Оглавление:
Устойчивость нестационарных систем
- Устойчивость нестационарных систем Лин * Другие системы с переменными параметрами или нестационарные системы (см. § 2.9) называются системами, в которых процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями с изменяющимися во времени коэффициентами. K (0 Pn + (0 Pn ~ 1 + … + 0 * (01 * (0 = 1 * 9 10 Pt +) + + … + * t (01 * (0. (3.109) Где * (/) и g (0 — выходная и входная величины системы соответственно. В | (0 »MO ~~ — известная функция времени, переменный коэффициент задается графически или аналитически). .Jp = d / dt является дифференциальным символом. Для нестационарных систем понятие устойчивости имеет несколько характеристик.
Конечно, если предположить, что системное входное значение равно g (t) = g0-const, а переходный процесс системы завершился к моменту времени tt, то есть, если p = d / dt = 0, из (3.109) t> tt 4 * (0 = <zl, °) ap (O Из (3.110) видно, что выходной сигнал изменяется бесконечно, даже при постоянном входном сигнале, в зависимости от характера изменений коэффициентов an (t) и bm (t) нестационарной системы.
Поскольку время работы реальной системы ограничено, концепция асимптотической устойчивости (см. П. 3.2) практически не имеет значения, поскольку установившиеся значения не наблюдаются во время работы в нестационарных системах. Людмила Фирмаль
Хотя существуют точные методы исследования устойчивости нестационарных систем, они очень сложны и на практике обычно используют методы аппроксимации. Простейшим методом аппроксимации для исследования устойчивости нестационарных систем является метод коэффициента замораживания. Он может использоваться, когда нестационарная система работает с ограниченным интервалом времени T.
Кроме того, коэффициент в уравнении (3.109) в процессе миграции системы остается относительно неизменным. Согласно этому способу для конкретного фиксированного значения в момент времени t = tk определяются соответствующие значения коэффициента дифференциального уравнения (3.109) и bt (tk), и исходная нестационарная система заменяется фиктивной устойчивой системой. Последняя стабильность исследуется с использованием одного из вышеуказанных критериев устойчивости. Если полученная таким образом стационарная система является стабильной, то исследуемая переходная система считается устойчивой при рассмотрении.
Предмет теория автоматического управления тау
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Затем проводится аналогичное исследование устойчивости для других постоянных моментов в интервале 0 t 7 \ (где T — время работы системы). Если условия установившейся устойчивости, полученные методом замораживания коэффициентов, выполняются на всем рабочем интервале времени T, начальная нестационарная система в этом интервале считается устойчивой. Отметим, что результаты, полученные при исследовании устойчивости нестационарных систем методом замораживания коэффициентов, очень ненадежны, поскольку сам метод не является математически обоснованным. Степень надежности увеличивается по мере изменения коэффициента в процессе миграции.
Эффективность рассматриваемого метода может зависеть от правильного выбора фиксированных точек, в которых коэффициенты заморожены. Эти моменты следует выбирать так, чтобы они охватывали все возможные вариации значений коэффициентов. В частности, обратите внимание на «опасную» точку, где коэффициент сильно меняется, и на изменение его знака. Пример 3.10. Система автоматического управления описывается дифференциальными уравнениями Kp * + achr * + c, (0 p + 1 / ^ 1 = 10 1. Время перехода / n << Зл «1 =» 0,33 с. В случае (3.113) корень pt равен -25 с «1; ps_.s = (-8,8 ± / 8,7) с-1. Устойчивость равна rj = 8,8 с» 1. Время переходного процесса составляет <Зп1 = = 0,34 с. В процессе перехода коэффициент a2 (0 изменяется со значением ДДг »0,1 * 0,34 = 0,034 и составляет около 0,05%.
Следовательно, систему можно рассматривать как квазистационарную. Людмила Фирмаль
Устойчивость замораживает коэффициент характеристического уравнения Используя критерий устойчивости Гурвица, вы можете получить ayu (()> aoa3. Подстановка числа дает 4.2 (72-0.1 /)> 40. Окончательное неравенство равно 0 </ <Г. Исходная нестационарная система устойчива. В общем случае используйте понятие технической устойчивости или устойчивости в течение конечного интервала времени при изучении устойчивости нестационарной системы, если коэффициенты в уравнении (3.109) значительно различаются. Если выходная величина x (t) не равна npseocxodum определенного значения, система считается технически стабильной (добавленной через определенный интервал времени * 0 системы T </ <7 ) На рисунке 3.34 показан возможный график x (t) для нестационарной системы.
Кривые / и 2 соответствуют технически стабильным системам, а кривые 3 и 4 соответствуют технически нестабильным системам. Рисунок 3.34 показывает, что система технически стабильна и асимптотически неустойчива (кривая /), и наоборот, она технически нестабильна и асимптотически устойчива (кривая 3). В нестационарных системах изменения x (t) зависят от момента подачи входного сигнала g (t) tro, поэтому начальные условия и характер входного сигнала влияют на техническую стабильность. , В настоящее время не существует достаточно простого и достаточно общего стандарта для технической устойчивости.
По сути, единственный способ проверить устойчивость нестационарной системы состоит в том, чтобы найти кривую выходного значения ‘x (t) для конкретного входного действия g (t) (возмущение). Определение x (t) обычно выполняется с использованием различных приближенных методов анализа или с помощью математического моделирования на аналоговом или цифровом компьютере. Рисунок 3.34.
