Оглавление:
Вероятность и частота
- Процесс познания мира включает в себя наблюдение и Эксперимент. Во многих случаях наблюдения Представлено последовательностью действительных чисел * Извлечь Необходимо иметь полезную информацию и модель явления. вероятно Вероятностные модели очень полезны, когда: Анализ явления, есть некоторые результаты Степень неопределенности. Понятие неопределенности в теории Вероятность Установите% вероятности всех возможных наблюдений x. профессиональный Это самый простой случай для меня? -Конечный или счетный набор. Учитывая вероятности p (x) для всех элементов x, O ^ () ^ <1 и Подмножество A = I? Это называется событием, Его вероятность определяется по формуле
Пример 1 (случайный выбор с использованием возврата). воображать Урна с N шариками, пронумерованными от 0 до N-1 все Отказы, которые могут произойти, представлены многими людьми. Из последовательности Nn: R = {x = (x, x «): x, = 0, .1 N-1; i = lp). Равномерное распределение вероятностей установлено в 9B: p (x) = ¦ = LM «для всех xeJ?, Отражает степень неопределенности Неопределенность каждой возможной неудачи. Пример 2 (случайный выбор без возврата). Случай из Урна с N шарами «случайно» Шар не возвращается, n <N, описывает возможный следующий результат N (N-1) … (N-n + 1) = Nl / (N-n) \ Последовательность: ? = {X = (x1, x2, …, xn): qc <= 0, \, … N— \, X ^ Φ} в 1FG, i, / = l l}, А ч?
<blockquote>
Рассмотрим n раз опыт извлечения Затем мяч «случайным образом» возвращается в урну для голосования.
<cite>Людмила Фирмаль</cite></blockquote>
Распределение вероятностей _ снова является равномерным. Любой х Связь между явлением и его стохастической моделью Статистический характер, то есть обнаруженный при повторении Наблюдение за феноменом. Частота длинных результатов строки Тесты стабильны и колеблются с увеличением количества тестов Тестирование сокращено. Этот эмпирический факт называется законом Законы частотной устойчивости соблюдаются в различных ситуациях Ситуация.
Считается, что уже за пределами реального опыта Повторение частоты бесконечно имеет тенденцию быть ограниченным. Принято как вероятность каждого результата Или события. 2. Таблица случайных чисел. Посмотри на стол. 7.1, и книги Л.Н. Ларгера и Н.Н.В.Смир- Смирнова [1], содержащая 12500 «случайных чисел» Представьте себе реализацию опыта, описанного в Пример 1 с N = 10, l = 12500, после изменения частоты Появление числа «0» по мере увеличения числа наблюдений. кратко Сгруппируйте первые 100 цифр таблицы для более удобного анализа (Читайте по одной строке за раз) 10 цифр, следующие 900 — 100 цифр, Следующие 9000-1000 соответственно.
- Количество и частота наблюдаемых нулей Итоги собраны по таблицам и группам. 1. Это легко заметить. Посмотрите на последний столбец в таблице 1. Вибрация частоты м / н ослабевает с увеличением n. 3. Парадокс де Мере. Рассмотрим проблему, якобы поднятую Игорный стол Это было предложено Паскалю в 1654 году. Игрок де Вероятность получения хотя бы одной единицы р \ На один меньше при бросании четырех кубиков (Событие A) Вероятность того, что как минимум две единицы упадут одновременно Бросьте две кости за 24 броска (Событие B) и играйте в игру Событие B
Изменение частоты появления нулей в 10 000 случайных чисел Колебание номер Группа девушка 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 нуль В группах 2 1 0 2 0 2 0 2 3 2 14 9 13 8 16 14 6 9 8 97 106 99 91 97 91 100 117 89 Нулевая частота В группах 0.2 0,1 0,0 0.2 0.0 0.2 о 0.2 03 0.2 0,14 0,09 0,13 0,08 0,16 0,14 0,06 0,09 0,08 0097 0,106 0099 0091 0097 0091 0100 0,117 0,89 накопление Количество Наблюдения, н 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 накопление Количество нулей, т 2 3 3 5 5 7 7 9 12 14 28 37 50 58 74 88 94 103 111 208 314 413 504 601 692 +792 909 998 Совокупное время Нулевая частота, т / п 0.2 0,15 0,10 0,15 0,16 0,116 0100 0112 0,133 0,140 0,140 0,123 0,125 0,116 0,123 0,125 0,117 0,114 0,1110 0,1040 0,1046 0,1032 0,1008 0,1001 0,0988 0,0990 0,1010 0,0998 Однако эти вероятности легко рассчитываются. P (A) = pi = 1-E / 6L = 0,5177 …, P (B) = p2 = 1-C5 / 36J4 = = 0,4914 … де
Presents Представьте себе опыт бросания и бросания четырех кубиков Повторяется n раз из 24 бросков двух кубиков. снова В результате теста t-ro t = l, 2, …, n описывается парой (xt, yi). Xi = \ A / 1 = 1) Если происходит событие A E), и установите # = 0 (t / i = 0), когда событие A (B) не произошло. Обозначается л = \ Естественный вопрос, сколько основатель Углубленное сравнение вероятностей p1 и pr для частот ninin и n & jn. Результат Игра с использованием таблицы случайных чисел из [1]. моделирование L мВт мм п / п 25 0,68 0,52 50 0,54 0,50 100 0,53 0,48 250 0,488 0,508
Мере не имел доступа к этим расчетам, поэтому его В заключение он может опираться на экспериментальные данные. Людмила Фирмаль
Как видите, это P > p2, но если n = 250, это «не повезло» — trfnln ). Вероятностное пространство. Где Q — некоторый набор. Элемент, элемент которого называется базовым событием, st- Система состоит из подмножества набора Q, называемого событиями, и Функция вероятности, связанная с каждым событием Событие A, называемое числом 9 * (A), 0 <^ (A) a ^ 1, вероятность. Согласно аксиоме Колмогорова, это необходимо Система событий была закрыта в связи с переходом на добавление Дополнительные и окончательные или связанные с: , Я = \, 2, … Также включает в себя все Q: Q & S? А б (Q) = 1 (легко Конечное или счетное пересечение событий Событие); вероятностная мера и должна принадлежать По свойству счетной аддитивности: Aif [Aj = 0 для 1 <p, Где индекс i выполняется на конечном или счетном множестве.
Феномен стохастической модели связывает результаты Результаты наблюдений Xl, X2, …, Xn C) Функции в последовательности случайных величин (эл.в.) — Q: * i (<o), X2 (<o) * „(©). D) Наблюдение в C) считается значением в D) Ш реализация. Несмотря на разницу между объектами C) и D) В математической статистике принято называть оба Отбор проб. Статистические правила для числовых данных Фактический эксперимент в) удовлетворить стохастическое утверждение Г) для случайных величин. 5. Много законов. Tab. 1 Компиляция из генерации результатов теста Последовательность «случайное число».
Где x = 1/10. м обозначает его номер Появление числа 0 в первых n тестах. Последний анализ Столбец 1 имеет нулевую частоту тп / нс При увеличении n оно будет уменьшаться в районе 1/10. Это Выражение эмпирического правила для стабильности частоты. По словам Соответствующее математическое утверждение — закон больших чисел C. B. B) Есть. с. X {. Представляем дерево индикаторов. с. ‘{x, w «= o Если Xi (©) = 0, ) Если X <(©) ^ 0, я = я Тогда 3.Б.Ч. В развернутом виде, выраженном как соотношение ? * (LimvJn = p) = 1. L-мо Для практических целей полезно иметь оценку вероятности 0> (\ vjn-p \ <6) Конечно Это можно сделать с помощью дистрибутива ВН вероятность: &> (Vn = m) = Cnmpm (\ -p) n — \ m = 0,1,2, …. га, E) Где р = 1/10.
Для / t = 10 расчет по уравнению E) выглядит следующим образом: Значения (см. Таблицу 5.1 для биномиального распределения [1]): T SF (vn <м) 0 0,3486 0,3486 0 0 1 3874 7360 2 0,1937 0,9297 3 0,574 0,9871 0 0 4 0111 9982 5 0,0014 0,9997 0 0 6 0001 9988 n = 100 и прямой расчет по формуле E) Нереально. Хорошая аппроксимация биномиального распределения 13 Раздел E) дает распределение Пуассона в этом случае: ^ 1м = 0) 1,2 От! Где Λ = π / == 10. Согласно таблице, распределение Пуассона 5,3 [1] Я нашел приблизительную вероятность PI 1 0,3639 2 0,5711 3 0,7340 4 0,8490 5 0,9215 6 0,9620 7 0,9822 8 0,9914 Если l = 1000, нормаль должна использоваться для расчета E)
Обычное приближение х («Pgpr 6) са; = 0,01, F) Где мы используем 6 = 0,3 для l = 10 и для l = 100—6 = 0,08; „= 1000-6 = 0,025. F) статистический смысл неравенства Повторите эксперимент, чтобы сгенерировать n случайных чисел. Результат многих таких экспериментов N Представлено последовательностью х? , 4L xf, / = 1, 2 N, G) И пусть mf будет числом нулей в G). Показать числа с Mt Неравенства для этих последовательностей G) | м ^ / л-р | <6. 14 Далее выполняется приближенное уравнение MJN? S \ -Oh Представление законов стабильности частоты, связанных с событиями
Смотрите также:
| Наилучшие оценки в случае матрицы неполного ранга | Эмпирическое распределение вероятностей |
| Наилучшие оценки как оценки наименьших квадратов | Порядковые статистики в задачах оценивания |
