Оглавление:
Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области
- Уменьшение двойного интеграла для повторения в случае Прямоугольная область. С этим вопросом геометрической интерпретации и при определенных допущениях мы уже имели дело в № 337. Начните с простого случая, когда площадь Интеграла представляет собой прямоугольник (P)=[I, B\C, y]. Теорема
определяется прямоугольником (P)=[a,B\C, C1] если функция/(x,y), существует двойной Интеграл§ / (x>y) L P (О А для каждого постоянного значения x из[a, B] — простой Интеграл С (2) Тогда существует также итерационный Интеграл b a С (3) И достигается равенство b a (4) T e l s T V O для D o K a. разделим интервал[a,B]и [C, g/], определяющий прямоугольник (P),
и вставим точку разделения•^0 & «^1 <\ • • • ^/+1 < • • • <\ —— * ) Читатель легко распознает в этом Людмила Фирмаль
утверждении модификацию известной теоремы о двойных и итерационных ограничениях[n°131].248 глава XXI. двойной Интеграл[343 Затем прямоугольник(Р) разлагается на частичный прямоугольник (рис. Двадцать три.): (П) Один. Один. Один. Один. Один. Один. Один. Один. Один. Один. Один. Один. Один. Один. Один. 1-1 1-1 1! 1! Один. ! ‘ Один. Один. ! Один. 1-1 (Л, г)=кг>^+15 лет К Л+11 (1 = 0, 1, … ,Р-1; L=0,1,… Т-1). Указывает, что T1>K и M>K,соответственно,
точная нижняя и верхняя границы функции/(x, y) в прямоугольнике(P/>l), для всех точек этого прямоугольника'(x, y) Фиксируем X произвольно с интервалом[XH x,+1]: x -^, интегрируем y из y в UK+b[n°182,8°] T1, K^U K^ / & >U) (1u^UK^m{1K^U K, где UK=UK+1^ — UK > интеграл по u, так как существует существует существует Интеграл (2) на всем интервале, предположим[C, (/). Если такое неравенство суммируется по K от 0 до T-1, то T-1 (t-1 до 2t1,*1=5/Y) au2m g-K^Y K^=0s K=0s умножить все эти неравенства на значок i от 0 до P-1
- до 1, затем найти p-1t-1p-1p-1PTP-1PTP-1p. 2DH;2TC C^UC^2/(?,) д^<2 2 /=о е=0/=0 1 = 0 й=0 В середине мы получили интегральную сумму функции/(x). Что касается крайних членов, то они не более чем сумма 5 и 5*дал бу для двойного интеграла (5). Фактически, поскольку Dxx-DUI — это область p1k прямоугольника (P/>A), например 2DH;2OTG, * дл=2 2У», -, м^|ЭБ=2^, Лл, г=л *=0A=0 1=0y=o1, k343]§2. Вычисление двойного интеграла 249 Окончательно — Р-1 1 = 0 Когда все DHX-и Duy равны нулю одновременно, принимая во внимание существование
двойного интеграла (1), как сумма 5, так и 5 стремятся достичь предела. В этом деле I-1 11SH2 1=0 То есть двойной Интеграл(1) является Интегралом функции/(x): b b a/(x, y) A P-1(x) Ah=a x^ / (x, y) AU, R) A A C То, что мы хотели доказать. Изменяя роли переменных x и y, (4)вместе с выражением a b§Y/ (- *>D’)l p=/(•*>D’) yx, (4 *) (Р)ы В предположении, что существует Интеграл b для u=sopz1 У) О. Но Z Если присутствуют оба элементарных интеграла, а также двойной Интеграл Амазонини(1): где о е выражение и в то же время,(4)и(4),где B и А B а^/(Х, У)и=Ау^/у (Х,У) ах. (5) ы ы ы
Применение формулы(4) или (4) обусловлено наличием двойных интегралов и простых чисел. В Людмила Фирмаль
случае функции N a/(x, y) n E p R E R s(что обычно происходит на практике) гарантируется наличие всех описанных интегралов. В этом случае одна из приведенных выше формул f A K t и h E s K o g o V s h и s l e n I двойной Интеграл, как показано в главе XXI. двойной Интеграл[343 Вычисление простого интеграла-гораздо более простая задача. При доказательстве Формулы (4) наиболее естественно было разложить прямоугольник (р) с прямыми линиями, параллельными оси, на прямоугольные элементы с областями Дуа. Найдите символ двойного интеграла и укажите его происхождение от деления области (\/(x, Y)<1P вместо части-прямая, параллельная ось *(П)
Часто пишут Далее, имея в виду сокращение двойного интеграла, он расширяется, чтобы повторить прямоугольник (P)=[a,B;C, y], и сам двойной Интеграл часто повторяется:b представлен аналогичным знаком как a. / (х,у)&у s1h или С а б У)^га у. С а При таком обозначении»внешний Интеграл»и»внешняя производная» соответствуют друг другу, поэтому необходимо только получить один или другой Интеграл повторно с круглыми скобками: Г X или а б г)г х^л г. С а R(•u YH Yu P R I m e R y. 1) / =I V———————0 0（1+x2+>2) легко представить себе for/by T Мула в форме(4) ‘Р Ч’— 0 0(1+x2+/) 2 На этот раз мы получаем: Два. (1+^ + Л2 Г< * У1 1 Г^+2′ Так что это Один.
/ Х2 4-2Ah=1Р x+Y8+1I__1P2+344]§2. Вычисление двойного интеграла 251 Если вы полагаетесь на другой итерационный Интеграл, квадрат будет немного сложнее: / =Р АУ———- — з -, Ноль. 0(1+x2+Y0 2 Один. х= \ 1Х| К1+л- «+з>2 ‘1х=0» 0+7)У2+Т-‘ __=1 1Р/ 2 + 7 — 1 11 = 1 ]p (/3-1) (/T+1) Ноль. 3 ( 1 + 7 ) / 2 + ^ 2 ) < 2 4 — ^ + 110 2 ( / 3 + ! ) (/2-1) Один. У Ю. = — 1Р Преобразование этого ответа в предыдущий вид легко. 2) Найти объем тела V x=0, x=a, y=0, y= — b, а по приведенной выше плоскости в поперечном направлении плоскость X Y по нижней замкнутой овальной плоскости V2 бороид2=2 р Прежде всего, такой же расчет Интеграла осуществляется по формуле (2) — I (e+e и[O, a;0, d):
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
