Оглавление:
Вычисление криволинейного интеграла II рода
Вычисление криволинейного интеграла II рода, как и I рода, может быть сведено к вычислению определенного интеграла.
Параметрическое представление кривой интегрирования
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями и , где функции и непрерывны вместе со своими производными и на отрезке , причем начальной точке кривой соответствует значение параметра , а конечной точке — значение . И пусть функция непрерывна на кривой . Тогда, по определению,
Преобразуем интегральную сумму к переменной . Так как
то по формуле Лагранжа (см. (25.2)) имеем: , где , .
Выберем точку так, чтобы . Тогда преобразованная интегральная сумма будет интегральной суммой для функции одной переменной на промежутке . Поэтому
Аналогично получаем:
Складывая почленно полученные равенства (56.2) и (56.3), получаем:
Явное представление кривой интегрирования
Если кривая задана уравнением , где функция и ее производная непрерывны на отрезке , то из формулы (56.4), приняв за параметр, имеем параметрические уравнения кривой : , , откуда получим:
В частности,
Если — гладкая пространственная кривая, которая описывается непрерывными на отрезке функциями , и , то криволинейный интеграл
вычисляется по формуле
Замечание. Криволинейные интегралы I и II рода связаны соотношением , где и — углы, образованные касательной к кривой в точке с осями и соответственно.
Пример №56.1.
Вычислить , —
ломаная , где .
Решение:
Так как (см. рис. 239), то .
Уравнение отрезка есть ; уравнение отрезка : . Согласно формуле (56.5), имеем:
Пример №56.2.
Вычислить , — отрезок прямой в пространстве от точки до точки .
Решение:
Составим уравнение прямой, проходящей через точки и : или в параметрической форме: . При перемещении от точки к точке параметр меняется от 0 до 1. По формуле (56.7) находим, что
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны: