Оглавление:
Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций
Теорема 5.2. Если функции дифференцируемы в точке
, то функции
,
также дифференцируемы в этой точке, причем:
![Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7142.png)
(5.3) — основные формулы дифференцирования.
Доказательство. Докажем первые три формулы.
1. Рассмотрим функцию . Тогда
,
![Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7145.png)
т. е. .
2. Рассмотрим функцию . Тогда
![Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7148.png)
![Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7149.png)
т. e. . Случай
доказывается аналогично.
3. Рассмотрим функцию . Тогда
![Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7153.png)
Рассмотрим последний член в правой части формулы: . Так как
— дифференцируемая функция, то она непрерывна. Следовательно,
,
, так как
— дифференцируемая функция,
Таким образом, рассматриваемый член равен нулю, и окончательно получаем: ■
Пример 5.2.
Найти производную функции
Решение:
![Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7161.png)
Ответ: .
Пример 5.3.
Найти производную функции
Решение:
![Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7164.png)
Ответ: .
Пример 5.4.
Найти производную функции .
Решение:
![Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7167.png)
Ответ: .
Пример 5.5.
Найти производную функции .
Решение:
![Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7170.png)
Ответ: .
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: