Оглавление:
Уравнения движения плоской фигуры. Уравнения движения точки плоской фигуры
Возьмем в плоскости движения фигуры 
систему координат 
, неподвижную по отношению к этой плоскости. Выберем на фигуре какую-либо точку 
и примем ее за начало другой системы координат 
, неизменно связанной с движущейся фигурой (рис. 143).
Положение подвижной системы координат , а следовательно, и самой фигуры в ее плоскости, определяется положением точки и углом 
поворота фигуры (т. е. углом между положительными направлениями осей 
и 
).
Произвольная точка , неразрывно связанная с движущейся фигурой и выбираемая для определения положения фигуры, называется полюсом.
При движении фигуры в ее плоскости координаты полюса (в нашем случае точки ) и угол изменяются с течением времени и являются однозначными и непрерывными функциями времени:
Если эти функции известны, то для каждого момента времени можно найти соответствующие ему значения 
и и следовательно, определить положение движущейся фигуры в ее плоскости.
Таким образом, уравнения (98) являются уравнениями движения плоской фигуры или, что то же, уравнениями плоского движения тела.
Если движение фигуры 
задано уравнениями (98), то нетрудно найти и уравнения движения любой ее точки 
.
Как известно из аналитической геометрии (формулы преобразования координат при повороте координатных осей и переносе их начала), координаты 
и 
точки относительно «неподвижной» системы координат 
будут выражаться следующими зависимостями:
где — координаты полюса (произвольной точки фигуры), 
— координаты точки относительно подвижной системы координат неизменно связанной с данной фигурой; — угол поворота фигуры.
Уравнения (99) являются уравнениями движения произвольной точки фигуры в ее плоскости.
Эти уравнения позволяют аналитически определить траекторию, скорость и ускорение любой точки плоской фигуры.
Пример задачи:
Линейка 
эллипсографа (рис. 144) приводится в движение кривошипом 
, вращающимся с постоянной угловой скоростью 
. Составить уравнения движения линейки и ее точки . Найти также траекторию этой точки.
Дано:
Решение:
Возьмем за начало неподвижной системы координат центр 
вращения кривошипа. Ось направим горизонтально вправо, ось — вертикально вверх.
За начало подвижной системы координат примем точку 
. Ось 
направим вдоль линейки вправо, ось 
— вверх.
Как видно из рис. 144, координатами полюса будут:
Угол поворота равномерно вращающегося кривошипа 
Из рис. 144 нетрудно видеть, что направление поворота линейки эллипсографа относительно полюса противоположно направлению вращения кривошипа, следовательно, соответствующий углу а поворота кривошипа угол поворота линейки эллипсографа
Таким образом, уравнениями движения линейки будут:
Координаты точки этой линейки в подвижной системе (рис. 144):
По формулам (99) находим теперь уравнения движения этой точки в плоскости :
Полученные уравнения движения точки служат одновременно и уравнениями ее траектории в параметрической форме. Для того чтобы получить уравнение траектории в обычной форме, исключим из них параметр 
:
Следовательно, траекторией любой точки линейки будет эллипс с полуосями
и центром в точке .
По найденным уравнениям (1) движения точки в прямоугольных координатах нетрудно найти как проекции
ее скорости, так и проекции
ее ускорения на координатные оси, а затем модули и направления скорости 
и ускорения 
точки для любого момента времени.
Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Теоретическая механика — задачи с решением и примерами
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:
