Для связи в whatsapp +905441085890

Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

Теорема 5.2. Если функции Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций дифференцируемы в точке Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций, то функции Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций, Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функцийтакже дифференцируемы в этой точке, причем:

Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

(5.3) — основные формулы дифференцирования.

Доказательство. Докажем первые три формулы.

1. Рассмотрим функцию Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций. Тогда Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций,

Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

т. е. Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций.

2. Рассмотрим функцию Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций. Тогда

Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций
Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

т. e. Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций. Случай Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функцийдоказывается аналогично.

3. Рассмотрим функцию Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций. Тогда

Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

Рассмотрим последний член в правой части формулы: Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций. Так как Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций — дифференцируемая функция, то она непрерывна. Следовательно, Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций, Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций, так как Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций — дифференцируемая функция,

Таким образом, рассматриваемый член равен нулю, и окончательно получаем: Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

Пример 5.2.

Найти производную функции Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

Решение:

Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

Ответ: Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций.

Пример 5.3.

Найти производную функции Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

Решение:

Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

Ответ: Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций.

Пример 5.4.

Найти производную функции Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций.

Решение:

Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

Ответ: Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций.

Пример 5.5.

Найти производную функции Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций.

Решение:

Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

Ответ: Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций.

Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:

Предмет математический анализ

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Физический смысл производной функции: вывод
Непрерывность функции, имеющей производную с примером решения, таблица производных и правила дифференцирования
Производная сложной функции с примерами решения
Производная обратной функции с примерами решения