Оглавление:
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяется метод подстановки, т. е. совершается преобразование переменных.
Пусть совершена подстановка 
, 
, 
. Если эти функции имеют в некоторой области 
пространства 
непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель
То справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:
Здесь 
— определитель Якоби, или якобиан преобразования (примем без доказательства).
Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.
Положение точки 
в пространстве 
можно определить заданием трех чисел 
, где 
— длина радиуса-вектора проекции точки 
на плоскость 
, 
— угол, образованный этим радиусом-вектором с осью 
, 
— аппликата точки (см. рис. 228).
Эти три числа () называются цилиндрическими координатами точки .
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:
Возьмем в качестве 
цилиндрические координаты и вычислим якобиан преобразования:
Формула замены переменных (54.4) принимает вид
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по , по и по аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.
Замечание. К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти в случае, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.
Пример №54.2.
Вычислить 
, где 
— область, ограниченная верхней частью конуса 
и плоскостью 
.
Решение:
На рис. 229 изображена область интегрирования . Вычислим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: 
, 
. Здесь 
. Уравнение конуса примет вид 
, т.е. 
. Уравнение окружности 
(границы области 
) запишется так: 
. Новые переменные изменяются в следующих пределах: — от 0 до 1, — от 0 до 
, a — от до 1 (прямая, параллельная оси 
, пересекающая область , входит в конус и выходит из него на высоте ).
Таким образом, согласно формуле (54.5), получаем:
Заметим, что, не переходя к цилиндрическим координатам, получим:
Сферическими координатами, точки пространства называется тройка чисел 
, где 
— длина радиуса-вектора точки , — угол, образованный проекцией радиуса-вектора 
на плоскость и осью , 
— угол отклонения радиуса-вектора от оси (см. рис. 230).
Сферические координаты связаны с декартовыми координатами 
соотношениями:
В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно воспользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле (54.4). Так как якобиан преобразования
то
Замечание. Переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования есть шар (уравнение его границы 
в сферических координатах имеет вид 
) или его часть, а также если подынтегральная функция имеет вид 
.
Пример №54.3.
Вычислить
где — шар 
.
Решение:
Вычислим интеграл путем перехода к сферическим координатам: 
. Тогда
Граница области — сфера и ее уравнение имеет вид 
, подынтегральная функция после замены переменных примет вид 
, т. е. 
. Новые переменные изменяются в следующих пределах: — от 0 до 1, — от 0 до , — от 0 до 
. Таким образом, согласно формуле (54.6),
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Приложения двойного интеграла |
| Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах |
| Некоторые приложения тройного интеграла |
| Вычисление криволинейного интеграла I рода |
