Оглавление:
Сходимость. Непрерывные отображения
- Конвергенция. Непрерывное отображение. О п р ЕД е л я Е11. Последовательность точек{a»}в метрическом пространстве — это C x o d i s E y s I K T точка A:если все элементы этой последовательности включены в окрестности точки a, и если эти конечные последовательности{AP}сходятся к a, запишитеap — > — a в l — >O или PT в AP=A. P- > АО Непосредственно из этого определения следует случай AP — + — > — a, p(AP, p) — >0,p -> -<>. Л е м м А3. Точка a метрического
пространства X принадлежит замыканию A некоторого множества a только в том случае, если последовательность {AP}точек в множестве a сходится к A. Д О К а з а т е л ь с т в о. возьмем в качестве окрестности шара O (a, DP), n-естественную. В этом шаре есть по крайней мере одна точка AP^A. Дополнением к этой окрестности является замкнутое множество, содержащее множество A, и точка a не принадлежит этому замкнутому множеству. Таким образом, поскольку в условии-a^A было противоречие, мы построили последовательность точек AG->-a в l->OO, AP ed.
Обратите внимание, что эта последовательность{AP}может быть стационарной. Для этого Людмила Фирмаль
обратите внимание на случай, когда окрестностью точки А является Пе-544 Глава 12. Функции некоторых переменных И ресекается, то Е Д действительно, если^а, то аеа. В случае AeA, предполагая, что мы берем дополнение e D и множество A, мы получаем окрестности точки a-множества, которое не пересекает a (D)’, то есть мы получаем противоречие. Доказательство леммы заканчивается вот так. Нам дано, что AP^a и AP^A. следовательно, любая окрестность точки a включает точку AP множества A. В то же время мы доказали
следующее утверждение: Точка a принадлежит замыканию кратности A только в том случае, если каждая окрестность Sa точки a пересекается с A. В главе 4 подробно рассмотрено понятие непрерывности функций числовых аргументов. Это понятие вводит понятие непрерывного отображения, которое позволяет естественное обобщение в случае отображения одного метрического пространства на другое, хотя обычная функция числового аргумента больше не дается. O p R ed El EN I e12. Отображение одного метрического
- пространства (X, p) в другое (XO, P0) означает, что для каждой окрестности точки g (x), если существует такая окрестность X точки x (X), n e n в точке x будет отображено в ту же окрестность. Если G непрерывна во всех точках пространства X, такое отображение называется n e N p e R s в n s m на x. Следующая Лемма образует. Л е м м А4. Отображение g: X — *X0 метрического пространства X является непрерывным на X только в том случае, если изображение воспроизведения открытого множества открыто. Д О К а з а т е л ь с Т В О. мне нужно, чтобы g: x — >x0 было непрерывным отображением X в XO и открытым множеством XO. Если (So)={heh:g(x) eSo}=0, открытость
g_1(S0) очевидна, потому что 0 открыт. Пусть^»‘(s o)#^и x e S=^ _ I (S0). Поскольку Xeg-это^S o), g(x) e S0, следовательно, можно рассматривать как окрестности точки g (x). Учитывая тот факт, что G является непрерывным отображением на X(следовательно, точка x), существует окрестность Sx такой точки x, где g (Sx) является czSo, т. е. S^czg-1 (So). Поэтому для любой точки x^g — ‘(So) существует окрестность, такая как Sx cz (2O). S=U Sx, поэтому множество S открыто как объединение открытого множества Sx. Это открывает открытый набор прототипов. Достаточно г:При х-+х0 сопоставляется, считают, что играть образ открытого множества открыт.
Возьмите любую точку heh и любую окрестность Sg (x>в этом изображении в Людмила Фирмаль
Ho. Далее, Sx=g_I(Sg (x)) согласно условию является открытым множеством X, которое дополняет 2 545 То есть это окрестности точки x, а 2x изображения при отображении g включаются в Sg(X). Поскольку эти выводы применимы, для любой точки x^X отображение g непрерывно на X, и Лемма доказана. Шар-это открытый набор, и каждый открытый набор-это несколько шаров с его собственной любой из точек, которые он содержит, учитывая карту g:X ->- О п р ЕД е л я Е13. Отображение g на другое (XO, P0) одного метрического пространства (X, p) называется N e N R e r r s в NY m в точке T x, если любое число e>0, то точка y одинакова. Последнее определение можно также переформулировать следующим образом: отображение g: X — +XO непрерывно в x, если limg (t/)=g (x)), u — +x Из неравенства треугольника легко сделать вывод, что функция
расстояния p(x, y) непрерывна в X с фиксированными переменными y. * Функция p (x, y) определена в произведении Xxx и вычисляет x x x в метрическом пространстве XX. сопоставьте функцию p (x, y) произведением X. Непрерывность получается из h E R a V E N s t S R e x g o l n и K и|R (x, g) — R(p, u)|C|p(x, t/)+p(z, s) I.+r(m, x)<R(g/x)+r(x, Z)+p(z, s). Если метрическое пространство X является числовой осью с нормальным расстоянием между числами, т. е. пространство E1 и отображение g являются нормальными скалярными функциями над E1, то значение непрерывности 13 равно нулю. Вводится понятие Гомоморфизма. О п р ЕД е л я Е14. Отображение метрического пространства X g: X^ — XO в метрическое пространство XO означает отображение x на xo однозначно друг к другу и отображение g на g с обратным отображением G~l.
Смотрите также:
| Открытые и замкнутые множества | Компактность |
| Всюду плотные и совершенные множества | Определение топологического пространства. Хаусдорфово топологическое пространство. Примеры |
