Оглавление:
Системы линейных однородных уравнений
- Система линейных однородных уравнений Дана система линейных однородных уравнений anXi + a12x2 H —— h ainXn-O, a2 \ X \ + a-22 ^ 2 H —— H a2nxn = 0, Umi ^ i + am 2X2 + ••• + amnxn = 0. Очевидно, что однородные системы всегда совместимы (r (A) = r (A)) и имеют нулевое (тривиальное) решение x \ = x2 = … ••• = xn = 0. При каких условиях однородная система имеет ненулевое решение? Теорема 1. Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа неизвестных n, т. Е. R <n. М нужно.
Очевидно, что г ^ п, потому что ранг не может превышать размер матрицы. Если r = n, один из n × n миноров не равен нулю. Таким образом, соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: X {- = 0, D, = 0, A ^ 0. Так что нет другого решения, кроме тривиальных вещей. Так что, если есть важное решение, г <п. Достаточно. Если r <n, система того же типа, которая является соединением, не определена. Это означает, что существует множество решений.
Другими словами, существуют ненулевые решения. ► Людмила Фирмаль
| Решение систем линейных уравнений методом Гаусса | Векторы и линейные операции над ними |
| Приложение рядов к приближенным вычислениям | Проекция вектора на ось |
Примеры решения, формулы и задачи
| Решение задач | Лекции |
| Расчёт найти определения | Учебник методические указания |
- дать однородную систему из n линейных уравнений с n неизвестными a \ X \ 4- <212 ^ 2 + —- b °. \ nxn = 0, aniZi + ap2X2-I —- + appxn = 0 Теорема 2. Чтобы однородная система из n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель A был равен нулю, то есть A = 0.
«Если система имеет ненулевое решение, A = 0. Если D ^ 0, система имеет только одно ненулевое решение. Если A = 0, ранг r главной матрицы системы неизвестен. Меньше, чем число, т. Е. R <n, поэтому система имеет бесконечные (ненулевые) решения ► Пример: решить систему X \ -2×2-b 4js = 0, 2xi ~ 3×2 + 5×3 = 0 ♦ A = = 1 f 0, n = 3 Если r <n, в системе существует множество решений. Найди их xi-2×2—4a; ч, 2x ± -3x-2 = -5xs. -2 -3 От -4 Гц до 5 Гц -4×3 -5khz = Жз. так = 2×3, A2 = A = xi = ^ = 2×3, X2 = ^ = 3×3 — это общие решения. Размещение xs = 0 дает вам одно конкретное решение: x \ = 0, x2 = 0, xs = 0.
Размещение xs = 1 дает вам второе конкретное решение: x \ = 2, x2 = 3, x3 = 1 и т. Д. Людмила Фирмаль
