Ряды Тейлора и Маклорена
Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т. е. функцию
представлять в виде суммы степенного ряда.
Как известно (см. теорема 26.1), для любой функции , определенной в окрестности точки
и имеющей в ней производные до
-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:
![Ряды Тейлора и Маклорена](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-51156.png)
где , — остаточный член в форме Лагранжа. Число
можно записать в виде
, где
. Формулу (64.1) кратко можно записать в виде
![Ряды Тейлора и Маклорена](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-51160.png)
где — многочлен Тейлора.
Если функция имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки
и остаточный член
стремится к нулю при
(
), то из формулы Тейлора получается разложение функции
по степеням (
), называемое рядом Тейлора:
![Ряды Тейлора и Маклорена](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-51164.png)
Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням
в так называемый ряд Маклорена:
![Ряды Тейлора и Маклорена](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-51165.png)
Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции
; он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции
. Так, например, функция
![Ряды Тейлора и Маклорена](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-51166.png)
имеет в точке производные всех порядков, причем
при всяком
(см. пример 19.5). Ряд Маклорена имеет вид
![Ряды Тейлора и Маклорена](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-51168.png)
Он сходится, но его сумма в любой точке
равна нулю, а не
.
Пусть для функции составлен соответствующий ей ряд Тейлора.
Теорема 64.1. Для того чтобы ряд Тейлора (64.2) функции сходился к
в точке
, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (64.1) стремился к нулю при
, т. е. чтобы
.
Пусть ряд Тейлора (64.2) сходится к функции в некоторой окрестности точки
, т. е.
. Так как
-я частичная сумма
ряда (64.2) совпадает с многочленом Тейлора
, т. е.
, находим:
![Ряды Тейлора и Маклорена](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-51173.png)
Обратно, пусть . Тогда
![Ряды Тейлора и Маклорена](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-51174.png)
Замечание.. Если ряд Тейлора (64.2) сходится к порождающей функции , то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т. е.
. (Напомним, что
, а
, где
— сумма ряда Тейлора.)
Таким образом, задача разложения функции в степенной ряд сведена по существу к определению значений
, при которых
(при
). Если сделать это не просто, то следует каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.
На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции и ряд Тейлора.
Теорема 64.2. Если модули всех производных функций ограничены в окрестности точки
одним и тем же числом
, то для любого
из этой окрестности ряд Тейлора функции
сходится к функции
, т. е. имеет место разложение (64.2).
Согласно теореме 64.1, достаточно показать, что . По условию теоремы 64.2 для любого
имеет место неравенство
. Тогда имеем:
![Ряды Тейлора и Маклорена](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-51180.png)
Осталось показать, что . Для этого рассмотрим ряд
![Ряды Тейлора и Маклорена](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-51182.png)
Так как
![Ряды Тейлора и Маклорена](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-51183.png)
то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости,
![Ряды Тейлора и Маклорена](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-51184.png)
Следовательно, .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Сходимость степенных рядов |
Свойства степенных рядов |
Периодические функции. Периодические процессы |
Разложение в ряд фурье периодических функций с периодом 2п |