Оглавление:
Свойства сходящихся последовательностей
- Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
- Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.
- Сходящаяся последовательность ограничена.
- Если последовательность
имеет предел
, то, начиная с некоторого номера
. выполняется неравенство
, т. е. члены последовательности сохраняют знак числа
.
- Пусть
и, начиная с некоторого номера
, выполняется неравенство
, тогда
.
- Пусть для последовательностей
выполнены неравенства
. Тогда
.
- Если последовательности
сходятся и
,
, то:
![Свойства сходящихся последовательностей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-6480.png)
Таким образом, согласно свойству 7, арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.
На основании свойства 2 можно получить условие расходимости последовательности.
Следствие 2.2*. Если из последовательности можно выделить две подпоследовательности
сходящиеся к
,
, то
не имеет предела.
Пример 2.6.
Доказать, что последовательность не имеет предела.
Решение:
Выделим из исходной последовательности две подпоследовательности:
![Свойства сходящихся последовательностей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-6487.png)
Так как то исходная последовательность не имеет предела.
Замечание 2.1. Обратное к свойству 3, вообще говоря, не верно, т. е. ограниченная последовательность может не быть сходящейся.
Определение 2.9. Последовательность называется:
- возрастающей, если
…;
- неубывающей, если
…;
- убывающей, если
… ;
- невозрастающей, если
…
Все указанные последовательности называются также монотонными, а возрастающая и убывающая последовательности — строго монотонными.
Теорема 2.3. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.
Доказательство.
Необходимость. Согласно свойству 3, всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Достаточность. Пусть монотонно неубывающая ограниченная сверху последовательность, т. е.
и
такое, что
.
Рассмотрим числовое множество А, состоящее из элементов данной последовательности. Это множество ограничено сверху и непусто. Поэтому А имеет точную верхнюю грань . Тогда, по определению
. Так как
— точная верхняя грань множества элементов последовательности
, то для
, такой, что
, и так как последовательность
неубывающая, то при
.
Таким образом, , т. е.
. А это и означает, что число а — предел последовательности
.
Аналогично доказывается случай монотонно невозрастающей последовательности. ■
Замечание 2.2. На основании данной теоремы можно доказать существование предела последовательности , а именно
, где
(число Эйлера) — иррациональное число,
Теорема 2.4* (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Определение 2.10. Совокупность отрезков , образует систему вложенных отрезков, если выполнены следующие условия:
![Свойства сходящихся последовательностей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-6510.png)
Система вложенных отрезков будет системой стягивающихся отрезков, если
![Свойства сходящихся последовательностей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-6511.png)
Теорема 2.5 (Кантора). Всякая последовательность вложенных стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку, принадлежащую всем отрезкам.
Доказательство.
Из (2.2) следует, что монотонные последовательности концов отрезков сходятся, причем из равенства (2.3):
![Свойства сходящихся последовательностей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-6513.png)
Тогда
![Свойства сходящихся последовательностей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-6515.png)
Из теоремы 2.3 следует, что общей точкой, принадлежащей отрезкам является
![Свойства сходящихся последовательностей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-6517.png)
Пример 2.7.
Найти предел .
Решение:
![Свойства сходящихся последовательностей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-6519.png)
Ответ: .
Пример 2.8.
Найти предел .
Решение:
![Свойства сходящихся последовательностей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-6522.png)
Ответ: 0.
Пример 2.9.
Найти предел .
Решение:
![Свойства сходящихся последовательностей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-6524.png)
Ответ: -4.
Пример 2.10.
Найти предел .
Решение:
![Свойства сходящихся последовательностей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-6526.png)
Ответ: .
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: