Оглавление:
Дробно-рациональная функция
Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е. , где — многочлен степени , a — многочлен степени .
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. ; в противном случае
(если ) рациональная дробь называется неправильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби , т.е.
Например, — неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель в столбик:
Получим частное и остаток . Следовательно, .
Правильные рациональные дроби вида
(корни знаменателя комплексные, т. е. );
(, корни знаменателя комплексные), где — действительные числа, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.
Теорема 31.8. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
где — некоторые действительные коэффициенты.
Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:
Для нахождения неопределенных коэффициентов в равенстве (31.6) можно применить метод сравнивания коэффициентов. Суть метода такова:
1. В правой части равенства (31.6) приведем к общему знаменателю ; в результате получим тождество , где — многочлен с неопределенными коэффициентами.
2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т. е.
3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (по теореме 31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31.7), получим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэффициенты
Пример №31.3.
Представить дробь в виде суммы простейших дробей.
Решение:
Согласно теореме 31.8 имеем:
т. е.
Отсюда следует
т. е.
Приравнивая коэффициенты при , получаем
Решая систему, находим, что . Следовательно,
Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют также метод отдельных значений аргумента: после получения тождества (31.7) аргументу придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо значения действительных корней многочлена ).
Дополнительный пример №31.4.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Метод интегрирования по частям |
Понятия о рациональных функциях |
Интегрирование рациональных дробей |
Универсальная тригонометрическая подстановка |