Работа силы на конечном пути

Работа силы на конечном пути

Для определения работы силы Работа силы на конечном пути па каком-либо конечном перемещении Работа силы на конечном пути (рис. 208) ее точки приложения разобьем это перемещение на Работа силы на конечном пути перемещений, каждое из которых в пределе (при Работа силы на конечном пути) переходит в элементарное. Тогда работа Работа силы на конечном пути силы Работа силы на конечном пути на конечном перемещении Работа силы на конечном пути будет равна пределу суммы ее элементарных работ на всех бесконечно малых участках данного перемещения, и пользуясь формулами (187) и (189), получаем для нее следующие выражения:

Работа силы на конечном пути

Работа любой силы на любом конечном перемещении ее точки приложения равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.

Пределами интегралов в формулах (190) и (191) являются значения соответствующих переменных интегрирования в точках Работа силы на конечном пути и Работа силы на конечном пути.

Если точка Работа силы на конечном пути приложения силы перемещается по криволинейной траектории, то интегралы берутся вдоль соответствующей дуги Работа силы на конечном пути этой траектории, т. е. являются криволинейными интегралами.

Если модуль касательной составляющей Работа силы на конечном путиРабота силы на конечном пути силы есть величина постоянная, то из формулы (190) будем иметь:

Работа силы на конечном пути

В частности, это всегда имеет место при прямолинейном движении точки под действием постоянной по модулю и направлению силы.

Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна произведению модуля силы на длину пути, пройденного ее точкой приложения, и на косинус угла между направлениями силы и перемещения ее точки приложения.

Если направление постоянной силы совпадает с па-правлением перемещения точки ее приложения или прямо противоположно направлению движения последней, то

Работа силы на конечном пути

Формула (193) применима не только в случае прямолинейного перемещения точки приложения постоянной силы, но и в случае ее криволинейного движения, если только эта сила все время направлена по касательной к траектории ее точки приложения.

Работа силы имеет, очевидно, следующую размерность:

Работа силы на конечном пути

Так как в технической системе единиц сила измеряется в килограммах, а длина — в метрах, то работа в технической системе единиц измеряется в килограммометрах (кГм).

В системе СИ сила измеряется в ньютонах и длина в метрах, поэтому в этой системе за единицу работы принимается работа силы в \ н на пути, совпадающем с направлением силы, в 1 м. Эта единица работы называется джоулем (дж).

Найдем зависимость между килограммометром и джоулем. Ранее (стр. 242) было найдено, что сила в

Работа силы на конечном пути

Следовательно,

Работа силы на конечном пути

Один килограммометр равен 9,81 джоуля.

Пример задачи:

Тело совершает поступательное прямолинейное движение по закону Работа силы на конечном пути, где Работа силы на конечном пути — некоторый постоянный коэффициент. Модуль силы сопротивления среды Работа силы на конечном пути, где Работа силы на конечном пути — коэффициент сопротивления среды и Работа силы на конечном пути —скорость тела. Какую работу надо затратить на преодоление сопротивления среды при перемещении тела из состояния покоя на расстояние Работа силы на конечном пути?

Решение:

Тело принимаем за материальную точку Работа силы на конечном пути. Прямую, по которой движется эта точка (центр тяжести тела), принимаем за ось Работа силы на конечном пути, направив ее в сторону движения топки (рис. 209).

Работа силы на конечном пути

Начало координат будет совпадать с начальным положением Работа силы на конечном пути, точки (как видно из закона ее движения: при Работа силы на конечном пути).

Найдем работу силы Работа силы на конечном пути сопротивления среды, воспользовавшись для этого формулой (191):

Работа силы на конечном пути

Так как сила Работа силы на конечном пути сопротивления среды всегда направлена в сторону, противоположную движению тела, то ее проекциями на координатные оси будут:

Работа силы на конечном пути

При выбранном направлении оси Работа силы на конечном пути абсцисса точки

Работа силы на конечном пути

Элементарное приращение этой координаты

Работа силы на конечном пути

Скорость точки

Работа силы на конечном пути

Подставляя найденные выражения в формулу (191), получим

Работа силы на конечном пути

Так как подынтегральное выражение является функцией времени, то пределы интегрирования должны соответствовать значению этой переменной в точках Работа силы на конечном пути и Работа силы на конечном пути. Положению Работа силы на конечном пути точки соответствует время Работа силы на конечном пути Момент Работа силы на конечном пути, соответствующий положению Работа силы на конечном пути точки, находим из закона ее движения:

Работа силы на конечном пути

откуда

Работа силы на конечном пути

Таким образом, работа силы Работа силы на конечном пути сопротивления среды на данном перемещении тела будет равна

Работа силы на конечном пути

Сила сопротивления среди направлена прогни движения тела потому се работа получилась отрицательной. Чтобы преодолеть эту силу на заданном перемещении тела, надо затратить такую же по величине, но положительную работу.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
Элементарная работа силы
Графический способ вычисления работы
Теорема о работе равнодействующей