реальную сумму 1,5 млн. руб.

А) по сложным процентам:

Наращенная сумма по сложным процентам

Решение задач по финансовой математике

Решение задач по финансовой математикемлн. pyб. — реальная стоимость l,66 млн. руб. с учетом инфляции

Накопленные проценты Решение задач по финансовой математике млн. руб.;

инфляционная сумма (сумма, которую “съела” инфляция) Решение задач по финансовой математике 1,66 — 0,938 = 0,722 млн. руб.;

реальный доход Решение задач по финансовой математике млн. руб.;

реальная доходность Решение задач по финансовой математике

Сложная годовая ставка 50% при трехмесячной инфляции 77% дает отрицательную годовую доходность 150%.

б) По простым процентам:

Наращенная сумма по простым процентам

Решение задач по финансовой математике млн.руб.

Решение задач по финансовой математике млн. руб. — реальная стоимость 1,6875 млн. руб. с учетом инфляции по простым процентам.

Накопленные проценты Решение задач по финансовой математике млн. руб.;

инфляционная сумма Решение задач по финансовой математике млн. руб.;

реальный доход Решение задач по финансовой математике млн. руб.;

реальная доходность Решение задач по финансовой математике

Простая годовая ставка 50% при трехмесячной инфляции 77%) дает годовую отрицательную доходность 146%).

Второй случай учета инфляции: при измерении эффективности (доходности) финансовой операции

В этом случае применяется индексация процентной ставки, которая сводится к увеличению ставки процентов на величину, так называемой, инфляционной премии.

Назовем ставку с поправкой на инфляцию брутто-ставкой и обозначим ее г (ставка i + маржа).

Для нахождения брутто-ставки составляется уравнение эквивалентности множителей наращения по брутто-ставке и по ставке i с учетом инфляции.

Рассчитаем брутто-ставки:

1. Для простых процентов:

Уравнение эквивалентности имеет вид:

Решение задач по финансовой математике, следовательно, брутто — ставка Решение задач по финансовой математике., реальная ставка Решение задач по финансовой математике

2. Для сложных процентов.

Уравнение эквивалентности имеет вид:

Решение задач по финансовой математике следовательно, брутто — ставка Решение задач по финансовой математике, реальная ставка Решение задач по финансовой математике.

Задача №25

Продолжим решать задачу 11. В условиях этой задачи рассчитаем брутто-ставки для годовой простой и сложной ставки 50%.

Решение:

а) Брутто-ставка простых процентов

Решение задач по финансовой математике

Простая годовая ставка 396,5% годовых компенсирует инфляцию и дает реальный доход 50% годовых.

Проверка:

1) Наращенная сумма денег с учетом инфляции по брутто-ставке:

Решение задач по финансовой математике

2) Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции:

Решение задач по финансовой математике

б) Брутто-ставка сложных процентов

Т.к. ставка i — годовая ставка, то темп инфляции должен быть рассчитан за год.

Финансовая математика задачи с решением

Финансовая математика задачи с решением— на столько процентов увеличились цены за год.

Финансовая математика задачи с решением

Годовая сложная брутто-ставка Финансовая математика задачи с решением компенсирует инфляцию и дает годовой доход 50%.

Проверка:

1) Наращенная сумма денег с учетом инфляции по брутто-ставке r:

Финансовая математика задачи с решением

2) Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции:

Финансовая математика задачи с решением

Консолидация и пролонгация финансовых обязательств

Эквивалентные обязательства.

Постановка задач на консолидацию и пролонгацию

В практике нередко возникают случаи, когда необходимо изменить условия финансовых сделок (досрочно погасить задолженность, объединить (консолидировать) несколько платежей в один, продлить платежи и т.д.) В данных ситуациях прибегают к принципу финансовой эквивалентности обязательств, который предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи “приведены” к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот, наращения суммы платежа, если эта дата относится к будущему.

Две суммы денег Финансовая математика задачи с решением и Финансовая математика задачи с решением, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы.

Общий метод решения задач подобного рода заключается в разработке уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к некоторому моменту времени, называемому базовым, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате.

Наиболее распространенным способом изменения условий контрактов является консолидация (объединение) и пролонгация (продление) финансовых обязательств.

Здесь решаются две задачи:

1) при известных суммах платежей и их сроках, известном сроке объединяемого платежа, находится его сумма;

2) при известных суммах платежей и их сроках, известной сумме консолидированного платежа, находится срок его выплаты.

Задача о нахождении суммы консолидированного платежа при известных сроках выплат всех платежей

Здесь можно рассмотреть 3 случая.

Случай 1.

Консолидированный платеж Финансовая математика задачи с решением расположен между консолидируемыми платежами. Иначе, есть платежи до и после консолидированного платежа.

Расположим платежи на временной оси в порядке возрастания их дат.

Финансовая математика задачи с решением

Найдем величину консолидированного платежа Финансовая математика задачи с решением, используя простую процентную ставку i. Платежи Финансовая математика задачи с решением производятся раньше консолидированного платежа So, поэтому они наращиваются.

Платежи Финансовая математика задачи с решением производятся позднее консолидированного платежа s0, поэтому они дисконтируются.

Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:

Финансовая математика задачи с решением

Случай 2.

Консолидированный платеж Финансовая математика задачи с решением расположен раньше всех консолидируемых платежей.

Финансовая математика задачи с решением

Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:

Финансовая математика задачи с решением

Случай 3.

Консолидированный платеж Финансовая математика задачи с решением расположен позднее всех консолидируемых платежей.

Финансовая математика задачи с решением

Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:

Финансовая математика задачи с решением

Задача №26

Три платежа Финансовая математика задачи с решением млн. руб., Финансовая математика задачи с решением млн. руб., Финансовая математика задачи с решением млн руб. со сроками уплаты соответственно через 100, 120 и 150 дней заменяются одним со сроком уплаты через 180 дней при простой ставке 20%. Найти сумму консолидированного платежа (год принять равным 360 дней).

Решение:

Финансовая математика задачи с решением

Платежи и даты их выплат изобразим точками на временной оси в порядке возрастания дней выплат:

За базовую дату примем день выплаты консолидированного платежа Финансовая математика задачи с решением.

Т.к. срок объединяемых платежей меньше срока платежа Финансовая математика задачи с решением, то приведение платежей к моменту выплаты консолидированного платежа Финансовая математика задачи с решением будет выполняться с помощью операции наращения.

Финансовая математика задачи с решением

Задача о нахождении срока консолидированного платежа при известных суммах выплат всех платежей

В этом случае все платежи приводятся на одну более раннюю дату операцией дисконтирования. Составляется уравнение эквивалентности, в левой части которого стоит дисконтированная стоимость платежа Финансовая математика задачи с решением, а в правой — сумма дисконтированных стоимостей объединяемых платежей Финансовая математика задачи с решением.

Финансовая математика задачи с решением

Решаем задачу, используя ставку i. эаиишем уравнение эквивалентности, дисконтируя все платежи, включая Финансовая математика задачи с решением на начальную дату «0».

Финансовая математика задачи с решением

Обозначим через Ро сумму дисконтированных стоимостей объединяемых платежей, т.е. Финансовая математика задачи с решением. Тогда Финансовая математика задачи с решением

Очевидно, что в полученной формуле консолидированная стоимость платежей Финансовая математика задачи с решением должна быть больше суммы дисконтированных консолидируемых платежей Финансовая математика задачи с решением. Иначе срок платежа Финансовая математика задачи с решением получится отрицательным.

Задача №27

Фирма, в погашение задолженности банку за предоставленный кредит под 70% годовых, должна произвести 2 платежа в сроки 18.05 (138-й день), 1.09 (244-й день) суммами Финансовая математика задачи с решением = 2,7 млн. руб. и Финансовая математика задачи с решением = 3,5 млн. руб. Фирма договорилась объединить оба платежа в один суммой за Финансовая математика задачи с решением =7,0 млн. руб. с продлением срока выплаты.

Найти срок выплаты консолидированного платежа. (В скобках указан порядковый номер даты платежа)

Решение:

Срок выплаты консолидированного платежа найдем по формуле Финансовая математика задачи с решением, где Финансовая математика задачи с решением-современная величина консолидируемых платежей.

Финансовая математика задачи с решением

Финансовая математика задачи с решением. По календарю это 14 октября (приложение табл.1).

Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей

При решении задачи изменения условий выплаты платежей составляется уравнение консолидации по следующему правилу:

«Старые» долги равны «новым» долгам, но и те, и другие должны быть приведены на одну дату консолидации.

Дата консолидации либо устанавливается во взаимном соглашении, либо выбирается произвольно.

Задача №28

Две суммы 12 и 8 млн. руб. должны быть выплачены 1.09.00 (244) и 1.01.01 (1). Стороны договорились пересмотреть условия контракта: должник 1.12.00 (335) выплачивает 10 млн. руб., остаток долга гасится 1.04.01 (91). Найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 12% (год равен 365 дней).

Решение:

Финансовая математика задачи с решением

Возьмем за базовую дату 01.04.01 и составим уравнение эквивалентности, учитывая два условия:

1) все платежи приведены к базовой дате;

2) старые долги равны новым долгам.

Т.к. базовая дата самая поздняя из всех, то платежи Финансовая математика задачи с решением, и Финансовая математика задачи с решением наращиваются.

Финансовая математика задачи с решением

Рентные платежи

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д.

Такие последовательности называются потоком платежей, а отдельный элемент последовательности — членом потока.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой или аннуитетом.

Характеристики ренты

Рента характеризуется следующими параметрами:

  • член ренты R — размер отдельного годового платежа;
  • период ренты — временной интервал между двумя последовательными платежами;
  • срок ренты n — время от начала первого периода ренты до конца последнего периода;
  • процентная ставка i;
  • число p платежей в году;
  • частота m начисления процентов.

Классификация рент

  1. ренты немедленные (начало срока ренты и начало действия контракта совпадают) и ренты отсроченные;
  2. ренты с ежегодным начислением процентов (m=1), начислением процентов m раз в году и непрерывным начислением процентов;
  3. ренты с постоянными и переменными членами;
  4. ренты конечные и бесконечные. Если срок ренты более 50 лет, рента считается вечной.
  5. рента обычная или постнумерандо, если платежи производятся в конце периода; рента пренумерандо, если платежи производятся в начале периода.

Пример 4-х летней ренты постнумерандо:

Финансовая математика задачи с решением

пример 4-х летней ренты пренумерандо:

Финансовая математика задачи с решением

4 расчет или наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма Sренты

Наращенная сумма — сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

1. Годовая рента постнумерандо

Ее характеристики: член ренты R, срок ренты и, ставка i, число выплат в году р=1, число начислений процентов в году Финансовая математика задачи с решением.

Положим Финансовая математика задачи с решением года и выведем формулу наращенной суммы ренты.

Построим схему наращения членов ренты на временной оси. Т.к. срок ренты больше одного года, естественно использовать сложные проценты.

Например, на член ренты R, внесенный в конце первого года, будут начисляться проценты 3 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять Финансовая математика задачи с решением.

Подобным образом, на член ренты R, внесенный в конце второго года, будут начисляться проценты 2 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять Финансовая математика задачи с решением. И т. д.

Финансовая математика задачи с решением

По определению наращенной суммы ренты

Финансовая математика задачи с решением

Замечание:

Воспользовались формулой возрастающей геометрической прогрессии:

Финансовая математика задачи с решением, первый член прогрессии Финансовая математика задачи с решением, знаменатель прогрессии Финансовая математика задачи с решением, n-й член прогрессии Финансовая математика задачи с решением.

Тогда общая формула наращенной суммы ренты будет иметь вид:

Финансовая математика задачи с решением

Финансовая математика задачи с решением коэффициент наращения ренты, будем находить его, пользуясь математическим калькулятором.

Задача №29

Создается фонд. Средства в фонд поступают в виде годовой постоянной ренты в течении 6 лет в конце года. Размер разового годового платежа 20 тыс. руб. На поступившие взносы начисляются 25% годовых. Найти величину фонда к концу срока.

Решение:

Рассматривается годовая рента постнумерандо, член ренты R=20 тыс. руб., срок ренты n=6 лет, ставка i=25%.

Величина фонда к концу срока

Финансовая математика задачи с решением

2. Годовая рента, постнумерандо, начисление процентов m раз в году, выплаты р один раз в году (Характеристики ренты Финансовая математика задачи с решением)

Наращенная сумма ренты Финансовая математика задачи с решением.

Задача №30

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если проценты начисляются ежеквартально, т.е. m=4.

Решение:

Финансовая математика задачи с решением.

Внимание! Наращенная стоимость возросла. Следовательно, чем чаще начисляются проценты, тем больше S.

3. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются один раз в году, выплаты р раз в году (Характеристики ренты Финансовая математика задачи с решением)

Наращенная сумма ренты Финансовая математика задачи с решением

Задача №31

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты делаются ежеквартально, т.е. р=4.

Решение:

Финансовая математика задачи с решением

4. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, число выплат в году р равно числу начислений процентов m (Характеристики ренты Финансовая математика задачи с решением)

Наращенная сумма ренты Финансовая математика задачи с решением.

Задача №32

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если проценты начисляются ежеквартально, т.е. m=4, число выплат в году также равно р=4.

Решение:

Финансовая математика задачи с решением.

5. Рента р — срочная, проценты начисляются m раз в году, выплаты р не совпадают с начислением процентов (Характеристики ренты Финансовая математика задачи с решением, Финансовая математика задачи с решением)

Наращенная сумма ренты Финансовая математика задачи с решением.

Задача №33

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты делаются ежемесячно, т.е. m=12, число выплат в году равно p=4.

Решение:

Финансовая математика задачи с решением.

6. Рента годовая постнумерандо, проценты начисляются непрерывно (Характеристики ренты Финансовая математика задачи с решением).

Наращенная сумма ренты Финансовая математика задачи с решением.

Задача №34

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если непрерывная ставка Финансовая математика задачи с решением = 25%.

Решение:

Финансовая математика задачи с решением.

7. Годовая рента пренумерандо, проценты начисляются один раз в году

(Характеристики ренты Финансовая математика задачи с решением)

Финансовая математика задачи с решением

Положим, что n =4 года и выведем формулу наращены ренты. Снова применим сумму геометрической прогрессии (см. выше ренту постнумерандо)

Финансовая математика задачи с решением

Наращенная сумма ренты Финансовая математика задачи с решением.

Наращенная сумма ренты пренумерандо больше наращенной суммы постнумерандо с такими же параметрами в (1+i) раз!

Задача №35

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты делаются ежегодно в начале года.

Решение:

рента годовая пренумерандо.

Финансовая математика задачи с решением

Современная стоимость ренты

Под современной стоимостью А потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты.

  1. Годовая рента постнумерандо (Характеристики ренты Финансовая математика задачи с решением, Финансовая математика задачи с решением).

Схема дисконтирования:

Пусть п=4 года. Найдем современную стоимость ренты.

Финансовая математика задачи с решением

Замечание: Воспользовались формулой суммы убывающей геометрической прогрессии

Финансовая математика задачи с решением, первый член прогрессии Финансовая математика задачи с решением, знаменатель прогрессии Финансовая математика задачи с решением, n — й член прогрессии Финансовая математика задачи с решением

Современная стоимость ренты сроком n лет

Финансовая математика задачи с решением

Финансовая математика задачи с решением — коэффициент приведения ренты.

Задача №36

Рента постнумерандо характеризуется следующими параметрами:

Член ренты R=4 млн. руб., срок ренты п=5 лет, годовая ставка i = 18,5%. Найти сегодняшнюю стоимость ренты.

Финансовая математика задачи с решением

Полученная сумма означает, что если сегодня положить 12,368 млн. руб. под годовую ставку 18,5%, то в течении 5 лет в конце каждого года можно получать по 4 млн. руб.

2. Годовая рента постнумерандо, начисление процентов m раз в году (Характеристики ренты Финансовая математика задачи с решением)

Современная стоимость Финансовая математика задачи с решением;

3. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются 1 раз в году (Характеристики ренты Финансовая математика задачи с решением)

Современная стоимость Финансовая математика задачи с решением;

4. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, число выплат р совпадает с числом начисления процентов m (Характеристики ренты Финансовая математика задачи с решением)

Современная стоимость Финансовая математика задачи с решением;

5. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, периоды выплат р не совпадают с периодами начислений процентов (Характеристики ренты Финансовая математика задачи с решением)

Современная стоимость Финансовая математика задачи с решением.

6. Вечная рента постнумерандо

В последней формуле современной стоимости ренты увеличим срок ренты n до бесконечности Финансовая математика задачи с решением. Коэффициент приведения ренты стремится к величине Финансовая математика задачи с решением? поэтому современная величина такой ренты, называемой вечной, имеет вид Финансовая математика задачи с решением:

7. Годовая рента пренумерандо (Характеристики ренты Финансовая математика задачи с решением, Финансовая математика задачи с решением)

Финансовая математика задачи с решением

Современная стоимость ренты Финансовая математика задачи с решением.

Оценка инвестиционных проектов

Основными показателями инвестиций являются: чистый приведенный эффект (доход), индекс рентабельности, внутренняя норма доходности, срок окупаемости инвестиций.

Чистый приведенный доход NPV (net present value)

Метод расчета чистого приведенного дохода основан на сопоставлении величины исходной инвестиции IC с общей суммой дисконтированных чистых денежных поступлений PV, генерируемых ею в течение прогнозируемого срока n. Т.к. приток денежных средств распределен во времени, он дисконтируется по ставке г, установленной инвестором.

Пусть делается прогноз, что инвестиция IC будет генерировать в течение n лет годовые доходы Финансовая математика задачи с решением.

Финансовая математика задачи с решением

Тогда сумма дисконтированных доходов Финансовая математика задачи с решением

Чистый приведенный доход Финансовая математика задачи с решением

Общее правило: Если NPV > 0, то проект следует принять, иначе его следует отклонить.

Основное достоинство этого метода: показатели NPV различиых проектов можно суммировать

Типовые примеры на расчет показателя чистого приведенного дохода

Задача №37

Фирма собирается вложить средства в приобретение нового оборудования, стоимость которого вместе с доставкой и установкой составит 100 000 ден. ед. Ожидается, что внедрение оборудования обеспечит получение на протяжении 6 лет чистых доходов в 25 000, 30 000, 35 000, 40 ООО, 45 000, и 50 000 ден. ед. соответственно. Принятая норма дисконта равна 10%. Определить экономическую эффективность проекта.

Решение:

Изобразим ежегодные поступления от инвестиций на временной оси.

Финансовая математика задачи с решением
Финансовая математика задачи с решением

проект следует принять.

Как видим, при условии правильной оценки денежного потока проект обеспечивает возмещение произведенных затрат (примерно к концу четвертого года) и получение 10% чистой прибыли, а также дополнительной (сверх установленной нормы) прибыли, равной величине NPV=57 302,37.

Другое объяснение полученного показателя NPV могло бы состоять в следующем: если проект финансировался за счет долгосрочной ссуды из 100 000 ден. ед., взятой на 6 лет под 10% годовых, ее величина и проценты могли бы быть полностью выплачены из поступлений наличности проекта. Кроме того, после расчетов с кредиторами остаток полученной от проекта наличности составил бы сумму в 57 302,37 ден. ед.

Задача №38

Проект, требующий инвестиций в размере IС=160 000 $, предполагает получение годового дохода в размере Финансовая математика задачи с решением на промежуток n = 15 лет. Оценить целесообразность такой инвестиции, если коэффициент дисконтирования r =15%.

Решение:

Обратите внимание на тот факт, что все ежегодные поступления одинаковы, поэтому можно принять при расчете формулу современной стоимости ренты.

Рассчитаем чистый приведенный доход проекта:

Финансовая математика задачи с решением

проект следует принять.

Индекс рентабельности инвестиций PI (profitability index)

Индекс рентабельности PI рассчитывается по формуле: PI = Финансовая математика задачи с решением

Общее правило: Если PI > 1, то проект следует принять, иначе его следует отклонить.

Этот относительный показатель, удобен при выборе одного проекта из ряда альтернативных, имеющих одинаковый NPV, либо при комплектовании портфеля инвестиций с максимальным суммарным NPV.

Норма рентабельности инвестиции IRR (Internal rate of return)

Под нормой рентабельности (внутренней нормой доходности) IRR. инвестиции понимают значение коэффициента дисконтирования, при котором чистый приведенный эффект проекта равен нулю, т.е. Финансовая математика задачи с решением, при котором Финансовая математика задачи с решением.

IRR показывает максимально допустимый относительный уровень доходов, которые могут быть ассоциированы с данным проектом.

Например, если проект полностью финансируется за счет ссуды коммерческого банка, то IRR показывает верхнюю границу допустимого уровня банковской процентной ставки, превышение которой делает проект убыточным.

На практике IRR сравнивается с r — заданной нормой дисконта, которая отражает минимум возврата на вложенный в его деятельность капитал.

Общее правило: Если IRR > r, то проект следует принять, иначе его следует отклонить.

Задача №39

Найдите IRR денежного потока: -100, +230, -132.

Решение:

Схему вложения денег изобразим на временной оси.

Финансовая математика задачи с решением

Воспользовавшись определением IRR: NPV (IRR) = NPV(r)=0, составим уравнение для нахождения этого показателя.

Финансовая математика задачи с решением
Финансовая математика задачи с решением

Для данного проекта существуют две ставки внутренней доходности.

Эти ставки показывают, что все финансовые операции по ставке выше IRR = 20% и по ставке ниже IRR = 10% убыточны для рассматриваемого проекта.

Срок окупаемости инвестиций РР

Если доход распределен по годам равномерно, то срок окупаемости РР рассчитывается делением единовременных затрат на величину годового дохода, обусловленного ими. При получении дробного числа оно округляется в сторону увеличения до ближайшего целого. Если прибыль распределена неравномерно, то срок окупаемости рассчитывается прямым подсчетом числа лет, в течение которых инвестиция требует погашения кумулятивным (суммарным) доходом Финансовая математика задачи с решением, т.е.:

PP = n, при котором Финансовая математика задачи с решением.

Задача №40

Задана динамика денежных потоков по годам для проектов А, Б, В и их комбинации:

Финансовая математика задачи с решением

Решение:

Основными недостатками срока окупаемости являются:

1. Метод не учитывает влияние доходов последних периодов.

Например, проекты А и В имеют одинаковые затраты — 10 млн. руб.; годовые доходы: по проекту А по 4,2 млн. руб. в течение трех лет; по проекту В по 3,8 млн. руб. в течение десяти лет.

Оба проекта в течение трех лет окупают вложения, но проект В более выгоден.

2. Метод основан на недисконтированных потоках, если потоки дисконтировать, срок окупаемости проектов увеличивается.

3. Показатель не обладает свойством аддитивности, т.е. сроки по разным проектам нельзя суммировать.

Кредиты: решение задач

Планирование погашения долгосрочной задолженности и

В это теме речь пойдет о разработке плана погашения займа, который состоит в составлении графика периодических платежей должника.

Расходы должника обычно называются срочными уплатами или расходами по займу.

Методы определения размера срочных уплат зависят от условий погашения долга, которые предусматривают:

  1. срок займа n;
  2. уровень и вид процентной ставки g (простая; сложная, проценты выплачиваются 1 раз в году, m раз в году);
  3. методы уплаты процентов (сразу на всю сумму, и дальнейшее распределение одинаковыми суммами по периодам или проценты начисляются на непогашенный остаток долга);
  4. способы погашения основной суммы долга (погашение основного долга равными суммами или погашение всей задолженности срочными уплатами).

Введем обозначения:

D — сумма задолжника (основная сумма без процентов);

Y — срочная уплата;

I — проценты по займу;

R — расходы по погашению основного долга;

g — ставка процентов по займу;

n — общий срок займа;

i — проценты по депозиту.

Планирование погасительного фонда

Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то для накопления таковой суммы обычно создается погасительный фонд.

Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника, на которые начисляются проценты. Очевидно, что сумма взносов в фонд вместе с начисленными процентами, накопленная к концу срока долга, должна быть равна его сумме.

Рассмотрим случай формирования фонда, когда взносы регулярны и одинаковы по величине и вносятся в конце года, т.е. речь идет о годовой ренте постнумерандо.

Накопленная к концу срока фонда сумма долга D с процентами есть наращенная сумма ренты S, равная Финансовая математика задачи с решением

Обозначим множитель наращения ренты через Финансовая математика задачи с решением, тогда член ренты Финансовая математика задачи с решением и в фонд систематически вносится сумма Финансовая математика задачи с решением.

Величина процентного платежа Финансовая математика задачи с решением, исчисленного по сложным процентам, вычисляют по формуле:

Финансовая математика задачи с решением

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга по ставке g, то срочная уплата Финансовая математика задачи с решением.

Для расчета накопленных за t лет сумм погасительного фонда используется формула наращенных сумм постоянных рент: Финансовая математика задачи с решением.

Задача №41

Долг суммой 100 тыс. руб. выдан на 5 лет под ставку g= 20%. Для его погашения создается фонд. На инвестируемые средства начисляются проценты по ставке i = 22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Взносы производятся в конце каждого года равными суммами.

Решение:

Множитель наращения Финансовая математика задачи с решением,

Если проценты присоединяются к сумме долга, то срочная уплата Финансовая математика задачи с решением тыс. руб.

Если проценты не присоединяются к сумме долга, то ежегодные взносы в банк Финансовая математика задачи с решением тыс.руб.

Погашение долга в рассрочку

Метод погашения долга в рассрочку частями называется амортизацией долга. Рассмотрим 2 способа погашения долга в рассрочку.

Первый способ: Погашение основного долга равными суммами

Пусть долг D погашается в течение n лет,

Финансовая математика задачи с решением — сумма , ежегодно идущая на погашение долга.

Размер долга уменьшается, и остатки долга соответственно равны:

Финансовая математика задачи с решением

Т.к. проценты начисляются на непогашенный остаток долга, то они также уменьшаются.

Пусть проценты выплачиваются один раз в году по ставке g.

Процентные платежи по годам соответственно равны:

Финансовая математика задачи с решением

Сумма выплаченных процентов:

Финансовая математика задачи с решением

Общая сумма погашения кредита:

Финансовая математика задачи с решением

Если взносы в погашение кредита будут осуществляться р раз в году, то общая сумма выплаченных процентов

Финансовая математика задачи с решением

Задача №42

Долг 1000 тыс. руб. необходимо погасить последовательными равными суммами за 5 лет платежами постнумерандо. За заем выплачиваются проценты по годовой ставке 10%. Составить план погашения кредита.

Решение:

Итак, долг D = 1 000 тыс. руб., ежегодная выплата долга Финансовая математика задачи с решением = 200 тыс. руб.

Выплаченные проценты за 1-й год Финансовая математика задачи с решением тыс. руб.;

Выплаченные проценты за 2-й год Финансовая математика задачи с решением тыс. руб. и т.д.

Расчеты по погашению долга приведены в таблице 1.

Таблица 1

Финансовая математика задачи с решением

Расход по займу равен сумме расходов по погашению основного долга и расходов по выплаченным процентам, т.е. Финансовая математика задачи с решением.

Основной недостаток такого расчета погашения долга — большие платежи в начале выплат.

Второй способ: погашение долга равными срочными выплатами

По этому способу расходы должника по обслуживанию долга постоянны на протяжение всего срока его погашения.

Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процентов, остаток идет на погашение основного долга. Периодическая выплата постоянной суммы Y = R равнозначна ренте с заданными параметрами. Ее современная стоимость А = сумме долга D, т.е. Финансовая математика задачи с решением

Обозначим через Финансовая математика задачи с решением — коэффициент приведения годовой ренты со ставкой процентов g и сроком n.

Тогда расход по займу Финансовая математика задачи с решением, а сумма первого взноса по погашению основного долга Финансовая математика задачи с решением.

Задача №43

Долг 1 000 тыс. руб. погашается в течение 5 лет платежами постнумерандо по ставке g = 10%. Составить план погашения кредита равными срочными выплатами с начислением процентов на непогашенный остаток.

Решение:

Рассчитаем расход по займу R = Y.

Финансовая математика задачи с решением

Первая выплата основного долга Финансовая математика задачи с решением тыс. руб.;

остаток долга Финансовая математика задачи с решением тыс. руб.;

Вторая выплата основного долга Финансовая математика задачи с решением тыс. руб. и т. д.

Расчеты по погашению долга приведены в таблице 2.

Таблица 2

Финансовая математика задачи с решением

При таком погашении долга процентные платежи уменьшаются во времени, а сумма погашения основного долга увеличивается, расходы по займу остаются постоянными на весь срок, однако в этом случае должник немного переплачивает.

Погашение потребительского кредита

В потребительском кредите проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу уже в момент открытия кредита, т.е. разовым начислением процентов.

Величина разового погасительного платежа

Финансовая математика задачи с решением, где n — срок кредита в годах, р — число платежей в году.

Для решения проблемы определения остатка задолженности на любой момент времени следует разбить величину Y на проценты и сумму, идущую на погашение основного долга.

Рассмотрим возможность такового разбиения двумя способами

Первый способ: равномерное распределение выплаты процентов Величину разового платежа Y представим в виде суммы

Финансовая математика задачи с решением

где

D — цена товара (сумма основного долга без процентов);

R — размер погашения основного долга;

I — процентный платеж.

Замечание:

В случае срока кредита больше года применяются сложные проценты. Тогда процентный платеж Финансовая математика задачи с решением.

Второй способ: правило 78

Сумма порядковых номеров месяцев в году равна 78, отсюда и название правила.

Допустим, что срок кредита равен 1 год. Тогда согласно правилу 78 доля процентов в сумме расходов в первом месяце равна 12/78, во втором она составит 11/78 и т.д. Последняя уплата процентов равна 1/78.

Таким образом, доля процентов убывает, сумма погашения основного долга увеличивается.

Для годового срока: Финансовая математика задачи с решением

Задача №44

Потребительский кредит размером 240 тыс. руб., предоставленный на 1 год по ставке 20% годовых погасить по правилу 78.

Решение:

Общая сумма задолженности S = 240(1+0.2) = 288 тыс. руб.

Общая сумма выплаченных процентов I = 48 тыс. руб.

Сумма расходов по обслуживанию долга (ежемесячная выплата) Финансовая математика задачи с решением тыс. руб.

Находим процентные платежи по месяцам.

Для первого месяца:

Финансовая математика задачи с решением

Для второго месяца:

Финансовая математика задачи с решением

Для двенадцатого месяца:

Финансовая математика задачи с решением

Обобщим правило 78 для кредита со сроком N месяцев.

Последовательные номера месяцев в обратном порядке представляют собой числа:

Финансовая математика задачи с решением

Сумма этих чисел находится по формуле суммы арифметической прогрессии

Ежемесячные выплаты процентов

Финансовая математика задачи с решением

Сумма списания основного долга

Финансовая математика задачи с решением

В каждом месяце выплаты процентов сокращаются на величину

Финансовая математика задачи с решением, на такую же величину увеличивается сумма списания основного долга.

Важно отметить, что в потребительском кредите при разовом начислении процентов должник фактически выплачивает проценты и за описанные суммы долга, т.е. кредит обошелся бы дешевле, если бы проценты начислялись на остатки долга.

Потребительский кредит в сумме 10 млн. руб. выдан на три года при разовом начислении процентов по ставке 10% годовых. Погашение задолженности помесячное.

Составить амортизационные планы погашения кредита

а) по правилу 78;

б) по методу равномерного распределения выплат процентов.

Решение:

А) по правилу 78:

Общая сумма долга

Финансовая математика задачи с решением

Сумма расходов по обслуживанию долга

Финансовая математика задачи с решением

Сумма последовательных номеров месяцев

Финансовая математика задачи с решением

Рассчитаем процентные платежи I и суммы погашения основного долга R:

Для 1-го месяца

Финансовая математика задачи с решением

Для 2-го месяца

Финансовая математика задачи с решением

Для 30-го месяца

Финансовая математика задачи с решением

Для 36-го месяца

Финансовая математика задачи с решением

Общая сумма процентных платежей

Финансовая математика задачи с решением

Общая сумма выплат основного долга

Финансовая математика задачи с решением

б) по методу равномерного распределения выплат процентов:

Величину разового платежа Y представим в виде суммы

Финансовая математика задачи с решением, где

Ежемесячная выплата основного долга

Финансовая математика задачи с решением

Ежемесячная выплата процентного платежа

Финансовая математика задачи с решением

Ценные бумаги. Облигации: решение задач

Облигации — ценные бумаги с фиксированным доходом. Они могут выпускаться в обращение государством, региональными властями, финансовыми институтами, а также различными корпорациями.

Облигация — ценная бумага, подтверждающая обязательство эмитента возместить владельцу её номинальную стоимость в оговоренный срок и выплатить причитающийся доход.

По способам выплат дохода — различают облигации: — с фиксированной купонной ставкой; — с плавающей купонной ставкой; — с равномерно возрастающей купонной ставкой; — с нулевым купоном (эмиссионный курс облигации ниже номинального, разница выплачивается в момент погашения облигаций, процент не выплачивается); = смешанного типа.

По способам обеспечениям — с имущественным залогом; — с залогом в форме будущих залоговых поступлений; — с определенными гарантийными обязательствами; — необеспеченные (беззакладные).

По характеру обращения: — конвертируемые; — обычные.

По сроку действиям: — краткосрочные (1-3 года); — среднесрочные (3-7 лет); долгосрочные (7-30 лет); -бессрочные.

К основным параметрам облигаций относятся: номинальная цена; выкупная цена в случае, если она отличается от номинальной; норма доходности и сроки выплаты процентов. Периодическая выплата процентов по облигациям осуществляется по купонам 1 раз в год, 1 раз в полугодие, 1 раз в квартал, в неопределенное заранее время.

Виды цен облигаций

1) Нарицательная или номинальная цена N:

Финансовая математика задачи с решением

2) Эмиссионная цена Р или цена первичного размещения долговых обязательств.

Если Р < N, цена называется дисконтной или со скидкой.

Если Р > N, цена называется с премией (ажио).

3) Рыночная или курсовая цена Финансовая математика задачи с решением.

Рыночные цены существенно различаются между собой, поэтому для достижения их сопоставимости рассчитывается курс облигации.

Под курсом облигации понимают покупную цену одной облигации в расчете на 100 денежных единиц номинала, т.е. Финансовая математика задачи с решением

4) Выкупная цена или цена по истечению срока займа S.

Задача №45

Определить курс облигации номиналом N=1000 руб., если она реализована на рынке по цене: а) 920,30 руб.; б) 1125,0 руб.

Решение:

а) Курс облигации Финансовая математика задачи с решением. б) Курс облигации Финансовая математика задачи с решением

В случае а) облигация приобретена с дисконтом 1000 — 920,30 = 79,70 руб.;

в случае б) — с премией 1000 — 1125 = -125 руб., означающей снижение общей доходности операций для инвестора.

Задача №46

Облигации номиналом N=25 тыс. руб. продаются по цене 24,5 тыс. руб. Найти курс облигаций.

Решение:

Курс облигации Финансовая математика задачи с решением. Облигация куплена с дисконтом.

Задача №46.2

Курс ГКО (государственные краткосрочные облигации) номиналом N=100 тыс. руб. равен 77,5. Найти текущую цену облигации.

Решение:

Текущая цена облигации равна Финансовая математика задачи с решением

Два источника дохода от облигаций

  1. Купонный доход Финансовая математика задачи с решением где Финансовая математика задачи с решением купонная норма доходности, т.е. процентная ставка, по которой владельцу облигации выплачивается периодический доход.
  2. Разность между ценой погашения (выкупа) Р и ценой приобретения Финансовая математика задачи с решением:

Задача №47

Определить величину ежегодного дохода по облигации номиналом 1000 руб. при купонной ставке 8,2%.

Решение:

Купонный доход Финансовая математика задачи с решением руб

Если облигация продана в течении финансового года, то купонный доход делится между прежним (1) и новым (2) владельцами так:

Финансовая математика задачи с решением — длительность в днях владения ценной бумагой новым владельцем.

Задача №48

Облигация Государственного Сберегательного Займа (ОГСЗ) пятой серии номиналом 100 тыс. руб., выпущенная 18.04.96 года, была продана 18.03.97. Дата предыдущей выплаты купона 10.01.97, дата ближайшей выплаты 10.04.97. Текущая купонная ставка установлена в размере 33,33% годовых. Число выплат по купонам составляет 4 раза в год.

Определить: 1. Величину купонного дохода; 2. Распределение купонного дохода между старым и новым владельцами.

Решение:

1. Величина купонного дохода Финансовая математика задачи с решением

2. Для расчета купонного дохода между старым и новым владельцами изобразим операции с облигацией на временной оси.

Финансовая математика задачи с решением

Время между датами первой купонной выплаты и продажи облигации составляет 67 дней, время между датами второй купонной выплаты и продажи облигации составляет 23 дня.

Величина купонного дохода старого владельца:

Финансовая математика задачи с решением

Величина купонного дохода нового владельца:

Финансовая математика задачи с решением

Доходность облигаций

Доходность облигации характеризуется рядом параметров, которые зависят от условий, предложенных эмитентом. Для облигаций, погашаемых в конце срока, на который они выпущены, доходность измеряется купонной доходностью, текущей доходностью и полной доходностью.

1. Купонная доходность Финансовая математика задачи с решением — норма процента, которая указана на ценной бумаге и которую эмитент обязуется уплатить по каждому купону.

2. Текущая доходность Финансовая математика задачи с решением-номинал облигации, Финансовая математика задачи с решением — цена покупки или рыночная цена; Финансовая математика задачи с решением годовая ставка купона.

3. Полная доходность учитывает все источники дохода. Иногда полную доходность называют ставкой помещения. Ставка помещения является расчетной величиной и в явном виде на рынке ценных бумаг не выступает.

Задача №49

На облигации указана купонная доходность 11,75% годовых. Номинал облигации 1000 руб. На каждый год имеются 2 купона. Найти доход от облигации за полгода и за год.

Решение:

Доход от облигации за полгода равен Финансовая математика задачи с решением

Доход от облигации за год Финансовая математика задачи с решением.

Задача №50

Найти текущую доходность облигации, если купонная доходность Финансовая математика задачи с решением курс облигации К= 95,0.

Решение:

Текущая доходность облигации Финансовая математика задачи с решением

Облигации с нулевым купоном

Текущая стоимость облигации с нулевым купоном рассчитывается по формуле дисконтирования сложных процентов: Финансовая математика задачи с решением, где r — рыночная норма доходности облигации; и — срок погашения облигации; S — сумма, выплачиваемая при погашении облигации.

Задача №51

Облигации с нулевым купоном нарицательной стоимости 100 000 рублей и сроком погашения через 5 лет продаются за 63012 руб. Проанализировать целесообразность приобретения этих облигаций, если есть возможность альтернативного инвестирования с нормой доходности 12 %.

Решение:

Финансовая математика задачи с решением

Приобретение облигаций нецелесообразно, т.к. альтернативное инвестирование имеет большую норму доходности. Иначе, 9,7% < 12%.

Облигации с постоянным доходом

Текущая стоимость А такой облигации складывается из одинаковых по годам поступлений R. и нарицательной стоимости облигации S, выплачиваемой в момент погашения облигации.

Финансовая математика задачи с решением

Иначе, облигацию с постоянным доходом можно считать рентой и применять к ней все формулы для расчета рент.

Задача №52

Оценить текущую стоимость облигации нарицательной стоимостью 100 тыс. рублей, купонной ставкой 15% годовых и сроком погашения через 4 года, если рыночная норма дохода равна 1) 10 % и 2) 18 %. Купоны по облигации выплачиваются дважды в год.

Денежные поступления по облигации изобразим на временной оси:

Финансовая математика задачи с решением

Если годовая купонная ставка 15%, то полугодовая ставка, естественно, равна 7,5%. Тогда разовая полугодовая выплата равна

Финансовая математика задачи с решением

1. Текущая стоимость облигации при рыночной норме доходности 10% равна .Финансовая математика задачи с решением

2. Текущая стоимость облигации при рыночной норме доходности 18% равна Финансовая математика задачи с решением

Выводы:

1) если рыночная норма дохода больше купонной ставки (18% >15%), то облигация продается со скидкой (дисконтом) по цене меньше номинала;

2) если рыночная норма дохода меньше купонной ставке (10% <15%), облигация продается с премией (ажио);

3) если рыночная норма дохода = купонной ставке, облигация продается по нарицательной стоимости.

Несмотря на привлекательность получения гарантированного дохода по облигациям, значительную часть рынка ценных бумаг составляют акции.

Акции, за исключением привилегированных акций, не относятся к ценным бумагам с фиксированным доходом. Поэтому эффективность операций с акциями может быть прогнозируема лишь условно.

Инвестор, вложивший свои средства в акции, подвергается воздействию большего финансового риска, чем владелец облигации.

При этом под риском будем понимать неопределенность в получении будущих доходов, т.е. возможность возникновения убытков или получения доходов, размеры которых меньше прогнозируемых.

Доход по акциям определяется двумя элементами.

  1. доходом от выплачиваемых дивидендов;
  2. разницей в цене покупки и продажи.

Если эффективность инвестиций в акцию выразить относительной величиной, то она может быть записана в следующем виде:

Финансовая математика задачи с решением, где

Финансовая математика задачи с решением — цена покупки;

Финансовая математика задачи с решением — цена продажи;

d — дивиденды, полученные за время владения акцией.

Акции различают простые и привилегированные.

Привилегированные акции является формой облигаций. Владелец имеет право получать фиксированную сумму каждый год, например, 9 % от номинала.

Привилегирование состоит в том, что выплата дивидендов по этим акциям должна осуществляться до распределения дивидендов по остальным акциям. Владение этими акциями не дает прав по управлению корпорациями.

Привилегированные акции, как и бессрочные облигации, генерируют доход неопределенно долго, поэтому их текущая стоимость определяется по формуле:

Финансовая математика задачи с решением, где D — годовой дивидендным доход, r — рыночная норма прибыли.

Задача №53

Чистая прибыль АОЗТ за год составила 48 млн. руб. Количество привилегированных акций составляет 10.000 акций. Средняя ставка ЦБРФ по централизованным кредитам — 90% годовых. Рассчитать курсовую стоимость привилегированной акции.

Решение:

Цена одной акции Финансовая математика задачи с решением

Курсовая (текущая) стоимость акции Финансовая математика задачи с решением

Различают несколько видов цены акции:

1) Номинальная — цена, указывается на бланке акции;

2) Эмиссионная — цена, по которой акция продается на первичном рынке;

3) Ликвидационная цена определяется в момент ликвидации общества.

Она показывает, какая часть стоимости активов по ценам, возможной реализации, оставшаяся после расчетов с кредиторами, приходится на одну акцию.

Особенность простых акций: они предоставляют право на часть собственности, а доход от вклада капитала в акции (дивиденд) является долей дохода корпорации, выпустившей акции.

Обычные акционеры являются юридическими совладельцами доли корпорации.

Задача №54

Прибыль АОЗТ для выплаты дивидендов равна 1.200.00 руб. Общая сумма акций 5.000.000.

В том числе:

Привилегированных акций с фиксированным процентом, равным 30% -500.000 акций; обыкновенных акций — 4.500.000.

Определить величину дивидендов по обыкновенным акциям.

Решение:

Рассчитаем сумму, приходящуюся на все привилегированные акции:

Финансовая математика задачи с решением

На одну привилегированную акцию приходится

Финансовая математика задачи с решением

На одну обыкновенную акцию приходится

Финансовая математика задачи с решением

Задача №55

Имеется АО с величиной акционерного капитала 30 млн. руб., разбитого на 3000 акций по 10000 руб. каждая. По окончании года работы АО получило прибыль 9 млн. руб., 1/3 которой, т.е. 3 млн. руб., была выплачена акционерам в виде дивидендов, а 2/3 нераспределенной прибыли было реинвестировано на расширение производства.

1) Определить величину дивиденда D.

2) Величину дивиденда в будущем году, если все условия останутся неизменными.

Решение:

1) Дивиденд

Финансовая математика задачи с решением

2) Величина собственного капитала = 30 млн. руб.+6 млн. руб.=36 млн. руб.

Стоимость акции Финансовая математика задачи с решением

Дивиденд Финансовая математика задачи с решением

Текущая стоимость обыкновенных акций

Текущая стоимость обычных акций рассчитывается по методу, основанному на оценке их будущих поступлений, т.е. Финансовая математика задачи с решением.

По этой формуле рассчитывается текущая стоимость акции, когда инвестор собирается купить акции некоторой компании и владеть ими вечно.

Однако, более типичной является ситуация, когда инвестор покупает акции с намерением продать их при повышении цены. При таком подходе ожидаемая цена акции складывается из текущей стоимости тех дивидендов, которые акционер собирается получить, и текущей стоимости суммы, вырученной от продажи акции. Существует тесная связь между динамикой дивидендов и ценой акции.

Расчет дивидендов

Существует 3 варианта динамики прогнозных значений дивидендов, согласно которым рассчитываются допустимые с позиции инвестора вложения в ценные бумаги:

1 вариант, дивиденды во времени не меняются, расчет дохода по акциям соответствует рыночной цене акций.

Текущая цена акции Финансовая математика задачи с решением, Финансовая математика задачи с решением — приемлемая рыночная норма доходности инвестиций на момент приобретения.

По этой формуле можно рассчитывать также текущая стоимость привилегированной акции.

Задача №56

Величина выплаченного дивиденда составила 2.000 руб. Банки по вкладам выплачивают 10% годовых. Найти текущую цену акции.

Решение:

Финансовая математика задачи с решением

2 вариант: дивиденды возрастают с постоянным темпом прироста g:

Если D — базовая величина дивидендов, g — ежегодный темп прироста дивиденда, то текущую стоимость акции можно рассчитать по формуле:

Финансовая математика задачи с решением

(Применяется формула бесконечно убывающей геометрической прогрессии)

Эта формула называется моделью Гордона.

Задача №57

Дивиденд за прошлый год составил 500 руб. Ожидается прирост дивиденда g =10% в год. Найти дивиденд за текущий год и за следующий год.

Решение:

Дивиденд за текущий год Финансовая математика задачи с решением.

Дивиденд за следующий год Финансовая математика задачи с решением.

Задача №58

Дивиденд за прошлый год составил 500 руб. Ожидаемый ежегодный темп прироста дивиденда g =10% в год, требуемый уровень доходности r = 13%. Найти рыночную цену акции.

Решение:

Рыночная цена акции равна Финансовая математика задачи с решением

3 вариант: дивиденды возрастают с изменяющимся темпом прироста дивидендов.

Финансовая математика задачи с решением где

Финансовая математика задачи с решением — дивиденд, выплачиваемый в базисный период;

Финансовая математика задачи с решением — прогноз дивиденда в к-том периоде;

g — прогноз темпа прироста дивиденда в первые к периодов;

р — прогноз темпа прироста дивиденда в последние периоды.

Задача №59

Последний выплаченный дивиденд по акции равен 1$. Ожидается, что он будет возрастать в течение следующих трех лет с темпом 14%; затем темп прироста стабилизируется на величине 5%. Какова цена акции, если рыночная норма прибыли 15%.

Решение:

Применим формулу текущей стоимости акций с изменяющимся темпом прироста дивидендов:

Финансовая математика задачи с решением

Готовые задачи по финансовой математики

Цель финансовой математики – научить студентов использовать математический аппарат для планирования и расчетов реальных и ожидаемых результатов финансовых операций. Для осуществления этой цели в рамках дисциплины решаются следующие задачи: понимание временной зависимости стоимости капитала, проявляющейся во всех математических моделях финансовых операций; освоение математических формул и методов расчета финансовых операций в пределах базовых дисциплин математики; умение применять математический аппарат к реальным финансовым операциям; умение использовать для расчетов вычислительную технику.

Финансовая математика – это наука, изучающая методы и методики определения стоимостных и временных параметров финансовых и инвестиционных операций, процессов и сделок, а также модели управления инвестициями, капиталом и его составляющими.

Простые проценты

Рассмотрим простейшую кредитную операцию — выдачу займа. Эта операция характеризуется следующими параметрами:

Задачи по финансовой математики — сумма предоставляемых денежных средств,

Задачи по финансовой математики — срок, на который предоставляется сумма Задачи по финансовой математики, (он измеряется в заранее заданных единицах времени),

Задачи по финансовой математики — процент — сумма платы за кредит,

Задачи по финансовой математики — полная стоимость кредита.

Параметры Задачи по финансовой математики измеряются в денежных единицах (доллар, рубль, марка, тысяча рублей и т.д.) и связаны следующим соотношением:

Задачи по финансовой математики

Процентное соотношение

Задачи по финансовой математики

называется процентной ставкой за период Задачи по финансовой математики и измеряется в процентах (%). Если процентная ставка задана не в процентах, а в единицах, например, Задачи по финансовой математики, то чтобы найти процентную ставку в процентах (%) необходимо имеющуюся величину умножить на 100%. В данном случае имеем Задачи по финансовой математики.

Хотелось бы обратить внимание на то, что во всех приведенных ниже формулах предполагается, что процентная ставка задана в единицах. Поэтому при решении задач, где процентная ставка задана в %, не забывайте сделать необходимые преобразования.

Если Задачи по финансовой математики — годовая процентная ставка (процентная ставка за период — 1 год), то

Задачи по финансовой математики

где Задачи по финансовой математики — срок времени, измеряемый в годах.

Задача №1

Некоторое частное лицо взяло заем у Первого Национального Банка в размере $150. За эту услугу банк потребовал плату в размере $3,75. Заем взят на 6 месяцев. Найти процентную ставку за этот период.

Решение:

Обозначим процентную ставку за 6 месяцев Задачи по финансовой математики, тогда согласно формуле (1.2)

Задачи по финансовой математики

Ответ: Процентная ставка за 6 месяцев = 2,5%.

Пусть заданы: некоторая денежная сумма Задачи по финансовой математики — процентная ставка за 1 год (годовая процентная ставка), Задачи по финансовой математики — срок времени, измеряемый в годах. Величина, задаваемая формулой

Задачи по финансовой математики

называется простым процентом (^измеряется в денежных единицах). Величина

Задачи по финансовой математики

называется накопленным значением суммы Задачи по финансовой математики по ставке простых процентов за время Задачи по финансовой математики при годовой процентной ставке Задачи по финансовой математики (формула (1.5) часто называется формулой простых процентов).

Заметим, что срок может быть задан в любых временных единицах (месяцах или днях).

Предположим, что срок задан в месяцах. Например, он равен 6 месяцам. Так как 6 месяцев это 6/12 года = 0,5 года, то Задачи по финансовой математики = 0,5.

Если срок задан в днях, то его перевод в годовые единицы измерения может быть произведен двумя способами:

Первый — берется отношение числа дней к 360, а второй -отношение числа дней к полному числу дней в году, т.е. к 365 или, если год високосный, к 366. В первом случае говорят об обычных простых процентах, во втором случае — о точных простых процентах. Если год в задаче не указан, считается, что он не високосный, если не указано, что проценты точные, предполагается, что они обычные.

Задача №2

Найти точные простые проценты и накопленную сумму для суммы $500 вложенной на 100 дней под 4% годовых.

Решение:

В нашем случае

Задачи по финансовой математики

Считаем, что год не високосный, следовательно, Задачи по финансовой математики. Таким образом, Задачи по финансовой математики. Согласно формуле (1.5) Задачи по финансовой математики.

Ответ: Точные простые проценты — $5,48, накопленная сумма — $505,48.

На практике возможна следующая ситуация: инвестор желает через определенный срок Задачи по финансовой математики, положив деньги в банк, получить некоторую сумму Задачи по финансовой математики. Предположим, что годовая процентная ставка в банке известна и равна Задачи по финансовой математики. Спрашивается, какую сумму Задачи по финансовой математики инвестор должен положить в банк сегодня, чтобы спустя срок Задачи по финансовой математики накопить сумму Задачи по финансовой математики? Согласно формуле (1.5)

Задачи по финансовой математики

Задача №3

Спустя 90 дней после займа заемщик возвращает сумму в размере $100. Найти сумму займа, считая, что при обычных простых процентах годовая процентная ставка равна 8%.

Решение:

По условию задачи

Задачи по финансовой математики

Поэтому, согласно формуле (1.6), Задачи по финансовой математики.

Ответ: Сумма займа равна $98,04.

Из формулы (1.4) выведем соотношения

Задачи по финансовой математики

для вычисления годовой процентной ставки и срока.

Задача №4

В некоторый момент времени инвестируется сумма в размере $1000. Спустя 45 дней инвестор получает $1010. Найти годовую процентную ставку, соответствующую обычным простым процентам.

Решение:

В нашем случае

Задачи по финансовой математики

S — Р

Согласно формуле (1.7) Задачи по финансовой математики

Ответ: Годовая процентная ставка 8%.

Задача №5

На сколько дней нужно положить $6, чтобы при инвестировании при 5% обычной простой процентной ставке получить $900.

Решение:

Пусть Задачи по финансовой математики — число дней, которое нам нужно найти. Тогда с одной стороны

Задачи по финансовой математики

С другой стороны, из (1.8)

Задачи по финансовой математики

Отсюда следует, что

Задачи по финансовой математики

Подставляя данные нашей задачи, получим Задачи по финансовой математики= 1072800.

Ответ: На 1072800 дней.

В общем виде, формула (1.5) записывается следующим образом:

Задачи по финансовой математики

где

Задачи по финансовой математики — основная сумма инвестиций,

Задачи по финансовой математики — накопленная сумма исходной суммы Задачи по финансовой математики,

Задачи по финансовой математики — процентная ставка за период,

Задачи по финансовой математики — срок в периодах.

Задача №6

Найти накопленную сумму, если инвестор вложил $500 на 6 месяцев при месячной процентной ставке 10%.

Решение:

В данном случае период — месяц. Значит

Задачи по финансовой математики

Ответ: Накопленное значение $800.

Рассмотренные выше методы финансовых вычислений используются в условиях, когда процентные ставки постоянны. Между тем, в заключаемых сделках (особенно в условиях инфляции) используются дискретно меняющиеся во времени процентные ставки. А именно: за период Задачи по финансовой математики берется ставка Задачи по финансовой математики. В таких ситуациях накопленная сумма денег определяется по формуле

Задачи по финансовой математики

где

Задачи по финансовой математики — ставка простых процентов за период,

Задачи по финансовой математики — продолжительность срока исчисления данной ставки в периодах,

Задачи по финансовой математики — число периодов в течение которых ставка постоянна.

Такой порядок, используемый коммерческими банками, позволяет учесть изменения в конъюнктуре рынка и, в частности, компенсировать в определенной мере инфляцию.

Задача №7

Соглашение промышленного предприятия с байком предусматривает, что за первый год предприятие уплачивает 20% годовых. В каждом последующем полугодии ставка повышается на 1 процентный пункт, т.е. на 1%. Срок сделки 2,5 года. Сумма кредита 5 млн. руб. Проценты обычные. Определить сумму возврата долга через 2,5 года и доход банка.

Решение:

По условию задачи имеем:

Задачи по финансовой математики
Задачи по финансовой математики

При этих условиях формула (1.10) запишется в виде

Задачи по финансовой математики

Доход банка равен

Задачи по финансовой математики

Ответ: Сумма возврата — 6,75 млн. руб., доход равен 1,75 млн. руб.

Усложним ситуацию. За первый год предприятие уплачивает проценты в следующем порядке: первое полугодие — 20%, второе -ставка увеличивается на среднюю полугодовую иидексационную надбавку, исходя из индекса инфляции за второе полугодие. За оставшиеся полтора года ставка возрастает за каждый квартал на 6 пунктов к ставке второго полугодия.

Определим ставку второго полугодия. Для этого будем использовать индексы инфляции. По Закону РФ они публикуются ежеквартально. Пусть иидексационные надбавки, принятые банком с учетом индексов инфляции, составили за 3 квартал 46%, за 4 квартал 54%. Средняя индексационная надбавка за второе полугодие равняется 50%.

На практике квартальная индексационная надбавка может определяться как средняя из месячных индексационных надбавок. В результате имеем следующие процентные ставки, «привязанные» к инфляции:

За первый год ссуды:

1 полугодие -20%

2 полугодие — 70% (20+50)

За второй год ссуды:

1 квартал — 76% (70+6)

2 квартал — 82% (76+6)

3 квартал — 88% (82+6)

4 квартал — 94% (88+8)

За третий год ссуды:

1 квартал — 100% (94+6)

2 квартал — 106% (100+6)

Реинвестирование процентных денег

Особенностью финансовых вычислений по простым процентам является то, что ставка начисляется только с исходной величины ссуды или депозита. В условиях рынка с целью повышения заинтересованности клиентов и привлечения дополнительных денежных средств банки используют реинвестирование, т.е. после начисления процентов присоединяют сумму к исходной величине и далее вновь начисляют проценты. В таких сделках накопленное значение

Задачи по финансовой математики

где Задачи по финансовой математики — продолжительности периодов наращения денег. к

При этом Задачи по финансовой математики — общий срок сделки, Задачи по финансовой математики — ставки, по которым производится реинвестирование. Если периоды начисления и ставки процентов равны, то (1.11) принимает вид:

Задачи по финансовой математики

где

Задачи по финансовой математики — число операций реинвестирования.

Задача №8

На сумму $100000 начисляется 10% годовых. Проценты простые точные. Какова накопленная сумма, если операция реинвестирования проводится ежемесячно в течение первого квартала?

Решение:

По формуле (1.11)

Задачи по финансовой математики

Ответ: Накопленная сумма $102486.

Если бы операция реинвестирования ие проводилась, и проценты начислялись бы за 1 квартал ежемесячно, то

Задачи по финансовой математики

Получили меньшую сумму, чем при реинвестировании. Вывод: операция реинвестирования всегда выгодна вкладчику.

Срок между датами при описании кредитных операций

Часто при описании кредитных операций задается их срок, на который предоставляется заем, а дата взятия кредита и дата его погашения. В этом случае для определения срока займа используют специальные таблицы (см. Приложение). Покажем на примере, как это делается.

Задача №9

Дата взятия кредита 15 июня, погашения 20 октября того же года. Найти срок погашения. Год ие високосный.

Решение:

Согласно таблице П1. 15 июня — 166 день в году, а 20 октября — 293 день. Тогда срок погашения

293 — 166 = 127.

Ответ: Точный срок 127 дней.

Мы нашли точный срок погашения.

Существует еще один метод определения срока погашения -приближенный. Покажем, как его находить на примере 1.9. Составим таблицу:

Задачи по финансовой математики

Разница между этими датами 4 месяца и 5 дней. Считая, что в любом месяце 30 дней, вычисляем приближенный срок между нашими датами

30*4 + 5 = 125.

Ответ: Приближенный срок 125 дней.

Задача №10

Заем сделан 16 ноября 1965 г. и возвращен 9 февраля 1966 г. Найти точный и приближенный сроки.

Решение:

Согласно таблице П1, 16 ноября — 320-й день, а 9 февраля — 40-й день. В промежутке между этими датами в 1965 году было

365 -320 = 45 и 40 дней было в 1966 году. Точный срок

40 + 45 = 85.

Для определения приближенного срока составляем таблицу

Задачи по финансовой математики

В году 12 месяцев и значит 1966 = 1965 + 12 мес.; в месяце 30 дней, т.е. 14 месяцев — это 13 месяцев + 30 дней. Итого -приближенный срок равен 2 месяцем и 23 дням.Полагая, что в любом месяце 30 дней, получаем, что приближенный срок равен 2-30 + 23 = 83.

Ответ: Точный срок 85 дней, приближенный срок — 83 дня.

Обобщая полученные методы, заключаем, что для вычисления накопленного значения можно использовать:

  1. Точный срок и обычные простые проценты.
  2. Точный срок и точные простые проценты.
  3. Приближенный срок и точные простые проценты.
  4. Приближенный срок и обычные простые проценты. Первое правило называется банковским.

Простой дисконт

Дисконтом называется скидка с цены товара при различных сделках. Пусть владелец векселя на 100 тыс. руб. и сроком погашения 6 месяцев, спустя 2 месяца с момента получения векселя, продает его за 95 тыс. руб. Тогда дисконт составит

100-95 = 5.

или 5% от стоимости векселя. В этом случае говорят, что учетная ставка за 4 месяца (6-2 = 4) составляет 5%.

Введем обозначения: Задачи по финансовой математики — поминальная (учетная) стоимость, Задачи по финансовой математики — сумма долга при погашении, где Задачи по финансовой математики — срок оставшийся до погашения долга. Тогда величина

Задачи по финансовой математики

есть дисконт.

Отношение разницы между полной и выкупной ценами векселя к его полной стоимости, т.е. дисконта к полной стоимости

Задачи по финансовой математики

называется учетной ставкой за период Задачи по финансовой математики.

Еще раз подчеркнем, что величины Задачи по финансовой математики зависят от длительности периода оставшегося до погашения.

Из определения учетной ставки следует, что

Задачи по финансовой математики

В банках обычно указывают учетную ставку за год. Она называется годовой учетной ставкой. Существует связь между годовой учетной ставкой и ставкой за период

Задачи по финансовой математики

где

Задачи по финансовой математики— учетная ставка за период Задачи по финансовой математики,

Задачи по финансовой математики — годовая учетная ставка,

Задачи по финансовой математики — остаток срока до погашения в годах.

С учетом этой формулы из (1.13) получаем

Задачи по финансовой математики

Величина Задачи по финансовой математики называется простым или банковским дисконтом, а выражение

Задачи по финансовой математики

называется дисконтным множителем за период Задачи по финансовой математики по учетной ставке Задачи по финансовой математики.

Задача №11

Владелец векселя, номинальная стоимость которого равна 220 тыс. руб., а срок погашения — год, обратился в байк, когда до срока погашения векселя осталось 270 дней с просьбой о его учете. Банк согласился на учет векселя по ставке 21,05% годовых. Найти размер дисконта.

Решение:

По условию Задачи по финансовой математики В этом случае владелец векселя получит сумму

Задачи по финансовой математики

Отсюда получаем, что дисконт в нашем примере

Задачи по финансовой математики

Ответ: Банк получил дисконт в размере 29997 руб.

Задача №12

Владелец векселя с номиналом 100 тыс. руб. и периодом обращения 105 дней за 15 дней до наступления срока платежа учитывает его в банке по учетной ставке 20% годовых. Найти величину дисконта.

Решение:

По условию задачи имеем:

Задачи по финансовой математики

Согласно (1.14) сумма, полученная владельцем векселя, составит

Задачи по финансовой математики

Величина дисконта, полученного банком, равна

100-99,166 = 0,834.

Ответ: Дисконт равен 834 руб.

Учетные ставки широко используются в различных финансовых сделках. Однако дисконтирование по годовой процентной ставке Задачи по финансовой математики и годовой учетной ставке Задачи по финансовой математики приводит к различным финансовым результатам. Например, если по данным предыдущего примера произвести дисконтирование с использованием процентной ставки Задачи по финансовой математики, то величина дисконта составит

Задачи по финансовой математики
Задачи по финансовой математики

То есть при банковском дисконтировании владелец векселя получит меньшую сумму, чем при использовании математического дисконтирования.

Бывает ситуация, когда совмещается начисление процентов по ставке z и дисконтирование по ставке Задачи по финансовой математики. В этом случае наращенная величина ссуды будет определяться по формуле:

Задачи по финансовой математики

где Р — первоначальная сумма ссуды, Задачи по финансовой математики — общий срок платежного обязательства, Задачи по финансовой математики — срок от момента учета обязательства до даты погашения долга, Задачи по финансовой математики — сумма, полученная при учете обязательства.

Задача №13

Долговое обязательство, предусматривающее уплату 400 тыс. руб. с начисленными на них 120% годовых, подлежит погашению через 90 дней. Владелец обязательства учел его в банке за 15 дней до наступления срока по учетной ставке 135% годовых. Найти дисконт.

Решение:

По условию задачи

Задачи по финансовой математики

С учетом (1.15)

Задачи по финансовой математики

Ответ: Дисконт равен 29,06 тыс. руб.

Задача №14

Банк выдал фирме кредит сроком на полгода в размере $10000 под 80% годовых. Проценты простые обычные. Если возврат долга просрочен более чем на 30 дней, то процентная ставка возрастает на 5 пунктов и взимается по фактическому сроку неплатежей. 7 января банк списал со своего счета S10000 и направил в соответствии с договором на счет фирмы. 7 июля на счет банка поступила сумма $12000. Найти долг фирмы байку на 16 августа.

Решение:

Найдем сумму возврата долга по договору (в тыс. долл.)

Задачи по финансовой математики

Доход банка равен $4000. Сумма недоплаты долга на конец сделки, т.е. 7 июля равна (в тыс. долл.)

14-12 = 2.

Сумма невозвращенного долга в течение 30 дней, т.е. 7 августа составила $2000. На нее начисляются уже проценты по ставке 80 + 5% = 85% годовых. На 7 августа сумма долга составила (в тыс. дол.)

Задачи по финансовой математики

Сумма не возвращенного долга с 7 августа по 16 августа (9 дней) составила $2000. На эту сумму начисляются 90% годовых

Задачи по финансовой математики

Отсюда получаем, что общая сумма долга (в тыс. долл.)

2,141667 + 0,045 = 2,186667.

Ответ: Долг фирмы $2186,667.

Сложные проценты. Формула сложных процентов

Основной суммой мы будем называть величину инвестированного под проценты капитала. Пусть срок инвестирования задан в периодах, например, 1 период — 1 год. Пусть также дана процентная ставка за период, например, годовая процентная ставка. Если проценты в конце каждого периода (года) инвестиционного срока прибавляются к основной сумме, и полученная сумма является исходной для начисления процентов в следующем периоде (году), то начисленные к концу срока проценты называются сложными.

Наращенной суммой по ставке сложных процентов будем называть величину основной суммы капитала плюс сложные проценты.

Задача №15

Сумма в размере $200 положена на банковский счет на 3 месяца по ставке 10% в месяц. Найти наращенную сумму в конце каждого месяца.

а) по ставке простых процентов,

б) по ставке сложных процентов.

Решение:

а) Проценты за один месяц составят 200 • 0,1 • 1 = 20. Наращенная сумма в конце первого месяца будет равна

200 + 20 = 220; в конце второго месяца будет равна

200 + 20 + 20 = 240; в конце третьего месяца будет равна

200 + 20 + 20 +20 = 260.

б) Проценты за первый месяц

200 • 0,1 • 1 = 20;

наращенная сумма в конце первого месяца

200 + 20 = 220;

проценты за второй месяц

220 • 0,1 • 1 =22;

наращенная сумма в конце второго месяца

220 + 22 = 242;

проценты за третий месяц

242-0,1-1 =24,2;

Наращенная сумма в конце третьего месяца

242 + 24,2 = 266,2.

Ответ: а) $220, $240, $260; б) $220, $242, $266,2.

Заметим, что при фиксированной процентной ставке инвестирование на один период, соответствующей процентной ставке по сложным и простым процентам, приводит к одному и тому же наращенному значению.

В общем случае справедлива формула сложных процентов:

Задачи по финансовой математики

где

Задачи по финансовой математики — наращенная по сложным процентам сумма,

Задачи по финансовой математики — основной капитал,

Задачи по финансовой математики — процентная ставка за период,

Задачи по финансовой математики — срок в периодах.

Задача №16

Сумма в размере $127 инвестирована под 125% годовых на 2 года. Вычислить сложные проценты, начисленные к концу срока.

Решение:

По формуле сложных процентов наращенная сумма

Задачи по финансовой математики

Сложные проценты

Задачи по финансовой математики

Ответ: Сложные проценты — $515,94.

Задача №17

Кредит в размере 300 тыс. руб. выдан под сложные проценты по ставке 2% в месяц на 2 года. Найти полную сумму долга к концу срока.

Решение:

Процентная ставка месячная, значит необходимо найти срок в месяцах. В году 12 месяцев. Значит полный срок в месяцах

2 * 12 = 24.

По формуле сложных процентов получаем

Задачи по финансовой математики

Ответ: Полная сумма долга 5482,53.

Номинальная и эффективная процентные ставки

Пусть задана годовая процентная ставка и проценты начисляются чаще чем раз в год. Например, по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. В этом случае годовая ставка называется номинальной, а процентная ставка за один период начисления считается равной отношению номинальной ставки к числу периодов начисления в году Задачи по финансовой математики, где

Задачи по финансовой математики — номинальная процентная ставка,

Задачи по финансовой математики — число периодов начисления в году.

Если начисления происходят раз в полгода, то Задачи по финансовой математики.

Если начисления происходят раз в квартал, то Задачи по финансовой математики.

Если начисления происходят ежемесячно, то Задачи по финансовой математики.

Наращенная сумма при заданной номинальной процентной ставке вычисляется по формуле

Задачи по финансовой математики

где Задачи по финансовой математики — основная сумма,

Задачи по финансовой математики — номинальная процентная ставка,

Задачи по финансовой математики — число периодов начисления в году,

Задачи по финансовой математики — срок в годах.

Задача №18

Найти наращенную сумму, если $300 инвестированы на два года по номинальной ставке 12% годовых, при начислении процентов

а) по кварталам,

б) по месяцам.

Решение:

В случае а) с учетом, что в году 4 квартала получаем

Задачи по финансовой математики

В случае б) с учетом, что в году 12 месяцев получаем

Задачи по финансовой математики

Ответ: наращенная сумма — а) $380,03; б) $380,92.

На практике наращение денег может производиться 1 раз в год по ставке Задачи по финансовой математики или Задачи по финансовой математики раз в год по ставке Задачи по финансовой математики. Годовая ставка Задачи по финансовой математики, при которой наращенное значение при начислении процентов по ставке Задачи по финансовой математики, не будет отличаться от наращенного значения при начислении процентов Задачи по финансовой математики раз в году по ставке j/m, называется эффективной или действительной ставкой. Эффективная ставка характеризует тот реальный относительный доход, который получает кредитор за год при начислении процентов Задачи по финансовой математики раз в год по ставке Задачи по финансовой математики.

Эффективная и номинальная ставки связаны следующим соотношением:

Задачи по финансовой математики

где

Задачи по финансовой математики — эффективная годовая ставка,

Задачи по финансовой математики — номинальная процентная ставка,

Задачи по финансовой математики — число начислений процентов за год.

Задача №19

Дана эффективная годовая процентная ставка 30%. Найти эквивалентную ей номинальную ставку при начислении процентов раз в полгода.

Решение:

По условию задачи имеем Задачи по финансовой математики. Из формулы (2.3) можно найти Задачи по финансовой математики:

Задачи по финансовой математики

Тогда подставляя данные задачи, получаем:

Задачи по финансовой математики

Ответ: Номинальная ставка — 28%.

2.3. Проценты за дробное число лет

В различных сделках срок не всегда есть целое число лет, он может быть равен и дробному числу лет. Пусть

Задачи по финансовой математики

где

Задачи по финансовой математики — период сделки в годах,

Задачи по финансовой математики — целая часть Задачи по финансовой математики,

Задачи по финансовой математики — дробная часть Задачи по финансовой математики.

В таких случаях проценты могут начисляться двумя способами:

по формуле сложных процентов

Задачи по финансовой математики

на основе смешанного метода

Задачи по финансовой математики

Заметим, что если общий срок менее года, наращенная сумма вычисляемая по смешанному методу больше, чем наращенная сумма вычисляемая по формуле сложных процентов, т. к.

Задачи по финансовой математики

Задача №20

Клиент банка вносит депозит $3000 на 3,5 года под 40% годовых. Определить величину депозита в конце периода используя два приведенных выше метода.

Решение:

По формуле сложных процентов

Задачи по финансовой математики

На основе смешанного метода

Задачи по финансовой математики

Ответ: $9740 и $9878,4.

Задача №21

Размер депозита 10 млн. руб. Номинальная годовая ставка 50%. Проценты начисляются по полугодиям. Найти наращенную сумму по смешанному методу, если срок депозита 27 месяцев.

Решение:

Используя смешанный метод, находим:

Задачи по финансовой математики

Ответ: Наращенная сумма 25939941 руб.

Дисконтирование (учет) по сложной ставке процентов

Рассмотрим применение математического дисконтирования по ставке сложных процентов. Дадим сначала определение дисконтного множителя.

Величину Задачи по финансовой математики

называют учетным или дисконтным множителем по ставке сложных процентов Задачи по финансовой математики за период Задачи по финансовой математики. Тогда формулу (2.1) можно переписать в виде

Задачи по финансовой математики

Если проценты начисляются Задачи по финансовой математики раз в году, то величина Р вычисляется по формуле

Задачи по финансовой математики

где

Задачи по финансовой математики — годовая номинальная ставка процентов,

Задачи по финансовой математики — срок ссуды в годах.

Дисконтный множитель в этом случае есть Задачи по финансовой математики

Разность между S и Р называется дисконтом по сложной ставке процентов, и определяется по формуле

Задачи по финансовой математики

Задача №22

Какую сумму Р должен положить в банк, чтобы через 10 лет получить 2 млн. руб? Банк производит начисление процентов ежеквартально по сложной ставке 20% годовых.

Решение:

Если бы начисления производились ежегодно, то учитывая (2.4), получили бы

Задачи по финансовой математики

Но начисление процентов производится ежеквартально, и значит первоначальная сумма вклада значительно меньше. Согласно (2.5) имеем:

Задачи по финансовой математики

Ответ: Р = 284091 руб.

Являясь одной из основных характеристик в финансовом анализе, величина Р обладает следующими свойствами:

1. Чем выше ставка процентов, тем более интенсивно происходит дисконтирование и, как следствие, в большей степени уменьшается первоначальная величина Р при прочих равных условиях.

2. С увеличением срока платежа современная величина будет становиться все меньше.

3. С ростом величины Задачи по финансовой математики (сколько раз в году начисляются проценты) дисконтный множитель уменьшается, следовательно, уменьшается и современная величина.

Если Задачи по финансовой математики — соответственно простая и сложная ставки., то в случае равенства Задачи по финансовой математики, для срока менее года Задачи по финансовой математики имеем Задачи по финансовой математики, т.е. дисконтный множитель по ставке простых процентов меньше, чем по ставке сложных процентов.

Для срока более года Задачи по финансовой математики

Задачи по финансовой математики

т.е. дисконтный множитель по ставке простых процентов больше, чем по ставке сложных процентов.

Сложная учетная ставка

В учетных операциях наряду с использованием простых и сложных процентных ставок используются также сложные годовые учетные ставки.

Для дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула

Задачи по финансовой математики

где

Задачи по финансовой математики — сложная годовая учетная ставка,

Задачи по финансовой математики — срок, оставшийся до наступления платежа по долговому обязательству.

Отсюда следует, что Задачи по финансовой математики. В этом случае дисконт по сложной учетной ставке определяется по формуле

Задачи по финансовой математики

Задача №23

Владелец векселя номиналом в 200 тыс. руб. с периодом обращения 1,5 года предложил его банку для учета. Банк произвел учет векселя по сложной учетной ставке (по ставке простых процентов), равной 12% годовых. Определить дисконт, полученный банком и сумму, полученную владельцем векселя.

Решение:

Для ставки сложных процентов согласно (2.6) и (2.7) имеем:

Задачи по финансовой математики

Для ставки простых процентов

Задачи по финансовой математики

Ответ: Для ставки сложных процентов — дисконт -34,898тыс. руб., сумма полученная владельцем — 165,102 тыс. руб.

Для ставки простых процентов — 36 тыс. руб. и 164 тыс. руб. соответственно.

Таким образом, дисконтирование по сложной учетной ставке для владельца векселя выгоднее, чем по простой учетной ставке.

Уравнение эквивалентности. Временное значение денег

С экономической точки зрения бессмысленно говорить о величине денежной суммы без указания даты ее рассмотрения. $1000 сегодня и через год это две разные суммы, т.к. если бы Вы положили эту сумму в байк под 20% годовых, то через год получили бы