Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Так как при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси расстояние каждой из его точек до оси вращения должно оставаться неизменным, то очевидно, что все его точки описывают в этом движении окружности, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Центры этих окружностей лежат на оси вращения и радиус каждой из них равен расстоянию соответствующей точки тела до оси вращения.

Очевидно, что радиусы всех этих окружностей поворачиваются за один и тот же промежуток времени Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела на один и тот же угол Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела, равный приращению угла Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела поворота тела за этот промежуток времени, но точки, лежащие на разных расстояниях от оси вращения (точки Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела и Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела на рис. 118), опишут при этом дуги различной длины.

Зная угловую скорость Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела тела и расстояние Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела какой-нибудь точки Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела тела от оси вращения, легко найти и скорость Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела этой точки.

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Пусть за промежуток времени Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела, соответствующий приращению Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела угла поворота угла, данная точка перемешается из положения Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела в положение Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела (рис. 118).

Длина дуги Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела, пройденной точкой Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела по ее траектории, равна приращению Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела дуговой координаты Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела этой точки.

Алгебраическое значение скорости точки, как известно, равно производной от ее луговой координаты по времени

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Но длина дуги окружности равна ее радиусу Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела, умноженному на соответствующий центральный угол в радианах, т. е. Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела.

Подставляя значение Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела в предыдущее равенство, получаем:

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Алгебраическое значение скорости точки вращающегося тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние данной точки от оси вращения

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Направлен вектор Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела скорости точки по касательной к траектории точки в сторону вращения тела. Иными словами, этот вектор перпендикулярен к радиусу, соединяющему ось вращения с рассматриваемой точкой. Из формулы (83) следует, что скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям этих точек от оси вращения.

Так как в формуле Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела приращение угла Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела должно быть обязательно выражено в радианах, то и угловая скорость в формуле (83) должна обязательно выражаться в рад/сек, рад/мин и т. д., но не в об/сек или в об/мин. Только в этом случае будет получаться принятая размерность скорости Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела.

При любом вращательном движении тела скорости Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела его точек непременно изменяются (только по направлению при равномерном вращательном движении или и по направлению и по модулю при неравномерном вращательном движении), следовательно, точки вращающегося тела всегда движутся с некоторым ускорением.

Ускорение Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела точки вращающегося тела, как и ускорение всякого криволинейного движения точки, может быть разложено на касательное ускорение Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела часто называемое в этом случае вращательным ускорением, и нормальное ускорение Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела называемое в этом случае центростремительным ускорением.

Полагая в формулах (68) и (69) для касательного и нормального ускорения точки Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела и радиус кривизны Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела траектории равным радиусу окружности, описываемой точкой, будем иметь:

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Величина вращательного ускорения тонки равна произведению углового ускорения тела на расстояние данной точки от оси вращения:

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Модуль центростремительного ускорения точки равен квадрату угловой скорости тела, умноженному на расстояние данной точки от оси вращения:

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела
Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Направление вращательного ускорения точки совпадает с направлением ее скорости в случае ускоренного вращения тела (рис. 119, а) и направлено в сторону, противоположную скорости, в случае замедленного вращения (рис. 119, б).

Центростремительное ускорение точки всегда направлено к центру окружности, описываемой точкой.

Зная вращательную и центростремительную составляющие ускорения Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела точки, всегда можно найти величину и направление этого ускорения, изображаемого диагональю прямоугольника, построенного на векторах Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела и Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела (рис. 119).

Модуль этого ускорения

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Острый угол Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела между направлением ускорения Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела точки и направлением радиуса (внутренней нормали к траектории) найдется из формулы

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Для получения правильной размерности ускорений Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела, Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела и Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела в формулы (84), (85) нужно подставлять в

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Пример задачи:

Шкив диаметром 600 мм вращается вокруг его оси. Скорость точек на его ободе равна в данный момент 1,5 м/сек.

Определить угловую скорость шкива в оборотах в минуту.

Решение:

По формуле (83) Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела вычисляем сначала угловую скорость Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела шкива

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела
Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Пользуясь зависимостью (80) Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела, находим затем угловую скорость Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела шкива

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Пример задачи:

Маховик имеет в данный момент угловую скорость Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела рад/сек и угловое ускорение Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела. Найти скорость, вращательное, центростремительное и полное ускорения точки Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела маховика, находящейся на расстоянии 0,8 м от оси вращения.

Решение:

Скорость точки

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Вращательное ускорение точки

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Так как знаки Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела и Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела различны, то маховик вращается замедленно и потому ускорение Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела точки направлено в сторону, противоположную ее скорости (рис. 120). Центростремительное ускорение точки

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Полное ускорение точки

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Частные случаи движения точки
Поступательное движение
Частные случаи вращательного движения твердого тела + пример с решением
Угловая скорость тела как вектор. Выражение скорости точки тела в виде векторного произведения. Понятие о свободном движении твердого тела