Оглавление:
Стационарные точки функции Лагранжа
Стационарные точки функции Лагранжа. В этом подразделе функция, которая была введена в 43.1,§(xn + 1,…функция Лагранжа (xn) описывает стационарную точку функции Лагранжа (43.13) (см. (43.8)).Сначала докажите 1 простую лемму из линейной алгебры. Дана система линейных однородных уравнений cX-Ch * * * ■ » I-SchnXn-0、1 = 1、2、…, / л, (43.18） И еще одно линейное однородное уравнение + * * * + bnxn =0.(43.19） Система уравнений, полученная путем объединения уравнения (43.19) с системой (43.18), называется расширенной системой (43.18(43.19). Lemma. In для того чтобы расширенная система (43.18) (43.19) была эквивалентна основной системе (43.18), необходимо и достаточно, чтобы уравнение (43.19) представляло собой линейную комбинацию уравнений системы (43.18).
Уравнение (43.19) является линейной комбинацией уравнения в системе (43.18) только в том случае, если оно является линейной комбинацией системы, заданной из остальных уравнений. Людмила Фирмаль
- Чтобы полученное уравнение (43.19) было линейной комбинацией уравнений (43.18) или таким же, как вектор、 Б ^φ…(43.20)） Это была линейная комбинация векторов. «; М («т,…. ref), 1 = 1, 2,…, Т, (43.21） Необходимо и достаточно, чтобы каждое решение системы (43.18) было решением уравнения (43.19). Доказательство леммы. Пусть ранг матрицы (коэффициент Дцц системы) (43.18) равен M0.Очевидно, что если m равно m и-m0 равно m, то m-m0 в уравнении (43.18) системы является еще одной линейной комбинацией. Остальные линейные комбинации получают систему линейных независимых уравнений, эквивалентную системе (43.18) из m0. m0. начиная с n я стал считать, что m =ω0, то есть ранг матрицы коэффициентов в системе(43.18) (a^) равен m(числу уравнений в этой системе).
Сделайте систему (43.18) и(43.18)-(43.19) эквивалентной. Это означает, что пространство принятия решений для них будет совпадать. Поскольку все уравнения в основной системе (43.18) содержатся в расширенной системе (43.18)-(43.19), каждое решение в расширенной системе также является решением в основной системе. То есть пространство решения системы расширения входит в пространство решения main$ 43. 102. Ной системы. Поэтому совпадение этих пространств соответствует равенству их размеров. Размерность 5 пространства решения линейной однородной системы уравнений равна неизвестному n этой системы, как известно, из которого вычитается ранг r матрицы коэффициентов системы. s = n-r. эквивалентность систем-(43.18) и (43.18) (43.19) означает их матричный ранг equivalence. By предположим, ранг матрицы коэффициентов системы (43.18) равен m. то есть вектор(43.21) линейно независим.
- Ранг матрицы коэффициентов расширенной системы (43.18) равен (43.19) согласно тому, что было сказано на наших условиях, она также равна pg. Поэтому смотрите вектор ((43.20) и (43.21） Б, а…. АП (43.22)） Линейная зависимость. Это потому, что b-вектор A… это означает, что an является линейной комбинацией Фактически линейная зависимость вектора (43.22) означает, что существует p0, число Pb. Р0&+ p1a1 + … + rotyot =0.(43.23） Где, по-видимому, p0Φ0-вектор АВ… …это потому, что am оказывается линейно зависимым. Если разделить равенство (43.23) на p0, то B-вектор ЙХ,…и вы можете видеть, что это линейная комбинация am. И наоборот, если b-линейная комбинация векторов (43.21), векторные системы (43.21) и (43.22) имеют строго m линейных независимых векторов.
То есть ранг матрицы коэффициентов системы уравнений (43.18) и (43.18)-(43.19) равны. Итак, условие, что вектор b является линейной комбинацией векторов(43.21). Б = YHY1 + … + ктат Равен равенству ранга рассматриваемого основного уравнения и матрицы коэффициентов системы расширенных уравнений, а следовательно, и их эквивалентности. Ноль Результат непосредственно вытекает из леммы, так как системы (43.18) и (43.18)-(43.19) очевидно эквивалентны только в том случае, если каждое решение системы (43.18) является также решением уравнения (43.19). С. 、 Примечания: 1.
Доказанная Лемма и ее результаты дают простую геометрическую интерпретацию в положительно-мерном евклидовом векторном пространстве A, то есть в безразмерном пространстве со скалярным произведением. Людмила Фирмаль
- Используя скалярную нотацию продукта, система (43.18) может быть записана как: (43.24） («»X）= 0、/ = 1、2、…. т.、 43.4*.Стационарная точка функции Лагранжа И форма Формулы (43.19) (43.25 )） (Б, х) о、 Вектор AI …. я и B определены в (43.20) и (43.21) и AX = ==(Икс.,±..Xn）• Вектор АВ… …множество линейных комбинаций всех видов am образует подпространство пространства Kn, и эти векторы называются подпространствами. X (a1,…обозначается символом Множество решений системы (43.24) состоит из подпространства X(a1,…), состоящего из всех векторов x, ортогональных (,,, am).Этот набор решений представлен T. Это также подпространство пространства%N.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
