Определение топологического пространства. Хаусдорфово топологическое пространство. Примеры

Определение топологического пространства. Хаусдорфово топологическое пространство. Примеры

• Определение топологического пространства. Дом Дорф топология пространства. Образцы. О п р ЕД е л я Е1. 1) множество X и пустое множество 0 принадлежат{S}и 2)любое число системных {2}множеств и любое число системных{2}множеств принадлежат{2}.} Система, удовлетворяющая условиям{2}1) -2), называется топологией на множестве X, множество конфигураций-из ky t s mi этой топологии*. Поэтому пары множеств X и топология{2}иногда удобно представляются в пространстве топологии (X, 2).Дополнение 2 559 Определение 1 определяет очень распространенный класс

пространств. Обычно этот класс несколько сужается, добавляя свойства 1)и 2) так называемых акси о м с О тд Эл и М О СТИ. Из этих аксиом мы рассмотрим наиболее часто используемые. ■A XI o m A T2(X AU SD o R f a): для любых различных точек x и y, принадлежащих множеству X, существует множество 2V, содержащее множество 2J, и точка y, содержащая точку x, и/=0. Фазовое пространство, удовлетворяющее аксиоме T2 (аксиома Хаусдорфа), называется x A y C d o r f o V y mi. А К С и о м а тг. Для любых двух различных точек x и y, принадлежащих множеству X, существует множество 2-х, принадлежащих Системе{2}, которые содержат точку x,

а не точку H, и 2-й, принадлежащий точке H. Фазовое пространство, Людмила Фирмаль

удовлетворяющее аксиоме T\, называется Ti-пространствами. Если аксиома T2 удовлетворена, то аксиома Ti удовлетворена, т. е. класс фазового пространства, удовлетворяющий аксиоме1), 2), T2 уже, чем класс фазового пространства, удовлетворяющий аксиоме1), 2).）、 Аксиомы, заполняющие пространство 1), 2), Ti и неудовлетворительные аксиомы 1), 2), T2, p и m er-это следующие топологические пространства. Множество X состоит из отрезков [0,1]точек и следующие множества считаются открытыми: X, 0,2 AP=[0, 1]{a»}, где{AP}является необязательным и возможным множеством аксиом отрезков0, 1, 2), понятно, что Ти доволен. Но аксиома T2 не выполняется. Не все фазовые пространства удовлетворяют аксиоме T.

Здесь есть традиционные ЕР Примечание. Множество X={a, B}состоит из двух точек. Топология задается открытым множеством, которое относится ко всем X, а пустое множество 0 и точка B. аксиомы 1)и 2) выполняются, а аксиомы L-нет. Показан наиболее распространенный пример топологического пространства. 1) рассмотрим любое метрическое пространство (X, p). Благодаря Лемме 1 раздела о метрическом пространстве открытые множества удовлетворяют свойствам определения 1) и 2) в топологическом пространстве. Аксиома Т2 (Хаусдорфа) также проводится в метрическом пространстве.если x=^y, то p (x, y)=a>0 и ball O(x,O(y, являются открытыми множествами в (X,p) O(x, N O(y,=0,560 Канала 12. Функц

• ии некоторых переменных Так что все метрические пространства(X, р) также haudorphic топологии пространства (х, е) и{2} — открытое множество систем(X, Р). 2) рассмотрим множество X любой природы. Обратимся только к целому множеству X и пустому множеству 0 системы{E}. Аксиома 1), 2) явно удовлетворена. Однако аксиома 7\и ТГ не удовлетворены. Такая топология называется n t I d i s-K R e t n o y. 3) Пусть X-произвольное множество. Все подмножества множества X легко проверить, что{E}является топологией Хаусдорфа. Эта топология называется R e t n o y от d и C. Давайте дадим следующее определение. О п р ЕД е л я Е2. Окрестность некоторого подмножества X(вероятно, самого X) называется любым открытым множеством, включая данное

подмножество (или X). Для каждой точки x, принадлежащей Топологическому пространству (X, S) в пределах каждой окрестности этой точки, назначается несколько точек, и независимо от точки x и ее произвольной окрестности Ex, выбранная точка назначается каждой точке. * Если X фиксирован, то система{2X’}является О П Р Е Д Е Л и у с т е й, С и с т е м о й К Р Е С т е й д А Н Н О Й К и Х. O p R ed El EN I e3. Другая региональная система{U}называется P R e d E l I Yu e St si St o th o K R E S t n O eat топологическое пространство. Следующие леммы являются допустимыми и обеспечивают удобный способ задания топологии. Л Е М М А1. Пусть X-произвольное множество. Для каждой точки x определяется несколько подмножеств Ex, называемых»соседями» и «точками x», и выполняются условия: а) каждая точка имеет по крайней мере одного из своих соседей,

своих соседей; и б) каждая точка имеет по крайней мере одного из своих Людмила Фирмаль

соседей; тогда система{E}относится ко всем возможным соседям точек Ex, множеству возможных пространств объединения и всем возможным является топологическое пространство «Соседство» — это система определения. Наоборот, таким образом можно получить все топологические пространства. Д О К а з а т е л ь с т в о. подтвердим достижение аксиомы фазового пространства 1) -2). Дело в том, что все X принадлежат{S}. Очевидно, что 0 связано с {2}условием. Аксиома 1) выполняется. Чтобы проверить axiom2, вам нужно проверить только для Sie{2}, S2e{S}. Таким образом, 21p2g может быть получен как объединение нескольких»соседей», т. е. в одной точке я подтверждаю, что he21p22 имеет»соседа»2xsg21p22, но поскольку Si и S2

принадлежат{2}, Существуют Sa’C S i и 2x2s2g cr-их точки пересечения содержатся условием b) точка x. некоторые ^ » И наоборот, учитывая фазовое пространство (X, S), любое множество из системы можно рассматривать как «окрестности» точки x, удовлетворяющей условию a) — b. {2}содержит точку X. Используя эту лемму, мы приводим пример еще двух топологических пространств Хаусдорфа. 1) Возьмите двумерную плоскость E2 как X. окрестность любой точки x^X получается из любой открытой ^ окружности в центре x, чтобы удалить все точки, кроме самой точки x на вертикальном диаметре этой окружности. Результирующее пространство топологии-Хаусдорф.

2) рассмотрим окрестности всех точек, кроме отрезков[0, 1], точка 0 как X, определим обычным способом окрестности точки 0, выбрасываем все [O, a), a>0, из которых точка n является натуральным числом. Это, как вы можете легко видеть, пример топологического пространства Хаусдорфа. (X, 2) как фазовое пространство, а Y как подмножество X.In подмножество X, можно думать о множестве следов, Система{2}, т. е. форма{2U}={Up2a}, 2A e{2}, так что топология дана Y, Y сам становится фазовым пространством, и (Y, 2U) называется N o d n R o s T T A n S V o M пространство (X, 2). Называется топология, заданная системой{2U}={UG|2A}, Sa e{2}. Как и в метрическом пространстве, пространство (X, 2) называется C в i z n s m, если его нельзя представить в виде знаменателя двух непустых отверстий.562Ч 12. Функции некоторых переменных Подмножество. Множество Y в топологическом пространстве (X, 2) связано как подпространство в(X, 2), если y связано.

Смотрите также:

Математический анализ 1 курс

Сходимость. Непрерывные отображения	Определение линейного пространства. Примеры.
Компактность	Операторы в линейных и нормированных пространствах.