Оглавление:
Равномерная сходимость по параметру семейства функций
Равномерная сходимость по параметру семейства функций. В предыдущем разделе мы столкнулись с концепцией равномерной сходимости в конкретном наборе семейств функций, которые зависят от конкретного параметра, когда конкретный параметр стремится к определенному value. In в нашем случае такой функцией является et1… это были m (x, Ax) и e (X, Dx), где Dx играл роль a parameter. In простейшая форма, этот случай был встречен ранее в§ 20.2. Сформулируйте определение равномерной сходимости группы функций в общем случае. Определение 3. Пусть X A Kn, Y A Hm, y (0)-любая точка разрыва множества Y или бесконечность* oo,+ oo, oo(имеет смысл рассматривать последние 2 бесконечности только для m = 1).Далее функция » p (x) определена для всех χХ, а [(X, Y)-для всех X E X и y Функция f (x, y) называется tp (x) и рассматривается как y-* y равномерно для множества X、 НХ, В)^ Т ^(*). Y〜 ’ Y [0） если существует проколотая окрестность 0 (y (0) из y10) для e 0, всех x∈X и всех yYY [} 0 (y / 0)), то неравенство | /(х, α) р(х)| е.
Как и в случае равномерной сходимости последовательности функций, условие равномерной сходимости функций по параметрам может быть сформулировано с использованием понятия ограничений. Людмила Фирмаль
- В этом случае переменную y часто называют параметром, а функцию f (x, y), yYY называют «семейством функций x» (в том смысле, что эта функция различных фиксированных y eks определяет функцию переменной x). , таких как: Функция f (x, y) стремится равномерно как y * y ’°как функция φ (x) для x (x). Зир \ м [(Х, Y) φ(х)| =0.(39.31） г-У0 шестигранный Итак, условия/(x, (/) Φ (Γ), y—y (0) являются функциями P(y)5p | [(x, y）О, да. Икс ■П(Х)|.Доказать это утверждение совсем не сложно、 * Бесконечность oo,+ oe, oo, для простоты называемая точкой («бесконечно удаленной») вперед. 39.4 равномерная сходимость по параметрам функциональной группы 17 Как и в случае равномерной сходимости последовательности функций.
- Его сохранение предоставляется читателю. В рассматриваемом случае сходство критерия Коши относительно равномерной сходимости последовательности также справедливо. Теорема 4 (критерий тренера). для функции f (x, y), поскольку y (0) стремится быть однородным некоторой функции на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы существовала проколотая окрестность 0 (y, 0Y) точки y для e 0. Ноль} y ’= 0 (y°) Yy и y’ = d (y ’0) (} y и любые неравенства xeA’ 。 1 /(.»)Нх, У)*.(39.32） Действительно, необходимость условия(39.32), как всегда в такой ситуации, легко вытекает из условия (39.30).Доказать, что условие (39.32) достаточно, Хм [(Х, Y) существует фиксированный с xex, и тенденция функции f (Х, Y) в этой предел g / g / (0) имеет место равномерно. Все это рекомендуется читателю сделать самому.
Упражнение 5.Доказать это. Для функций} (x, y), x = X, y = X равномерно на множестве X, y- y’y, подобно тому, как тенденция функции p (x), x> X, последовательность yn1∈V, y shfut n == 2,…, y101, тренд, последовательность/(x, y, n ’） n = 1, 2,…в множестве X сходится равномерно к функции p (x). Золото/(х、 г ^ + СА Год=) { Ноль Один для х0, х = 0 (Таким образом, переменная y является параметром, если вы используете термин выше).Представляет предельную функцию в виде φ (x). Ф=)*( Ноль Один для х0, х = 0. (39.33） Образцы. 1.Рассмотрим семейство f (x, y)= e〜xi функции. Где 0EK; L. C 1, 0r y + oo. Очевидно. докажем, что тренд от функции f (x, y) к φ (x) как y + oo имеет место unevenly. To для этого достаточно указать, что в любой окрестности V (+oo) существует EO 0, в котором существует такое неравенство, что XE [0, 1]и y e V (+oo) существуют. eghu-Ф(Х) / де Е0. пусть e0 равно 0 e0 1 и имеет произвольную окрестность (/(+oo)).
Конечно, исследование равномерной сходимости рассматриваемого семейства функций можно провести, применив критерий (39.31). Людмила Фирмаль
- Тогда возьмем y = u(D-oo) и это будет ee-x3 \и таким образом л. с.-0 От 18 до 39.Формула. Тейлор и ряд Тейлора функций многих персов. дайте x e(0, 1 | е〜ху-СР(х)| = / е-XY-01 Е0. Поэтому в данном случае условия критерия Коши (см. теорему 4) не выполняются. Однако для π, 0, x1 семейство функций 1 (x, y)= e〜x, а r-+ oo стремится к равномерному нулю на интервале[x, 1].в этом случае убедитесь, что выполнены условия критерия Коши(см. теорему 4).Для любого e 0 существует число m | E 0. вы можете взять любой r, как e-ac * e^]■^; Все о г ^и* Е [А, 1] | е-XY-01 = eghu е-0 1е е. фактически, если использовать формулу (39.33)、 Джилл| е-ху-Ф (Х), 15а ЗІР е-XY = 1 Поэтому условие (39.31) точно не будет выполнено. 0 для I1、 НШ ЗІР | е-ху-Ф| Х) / = Пт ЗІР е-ху = Пт е-Ай = 0 г /» 4-со ^ Ф-К ^ Л.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
