Геометрический смысл производной функции в точке
Пусть — непрерывная функция, определенная в некоторой окрестности точки
.
Рассмотрим две точки графика этой функции: и
. Прямая
— секущая
(рис. 5.1). Обозначим:
![Геометрический смысл производной функции в точке](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7080.png)
Найдем угловой коэффициент этой прямой. Из
![Геометрический смысл производной функции в точке](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7082.png)
Из (5.1) следует, что зависит только от
.
![Геометрический смысл производной функции в точке](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7085.png)
При перемещении точки к точке
по графику непрерывной функции
, секущая
будет стремиться к некоторому предельному положению: касательной к графику функции
в точке
.
Так как , то угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции
в точке
, можно получить предельным переходом из (5.1):
![Геометрический смысл производной функции в точке](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7092.png)
Уравнение касательной, как известно, определяется формулой
![Геометрический смысл производной функции в точке](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7093.png)
Вывод. Производная функции в точке
равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке
—
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: