Оглавление:
Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем тела, причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси : , .
Применим схему II (метод дифференциапа).
1. Через произвольную точку проведем плоскость , перпендикулярную оси (см. рис. 187). Обозначим через площадь сечения тела этой плоскостью; считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении . Через обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости . Будем считать, что на отрезке величина есть функция от , т. е. .
2. Находим дифференциал функции . Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось в точках и , который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием и высотой . Поэтому дифференциал объема .
3. Находим искомую величину путем интегрирования в пределах от до :
Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
Пример №41.6.
Найти объем эллипсоида .
Решение:
Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости и на расстоянии от нее , получим эллипс (см. рис. 188):
Площадь этого эллипса равна . Поэтому, по формуле (41.6), имеем
Объем тела вращения
Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком и прямыми и (см. рис. 189). Полученная от вращения фигура, называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси , проведенной через произвольную точку оси (), есть круг с радиусом . Следовательно, .
Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми , то объем тела, образованною вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (41.7), равен
Пример №41.7.
Найти объем тела, образованною вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси (см. рис. 190).
Решение:
По формуле (41.8) находим:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Вычисление площадей плоских фигур |
Вычисление длины дуги плоской кривой |
Вычисление площади поверхности вращения |
Работа переменной силы |