Оглавление:
Непрерывность функции, имеющей производную
При определении понятия производной функции в точке
предполагалось, что функция определена в точке
, а также и в некоторой достаточно малой ее окрестности, и существует
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7106.png)
Исследуем вопрос о непрерывности функции в точке
.
Теорема 5.1. Если функция определена на множестве X и в точке
имеет конечную производную
, то
непрерывна в точке
.
Доказательство.
По условию
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7111.png)
Ио определению предела имеем
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7112.png)
где — БМФ при
.
Тогда , откуда видно, что при
, т. е.
непрерывна в точке
. ■
Замечание 5.1. Обратное утверждение неверно: из непрерывности функции в точке не следует существование производной в этой точке.
Определение 5.2. Односторонними производными функции в точке
называются
, если они существуют.
Обозначение: .
Очевидно, что если в точке существует производная, то существуют и односторонние производные и они равны между собой.
Пример 5.1.
Показать, что функция , непрерывная в точке
, не имеет производной в этой точке.
Решение:
Покажем отсутствие производной в точке для функции
. Для этого найдем односторонние производные данной функции в точке
:
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7121.png)
Вывод. Так как односторонние производные функции в точке
существуют, по не равны между собой, то функция не имеет производной в этой точке.
Таблица производных
Постоянная функция:
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7122.png)
Степенная функция:
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7123.png)
в частности,
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7124.png)
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7125.png)
Показательная функция:
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7126.png)
в частности,
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7127.png)
Логарифмическая функция:
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7128.png)
в частности,
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7129.png)
Тригонометрические функции:
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7130.png)
Обратные тригонометрические функции:
![Непрерывность функции, имеющей производную](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7131.png)
Гиперболические функции:
- синус гиперболический
;
- косинус гиперболический
;
- тангенс гиперболический
;
- котангенс гиперболический
.
Правила дифференцирования
Функция , имеющая производную в точке
, называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках множества X, называется дифференцируемой на этом множестве, обозначается .
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: