Оглавление:
Вычисление криволинейного интеграла I рода
Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательств правила вычисления криволинейного интеграла I рода в случаях, если кривая задана параметрическим, полярным и явным образом.
Параметрическое представление кривой интегрирования
Если кривая задана параметрическими уравнениями , , где и — непрерывно дифференцируемые функции параметра , причем точке соответствует , точке — значение , то
Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла от функции по пространственной кривой , задаваемой уравнениями :
Явное представление кривой интегрирования
Если кривая задана уравнением , где — непрерывно дифференцируемая функция, то
Подынтегральное выражение в правой части формулы (55.5) получается заменой в левой части и (дифференциал дуги кривой — см. п. 41.3).
Пример №55.1.
Вычислить , где — отрезок прямой между точками и .
Решение:
Уравнение прямой есть . Согласно формуле (55.5), имеем:
Полярное представление кривой интегрирования
Если плоская кривая задана уравнением в полярных координатах, то и
Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла в формулах (55.3)-(55.6) должен быть меньше верхнего.
Пример №55.2.
Вычислить , где — лепесток лемнискаты расположенной в I координатном углу.
Решение:
Кривая интегрирования изображена на рисунке 234. Воспользуемся формулой (55.6). Так как
то, заметив, что , получаем:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны: