Оглавление:
Уравнения движения плоской фигуры. Уравнения движения точки плоской фигуры
Возьмем в плоскости движения фигуры систему координат
, неподвижную по отношению к этой плоскости. Выберем на фигуре
какую-либо точку
и примем ее за начало другой системы координат
, неизменно связанной с движущейся фигурой (рис. 143).
Положение подвижной системы координат , а следовательно, и самой фигуры
в ее плоскости, определяется положением точки
и углом
поворота фигуры (т. е. углом между положительными направлениями осей
и
).
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33140.png)
Произвольная точка , неразрывно связанная с движущейся фигурой и выбираемая для определения положения фигуры, называется полюсом.
При движении фигуры в ее плоскости координаты полюса (в нашем случае точки
) и угол
изменяются с течением времени и являются однозначными и непрерывными функциями времени:
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33141.png)
Если эти функции известны, то для каждого момента времени можно найти соответствующие ему значения и
и следовательно, определить положение движущейся фигуры
в ее плоскости.
Таким образом, уравнения (98) являются уравнениями движения плоской фигуры или, что то же, уравнениями плоского движения тела.
Если движение фигуры задано уравнениями (98), то нетрудно найти и уравнения движения любой ее точки
.
Как известно из аналитической геометрии (формулы преобразования координат при повороте координатных осей и переносе их начала), координаты и
точки
относительно «неподвижной» системы координат
будут выражаться следующими зависимостями:
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33158.png)
где — координаты полюса
(произвольной точки фигуры),
— координаты точки
относительно подвижной системы координат
неизменно связанной с данной фигурой;
— угол поворота фигуры.
Уравнения (99) являются уравнениями движения произвольной точки фигуры в ее плоскости.
Эти уравнения позволяют аналитически определить траекторию, скорость и ускорение любой точки плоской фигуры.
Пример задачи:
Линейка эллипсографа (рис. 144) приводится в движение кривошипом
, вращающимся с постоянной угловой скоростью
. Составить уравнения движения линейки и ее точки
. Найти также траекторию этой точки.
Дано:
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33165.png)
Решение:
Возьмем за начало неподвижной системы координат центр вращения кривошипа. Ось
направим горизонтально вправо, ось
— вертикально вверх.
За начало подвижной системы координат примем точку . Ось
направим вдоль линейки вправо, ось
— вверх.
Как видно из рис. 144, координатами полюса будут:
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33172.png)
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33173.png)
Угол поворота равномерно вращающегося кривошипа Из рис. 144 нетрудно видеть, что направление поворота линейки эллипсографа относительно полюса
противоположно направлению вращения кривошипа, следовательно, соответствующий углу а поворота кривошипа угол
поворота линейки
эллипсографа
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33176.png)
Таким образом, уравнениями движения линейки будут:
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33177.png)
Координаты точки этой линейки в подвижной системе (рис. 144):
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33178.png)
По формулам (99) находим теперь уравнения движения этой точки в плоскости :
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33179.png)
Полученные уравнения движения точки служат одновременно и уравнениями ее траектории в параметрической форме. Для того чтобы получить уравнение траектории в обычной форме, исключим из них параметр
:
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33182.png)
Следовательно, траекторией любой точки линейки будет эллипс с полуосями
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33183.png)
и центром в точке .
По найденным уравнениям (1) движения точки в прямоугольных координатах нетрудно найти как проекции
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33184.png)
ее скорости, так и проекции
![Уравнения движения плоской фигуры](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33185.png)
ее ускорения на координатные оси, а затем модули и направления скорости и ускорения
точки
для любого момента времени.
Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Теоретическая механика — задачи с решением и примерами
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы: