Оглавление:
Принцип наименьшего действия
- Этот принцип может быть применен к движению точки под действием силы с функцией силы, причем точка должна быть свободной или скользить по неподвижной поверхности. Этот принцип позволяет объединить уравнения движения в 1 и записать, что вариация одного интеграла равна нулю. В томе 2 показаны другие принципы, например принцип Гамильтона, принцип Аусса, которые могут применяться в более общих случаях. Принцип минимального действия был обозначен Maupertuis. An пример тому исследование Эйлера де Моту Projectorum. Лаплас, Лагранж и Пуассон изложили этот принцип таким образом, что его можно было бы оспорить. Якоби впервые изложил его в строгом виде form.
В Берлинской академии Sitzungsberichte 1887 есть интересная статья Гельмгольца по истории принципа минимального действия. Бесплатные очки. Если свободная точка находится под действием силы с силовыми функциями U x, y, z , то вид интеграла кинетической энергии равен МВ2 = 2 т х, у, Z + а, mvj = 2 Хо, йо. о + л Как правило, минимальное действие сравнивает только те движения, константа а которых имеет одинаковое значение value. So, во всех последующих местах h является определенной константой. Таким образом, начальное положение движущейся точки x0,y0,z0 может быть задано произвольно, а ее начальная скорость определяется величиной из 2 го соотношения 1 Не направлением.
В связи с этой работой Бертран поставил следующую задачу: Зная, что сила, зависящая только от положения точки, заставляет точку при любых начальных условиях описывать коническое сечение, найти закон этой силы. Людмила Фирмаль
Кривая, которую вы рассматриваете как положение движущейся точки, конечно, находится в области пространства, где находится функция U х, у, Z + H положительно. Пусть A и B 2 неподвижные точки. Тет и Томсон называют действие вдоль кривой C соединяющей эти 2 точки интегралом Б Л = Ф П2 ВД ч ДС 2 М Здесь напишите U вместо U x, y, z .Это интегрирование предполагает, что элемент дуги берется вдоль кривой C, показанной в ds.
Принцип минимального действия можно сформулировать следующим образом: Кривая, имеющая свойство соединять 2 неподвижные точки A и B и имеющая нулевое изменение действия при прохождении через другую такую же точку 1 до почти бесконечности этих кривых, является локусом, который материальная точка, инициировавшая движение, фактически описывает: от 1 й из этих неподвижных точек она движется в направлении, приближающемся ко 2 й. Кроме того, если вы ищете кривую с наименьшим действием среди всех кривых от точки A до точки B, вы можете сказать, что эти кривые находятся на пути, который соединяет точку A и B. прежде всего, это уравнять колебания действия до нуля.
Заметим, что для доказательства этого предложения Интеграл A будет иметь вид: С F х, у, Z ДС Ля Куда Ч Х, У, Z = вл у + з. 3 Поэтому для того, чтобы получить дифференциальное уравнение кривой, в которой Интеграл а может быть минимизирован, необходимо применить уравнение 146 из 3 и заменить его на его значение 3. таким образом, мы получим дифференциальное уравнение искомой кривой dI 2 77 + th 1 =0. 4 I. ds J Ex 2 7 + A И 2 подобных. Возьмем независимую переменную t.
Разделить по пропорциям У ТДС 5 Тогда дифференциальное уравнение 4 кривой, которое может инвертировать Интеграл а до минимума, имеет вид: Ди х ду РУ ду ФЗ Ди Т ДП ДХ т д ду т д ДЗ Это уравнения движения свободных точек, а уравнение 5 является уравнением кинетической энергии с определенным значением L. таким образом, теорема доказана. Поэтому нам нужно искать относительное минимальное значение действия A, то есть кривую, которая дает значение меньше, чем значение вдоль кривой, которая близка к бесконечности, в траектории от A до B. A и B, которые являются относительными минимумами A, не очень важны с точки зрения самого принципа.
- Это похоже на вопрос о том, действительно ли геодезическая связь 2 неподвижных точек на определенной поверхности дает относительный минимум расстояния в 2 точки. На поверхности см. Darub, Theo rie surface des, part 3, Глава V .Так как коэффициент ds Интеграла A положителен, то действие всегда положительно, и всегда существует кривая от A до kV, вдоль которой происходит минимальное значение Интеграла A. Существует также кривая между A и B, которая дает абсолютное минимальное значение. Эта последняя кривая неизбежно состоит из дуги, которая дает каждому индивидуальному минимуму, и, следовательно, дуги траектории.
Не существует кривой, которая дает относительное максимальное значение Интеграла A. Если C произвольная дуга, проведенная между A и B, всегда можно создать бесконечно близкую кривую C , вдоль которой действие будет больше вдоль C. синусоидальная кривая с бесконечно малой амплитудой, проходящая через C c Укажите на поверхность.
Руководствуясь аналогичными идеями, Бертран решил следующую задачу: Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только скорость не превосходит некоторого предела, найти закон этой силы. Людмила Фирмаль
Дает неподвижной поверхности S точку под действием силы с функцией силы J x, y, z .Для этого существует еще Интеграл кинетической энергии 1.Сравните движение, которое происходит на поверхности S при одном и том же значении константы L, существует следующая теорема: 2 неподвижные точки, нарисованные на поверхности между A и B и нарисованные на поверхности между 1 и той же точкой этих кривых, являются траекториями этих 2 неподвижных точек. Поэтому, если вы ищете кривую, которая проходит по поверхности от A до B, где действие минимально, вам нужно выбрать одну из траекторий.
Чтобы доказать это, достаточно применить уравнение 149, данное случаю = = ТЩ+ на поверхности и на кривой, которая минимизирует J DS. Как и выше, эти уравнения непосредственно преобразуются в уравнение движения точки на заданной поверхности с постоянной h кинетической энергии. Например, если сила не действует на точку =0, то траектория становится кривой, которая оказывается искомой обратной кривой B Минимальное интегрирование J Y hds. То есть, если вы ищете самую короткую линию A па surface. As в результате получается геодезия пункт 270.
Более общее положение состоит в том, что задача нахождения локуса на поверхности S для заданной силовой функции U равна задаче нахождения геодезической на другой поверхности S. фактически, представьте вспомогательную поверхность S , где линейный элемент определяется уравнением rfS 2 = 2 7 A d52 Где ds линейный элемент поверхности S. Если мы найдем траекторию поверхности S, то найдем кривую j ds до минимума, то есть найдем геодезическую поверхности S.
Возвращаясь на некоторое время к случаю свободной точки под действием силы с силовой функцией, основанной на принципе минимального действия, мы видим, что задача определения траекторий точки является продолжением случая 3 переменных в геодезической задаче. Не вдаваясь в подробности этой теории, более связанной с геометрией, чем с механикой, читатель ссылается на VI и VII главы Тома 2 работы дарбоу теория поверхности дьявола.
Смотрите также:
Решение задач по теоретической механике
