Выражение объема в криволинейных координатах.

Оглавление:

Выражение объема в криволинейных координатах.

Формула для объема в криволинейных координатах. В предположении и обозначении N°382 мы ставим задачу представления объема пространства XH (ограниченного) тела (P)

посредством расширенного тройного интеграла к соответствующему объекту (A) в пространстве.)]: Расширяется до внешней стороны поверхности(5). Отсюда мы попытаемся перейти к обычному двойному интегралу. Будем исходить из параметрических уравнений поверхности (E): 5=^(and, 1″),=(and, 1″), C=C(and, V), (3) предполагая,

что параметры изменяются в некоторых областях, я ввожу формулу Людмила Фирмаль

преобразования».): Самонадеянный х=х(?(р,г»),г;(я,ж»),с(я,т)))=х(я,Г»), Макс=Макс(р,г»),г-г(11,в). Ыо(х, г) р(я,в)’ Согласно формуле (7) n°372 [см. Примечание], она имеет D=±C % Ss1is1. ММР) Поскольку X, y зависит от I, g через переменные B, C, определитель функции[n°326], Г _D(x, y)d (6,h), o (x, y) o(h,S), O (x, y)0 (6,6) b-R (6, t) o (m) G o (1,0 R (I, V)1″o(S, 6) R(I,y)’ Подставляя уравнение C в Интеграл, полученный выше, находим h-C G? ДГ*(Г)Д(Е,7))и Р(х,Г)Р

(7],С)1.1 3 1.0(6,7])Р(Я,У)^О(Т], (.Р (я, у’)~’~ *) Как и N°353, здесь мы предполагаем далее существование и непрерывность частных производных, ->Ю&Ю& •••: Это облегчает доказательство, хотя и не является обязательным для точности самого результата. (В) . Р(х, г)0(6,6)1а, 4) Р(6,6) (я, ®)] ( ‘383] § 3. Замена переменной в тройном Интеграле 349 Мы сравниваем этот Интеграл с поверхностной фракцией второго типа, распространенной на внешнюю поверхность (E): Около (5 ) Если преобразовать из параметрического уравнения (3) обычный двойной Интеграл и

преобразовать его с выражением, аналогичным формуле (7) n°372, то он становится интегралом(4). Единственное различие между этими интегралами возможно только в Zn a to E. Наконец, от интеграла (5) в соответствии с Формулой Остроградского можно перейти к тройному интегралу (а) над областью): П=±С П (д) о (х,г)1и d_G R(х, г) р<(х)]»Г*)|/О(С, 5) Р(х, г),з)|(К. Частичное регулярное выражение — DGO (x, y). ДГ о(х, г). ДГ о(х, г). Г р(б) ‘ 1 ‘ 0т] о (&, Х)’ Я д р(х,г), д р(ху у). д р(х, y)~|» «г * р(т], о» г07]Р(х,е) 0С Р<Е,т.]) ] • * ) Очевидно, что 0п (х, г) _d2x дю. DH d2u d2h du DH d2u d $ R (^S)»(MB0S+0? ~Д Ш д^~W0R(Х, Y) _D2X дю. D2u d2h по ДХ ду ЗУ

d2u0t ЦТ]я (Г,6)-0SJ0^ » 1 «0г Д^~Д Г^0С~ «W0GJ’ 0г(х,у)__d2h по дю. DH d2u d2h du DH d2u d^R&t] «» LJ0<0? 0e0c ‘ если вы добавите эти равенства параллельно, вы получите ноль таким же образом. Сумма, стоящая здесь в первой строке, равна определителю функции ДХ ДХ и Д^Ж О(х,у,г)Ду Ду Ду Р&0-д%д^DS9DG ДГ ДГ ДГ о; Су ж Как вы можете легко увидеть, разложив этот определитель на элементы последней строки, сумма в квадратных скобках равна нулю, как указано прямым calculation.It это 350-кратный тройной интеграл [383 Поэтому мы и пришли на церемонию

Правильно С ) Если вы помните, что функциональный детерминант должен Людмила Фирмаль

содержать знак, который связывается с Интегралом,то знак перед интегралом должен совпадать со знаком детерминанта, что позволяет переписать результат в его окончательном виде: (И) Или показать функциональные детерминанты для краткости): (6) Через О=В / %С)|(К Л. (И) Репортаж Джона Херсковица; редактирование Дэвида Грегорио (6) Это обычно называют объемным элементом криволинейных координат. Применяя теорему о среднем к формуле (6), получаем следующее соотношение О= / 7(1 С/Д, (7) Где(5, t], C) — точка из области (A), а A-объем этой области. Из этого легко догадаться,что когда область a сжимается до точки(5,t], C), мы

должны иметь[ссылку]. n°377, 8°]: 91=П Т U> Таким образом, абсолютное значение определителя функции-это к о е ф ф и К и Е Н Т Р А с т и я в пространстве при преобразовании в пространство XH. Z-это eqanie. Уравнение(6) [(6)]выводится при известном допущении (взаимно однозначное, непрерывное соответствие между областями (B) и (A) и т. д.). Однако нарушение этих условий вдоль отдельных точек или отдельных линий и поверхностей, как в n°354,4°, указывает на то, что формула верна до тех пор, пока функциональные детерминанты ограничены.

Ортогональные системы функций	Геометрический вывод
Преобразование пространственных областей.	Случай произвольного промежутка