Оглавление:
Устранимые особые точки
Если — устранимая особая точка, то в окрестности точки разложение (76.11) имеет вид . Это разложение справедливо во всех точках круга , кроме точки . Если положить , где (т. е. определить функцию в точке ), то функция станет аналитической во всем круге (включая его центр ); особенность точки устраняется, точка становится правильной точкой функции ).
Из равенства следует, что в достаточно малой окрестности устраняемой особой точки функция является ограниченной.
Справедливо и обратное утверждение: изолированная особая течка является устранимой, если существует конечный предел .
Полюсы
Если — полюс, то в окрестности точки разложение (76.11) имеет вид
где . В этом случае полюс называется полюсом -го порядка функции ; если , то полюс называется простым.
Запишем последнее равенство в виде
или
где — аналитическая функция, причем . Отсюда следует, что при , т. е. в достаточно малой окрестности полюса функция бесконечно велика.
Справедливо и обратное утверждение: изолированная особая точка является полюсом, если .
Из равенства (76.16) имеем . Отсюда получаем
удобный способ определения порядка полюса , если
то точка есть полюс -го порядка.
Имеется связь между нулем и полюсом функции.
Теорема 76.6. Если точка — нуль -го порядка функции , то является полюсом -го порядка функции ; если точка — полюс -го порядка функции , то является нулем -го порядка функции .
Докажем первую часть теоремы. Пусть есть нуль -го порядка для функции . Тогда имеет место равенство , где аналитична в точке , причем . Тогда и . Это означает (см. (76.17)), что для функции точка является полюсом -го порядка. Вторая часть теоремы (обратной) доказывается аналогично.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Нули аналитической функции |
Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции |
Существенно особая точка |
Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов |