Закон сохранения кинетического момента системы

Закон сохранения кинетического момента системы

Из уравнения (178) находим, что при

Закон сохранения кинетического момента системы
Закон сохранения кинетического момента системы

Если главный момент всех внешних сил, действующих на систему, относительно какого-либо центра в течение некоторого времени равен нулю, то ее кинетический момент относительно этого центра все это время будет постоянным (как по модулю, так и по направлению).

Как это следует из формулы (179), если

Закон сохранения кинетического момента системы

то

Закон сохранения кинетического момента системы

Если в течение некоторого времени главный момент всех внешних сил, действующих на систему, относительно какой-либо неподвижной оси остается равным нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси все это время будет постоянным.

Равенство нулю главного момента внешних сил относительно некоторой оси имеет место, в частности, при отсутствии внешних сил или когда все они параллельны данной оси или ее пересекают.

Из закона сохранения кинетического момента следует, что при отсутствии eneiuHux сил внутренние силы системы не могут изменять ее кинетический момент, так же как не могут изменять и общее количество движения системы.

Закон сохранения кинетического момента системы хорошо иллюстрируется опытом на так называемой «скамейке» Н. Е. Жуковского. Она представляет собой горизонтальную платформу, вращающуюся вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках (для умень» шения третгая).

Если человек с гирями в руках встанет на платформу (рис. 197, а), то внешними силами, действующими на систему (платформа — человек), будут: сила тяжести платформы и человека с гирями и нормальная реакция пола, параллельные вертикальной оси вращения, и реакции подшипников, пересекающие эту ось. Таким образом, сумма моментов всех внешних сил, действующих на данную систему, относительно оси вращения системы будет равна нулю. Но в этом случае кинетический момент вращающейся системы Закон сохранения кинетического момента системы относительно оси ее вращения должен оставаться на основании закона сохранения постоянным

Закон сохранения кинетического момента системы

Если извне привести платформу во вращение, то человек может изменять ее угловую скорость, изменяя распределение масс и тем самым изменяя момент инерции Закон сохранения кинетического момента системы системы относительно оси ее вращения. Вращение системы заметно ускоряется, если человек будет приближать руки (с гирями) к груди и, наоборот, замедляется, если он будет удалять гири от оси вращения.

Подобным способом увеличения угловой скорости тела путем уменьшения его момента инерции относительно оси вращения тела широко пользуются танцоры и акробаты.

Если человек, стоящий на неподвижной платформе скамейки Жуковского, поднимет над головой велосипедное колесо (рис. 197,6) и приведет его во вращение вокруг вертикальной оси, то он сам, вместе с платформой, начнет вращаться в противоположную сторону. Угловая скорость платформы будет при этом такой, чтобы кинетический момент

Закон сохранения кинетического момента системы

всей системы (платформа — человек — колесо) оставался равным нулю.

Силы давления пороховых газов для системы ствол орудия — снаряд являются внутренними силами и не могут изменить кинетического момента этой системы, который до выстрела был равен нулю. Вследствие наличия нарезов в стволе орудия снаряду при выстреле сообщается, помимо поступательного движения, еще и вращательное движение вокруг его оси. Если бы не было внешних сил (реакций цапф, которыми ствол закреплен в лафете орудия), то кинетический момент системы должен был бы оставаться равным нулю и ствол орудия начал бы вращаться в сторону, противоположную вращению снаряда. Цапфы препятствуют этому вращению и поэтому испытывают при выстреле дополнительное давление.

С помощью теоремы об изменении кинетического момента системы удобно решать задачи на вращательное движение системы или системы, состоящей из тел вращающихся и тел, совершающих поступательное и плоское движение.

Если главный момент всех действующих на систему внешних сил относительно оси вращения равен нулю и, следовательно, имеет место закон сохранения кинетического момента, то можно найти зависимость между угловой скоростью системы и скоростями отдельных ее частей.

Пример задачи:

Круглая горизонтальная платформа (рис. 198) может вращаться без трения вокруг вертикальной оси Закон сохранения кинетического момента системы, проходящей через центр Закон сохранения кинетического момента системы платформы. По хорде Закон сохранения кинетического момента системы, перпендикулярной к радиусу платформы, движется человек по закону:

Закон сохранения кинетического момента системы

В начальный момент платформа вместе с человеком находилась в покое. Вес платформы Закон сохранения кинетического момента системы ее радиус Закон сохранения кинетического момента системы, вес человека Закон сохранения кинетического момента системы. Расстояние

Закон сохранения кинетического момента системы

Найти угловую скорость вращения платформы в момент времени Закон сохранения кинетического момента системы приняв платформу за сплошной диск и человека за материальную точку.

Решение:

Для того чтобы исключить неизвестную силу трения между подошвами ног человека и платформой, включаем в систему платформу вместо с находящимся на ней человеком. Действующие па эту систему внешние силы либо параллельны оси Закон сохранения кинетического момента системы (силы Закон сохранения кинетического момента системы и Закон сохранения кинетического момента системы тяжести платформы и человека), либо пересекают эту ось (реакции Закон сохранения кинетического момента системы подпятника и Закон сохранения кинетического момента системы подшипника), Следовательно, главный момент всех внешних сил воздействующих на данную систему относительно ее оси вращения:

Закон сохранения кинетического момента системы
Закон сохранения кинетического момента системы

Отсюда кинетический момент системы относительно оси Закон сохранения кинетического момента системы, по закону его сохранения, должен оставаться постоянным. Так как в начальный момент система находилась в покое, то кинетический момент системы относительно оси ее вращения:

Закон сохранения кинетического момента системы

Кинетический момент Закон сохранения кинетического момента системы системы относительно оси Закон сохранения кинетического момента системы складывается из кинетического момента Закон сохранения кинетического момента системы платформы и кинетического момента Закон сохранения кинетического момента системы человека относительно той же оси.

Предположим, что платформа при движении человека будет вращаться против хода стрелки часов с угловой скоростью Закон сохранения кинетического момента системы. Тогда по формуле (177) кинетический момент платформы

Закон сохранения кинетического момента системы

Человек участвует в двух движениях: относительном по хорде Закон сохранения кинетического момента системы со скоростью

Закон сохранения кинетического момента системы

и переносом вместе с платформой со скоростью

Закон сохранения кинетического момента системы

Его кинетический момент относительно оси Закон сохранения кинетического момента системы будет равен

Закон сохранения кинетического момента системы
Закон сохранения кинетического момента системы

Подставляя это значение в предыдущее выражение, будем иметь:

Закон сохранения кинетического момента системы

Тогда кинетический момент всей системы будет равен

Закон сохранения кинетического момента системы

Отсюда находим

Закон сохранения кинетического момента системы

Знак минус показывает, что платформа будет вращаться в направлении, противоположном предположенному, т. е. по ходу стрелки часов.

Пример задачи:

Груз весом Закон сохранения кинетического момента системы скользя вниз по наклонной плоскости, приводит во вращение барабан весом Закон сохранения кинетического момента системы посредством намотанной на барабан нити (рис. 199). Барабан, представляющий собой сплошной цилиндр радиуса Закон сохранения кинетического момента системы вращается вокруг горизонтальной оси Закон сохранения кинетического момента системы (перпендикулярной к плоскости чертежа). Коэффициент

Закон сохранения кинетического момента системы

трения тела о наклонную плоскость — Закон сохранения кинетического момента системы. Угол наклона плоскости к горизонту — Закон сохранения кинетического момента системы. Пренебрегая массой нити и ее трением о барабан, определить его угловое ускорение.

Решение:

Для того чтобы исключить неизвестную реакцию веревки, принимаем груз и барабан за одну систему.

Разложим силу Закон сохранения кинетического момента системы тяжести груза па две составляющие Закон сохранения кинетического момента системы — направленную вдоль нити и по модулю равную

Закон сохранения кинетического момента системы

и Закон сохранения кинетического момента системы — направленную перпендикулярно к плоскости скольжения груза и равную по модулю нормальной реакции Закон сохранения кинетического момента системы плоскости. Составив дифференциальное уравнение движения центра масс груза в проекции на ось Закон сохранения кинетического момента системы (рис. 199), будем иметь:

Закон сохранения кинетического момента системы

Так как

Закон сохранения кинетического момента системы

то

Закон сохранения кинетического момента системы

и, следовательно

Закон сохранения кинетического момента системы

Силы Закон сохранения кинетического момента системы и Закон сохранения кинетического момента системы взаимно уравновешиваются и потому можно считать, что внешними силами, действующими на рассматриваемую систему, будут только: составляющая Закон сохранения кинетического момента системы силы тяжести груза, сила Закон сохранения кинетического момента системы трения груза о плоскость (модуль которой Закон сохранения кинетического момента системы), сила Закон сохранения кинетического момента системы тяжести барабана и сила Закон сохранения кинетического момента системы реакции оси барабана. Так как последние две силы пересекают ось Закон сохранения кинетического момента системы вращения барабана, то главный момент всех действующих на систему внешних сил относительно оси Закон сохранения кинетического момента системы будет равен

Закон сохранения кинетического момента системы

Кинетический момент Закон сохранения кинетического момента системы системы относительно оси Закон сохранения кинетического момента системы будет складываться из кинетического момента Закон сохранения кинетического момента системы груза и кинетического Закон сохранения кинетического момента системы момента барабана.

Рассматривая поступательно движущийся груз как материальную точку и принимая оо внимание, что скорость груза равна скорости точки на окружности барабана, будем иметь:

Закон сохранения кинетического момента системы

Кинетический момент барабана относительно оси Закон сохранения кинетического момента системы

Закон сохранения кинетического момента системы

Кинетический момент всей системы

Закон сохранения кинетического момента системы

По теореме об изменении кинетического момента системы имеем:

Закон сохранения кинетического момента системы

Подставляя в это уравнение найденные значения

Закон сохранения кинетического момента системы

получаем:

Закон сохранения кинетического момента системы

откуда находим искомое угловое ускорение барабана;

Закон сохранения кинетического момента системы

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Кинетический момент системы относительно центра и относительно оси с примером решения
Теорема об изменении кинетического момента системы
Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси с примерами решения
Физический маятник с примерами решения